¿Qué es una Ecuaciones Diferencial Ordinaria (EDO)?

Resumen:
En esta clase, se exploran las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) de orden k, comenzando con su definición y su representación de manera normal y general. A través de conceptos como la matriz Jacobiana y el Teorema de la Función Implícita, se elaboran las bases para comprender las soluciones de estas ecuaciones y las propiedades asociadas, como el dominio de definición y las soluciones explícitas e implícitas.

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

Al finalizar esta clase el estudiante será capaz de:

1. Recordar la definición y características básicas de una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO).
2. Explicar la relación entre una EDO y sus posibles soluciones.

INDICE
La Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) de Orden k
Teorema de la Función Implícita
La Solución de una Ecuación Diferencial Ordinaria
Cuidado con el dominio de definición de las soluciones
Solución extendida y solución maximal
Solución explicita y solución implícita

Con lo visto hasta ahora, tenemos una idea bastante clara de qué es una ecuación diferencial y de las múltiples aplicaciones que pueden tener. Nos detendremos ahora para estudiar algunas definiciones y propiedades con el objetivo de establecer una base común sólida para continuar este estudio.

La EDO de Orden k

Una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) es una ecuación en la cual se involucran una variable independiente x, una función y(x), y algunas de sus derivadas ordinarias. Las derivadas ordinarias de primer orden de y(x) se denotan usando símbolos como \frac{dy(x)}{dx} o y'(x), las de segundo orden como \frac{d^2y(x)}{dx^2} o y''(x), y en general, de orden n, como \frac{d^ny(x)}{dx^n} o y^{(n)}(x). El supremo de los valores k tales que y^{(k)}(x) aparece en la ecuación es lo que llamamos Orden de la Ecuación. De este modo, la Forma General de una EDO de orden k es:

F\left(x,y(x),y'(x), \cdots, y^{(k)}(x)\right)=0.

Se dice que una EDO de orden k está en forma normal si se expresa despejando y^{(k)}(x) de la ecuación anterior, es decir:

y^{(k)}(x) = f\left(x,y(x),y'(x), \cdots, y^{(k-1)}(x)\right).

En general, la función y es una función \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^n, de modo que esta y todas sus derivadas evaluadas en algún punto x\in\mathbb{R} son vectores de \mathbb{R}^n. Con esto en consideración, se constata que, dado que la función F que describe a la EDO de orden k tiene 1+(k+1) variables, se tiene que \text{Dom}(F)\subset \mathbb{R}^{1+n(k+1)} y \text{Rec}(F)\subset \mathbb{R}; y de forma análoga, \text{Dom}(f) = \mathbb{R}^{1+nk} y \text{Rec}(f)\subset \mathbb{R}^n.

El salto de la expresión General de una EDO de orden k a su Forma Normal es posible gracias al Teorema de la Función Implícita.

Teorema de la Función Implícita

Sea F una función de clase \mathcal{C}^1 sobre un conjunto abierto U \subset \mathbb{R}^n con valores reales. Y sea (a_1,\cdots, a_n) \in U tal que F(a_1,\cdots, a_n) = 0 y

\displaystyle \frac{\partial F(a_1,\cdots, a_n)}{\partial x_n} \neq 0

Entonces existe una vecindad V de (a_1, \cdots, a_{n-1}) \in \mathbb{R}^{n-1} y una función \varphi:V \longrightarrow \mathbb{R} tal que:

1. V \times \varphi(V) \subset U
2. F(x_1,\cdots,x_{n-1},x_n) = 0 \leftrightarrow x_n = \varphi(x_1,\cdots, x_{n-1})
3. \varphi es diferenciable y

   \displaystyle\dfrac{\partial \varphi (a_1,\cdots, a_{n-1})}{\partial x_i} = - \dfrac{ \dfrac{\partial F (a_1,\cdots, a_n)}{\partial x_i} }{ \dfrac{\partial F (a_1,\cdots, a_n)}{\partial x_n} }

Demostración del Teorema de la Función Implícita

Desarrollo a partir de la matriz Jacobiana

Sea \psi(x_1,\cdots,x_{n-1}, x_n) = (x_1,\cdots,x_{n-1}, F(x_1,\cdots, x_n)). Si calculamos su matriz Jacobiana, que se muestra a continuación:

\displaystyle \left( \dfrac{\partial \psi(x_1,\cdots, x_n)}{\partial(x_1,\cdots, x_n)} \right) = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & \vdots \\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ \displaystyle \dfrac{\partial F(x_1, \cdots, x_n)}{\partial x_1} & \dfrac{\partial F(x_1, \cdots, x_n)}{\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial F(x_1, \cdots, x_n)}{\partial x_n} \end{array}\right),

veremos que su determinante es distinto de cero en (a_1,\cdots, a_n), precisamente porque, como se estableció al principio, \partial F(a_1,\cdots, a_n)/\partial x_n \neq 0. A partir de esto, podemos decir que \psi tiene una inversa sobre un conjunto abierto W que contiene a (a_1,\cdots, a_n).

Desarrollo de la Solución

Ahora, consideremos un conjunto

\tilde{V}=\psi(W)\ni \psi(a_1,\cdots,a_{n}) = (a_1,\cdots,a_{n-1},F(a_1,\cdots,a_{n}))=(a_1,\cdots,a_{n-1},0).

A partir de esto, podemos definir otro conjunto

V=\{(x_1,\cdots,x_{n-1}) \;|\; (x_1,\cdots,x_{n-1},0)\in \tilde{V}\}\ni (a_1,\cdots,a_{n-1})

El conjunto V es, en consecuencia, un abierto que contiene a (a_1,\cdots,a_{n-1})\in\mathbb{R}^{n-1}.

Además, como \psi tiene inversa (en W), existe un único (y_1,\cdots,y_n)\in W tal que \psi(y_1,\cdots,y_n) = (x_1,\cdots,x_{n-1},0). Esto significa que:

\begin{array}{rl} y_1 &= x_1 \\ \\ \vdots & \vdots \\ \\ y_{n-1} &= x_{n-1} \\ \\ F(x_1,\cdots,x_{n-1},y_n) &= 0 \end{array}

Así, podemos definir \varphi(x_1,\cdots,x_{n-1}) = y_n, de modo que:

\psi^{-1}(x_1,\cdots,x_{n-1},0) = (x_1,\cdots,x_{n-1},\varphi(x_1,\cdots,x_{n-1}))

y

F(x_1,\cdots,x_{n-1},\varphi(x_1,\cdots,x_{n-1})) = 0

A partir de esto, tenemos que \varphi(V)\ni a_n, y en consecuencia V\times\varphi(V) \subset U, y además:

F(x_1,\cdots,x_{n-1},x_n) = 0 \leftrightarrow x_n = \varphi(x_1,\cdots,x_{n-1})

Diferenciabilidad

Y finalmente, la diferenciabilidad de \psi conduce a la diferenciabilidad de \psi^{-1}, que a su vez conduce a la diferenciabilidad de \varphi sobre V. Teniendo esto en cuenta, podemos definir una función g a través de la relación:

g(x_1, \cdots,x_{n-1}) = F(x_1,\cdots,x_{n-1},\varphi(x_1,\cdots,x_{n-1})) = 0

Y luego, usando la regla de la cadena, se tiene:

\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x_i} = \frac{\partial F}{\partial x_i} + \frac{\partial F}{\partial x_n}\frac{\partial \varphi }{\partial x_i} = 0,

donde i=1,\cdots, n-1. Es a partir de esta última ecuación que se obtiene:

\displaystyle \dfrac{\partial \varphi(a_1,\cdots,a_{n-1})}{\partial x_i} = - \dfrac{\dfrac{\partial F(a_1,\cdots,a_{n})}{\partial x_i}}{\dfrac{\partial F(a_1,\cdots,a_{n})}{\partial x_n}}

Y con esto se concluye todo lo que se quería demostrar ■

La solución de una ecuación diferencial ordinaria

Consideremos una EDO expresada en forma normal

y^{(n)} = f(x,y(x),y^\prime(x),\cdots,y^{(n-1)(x)})

Entonces, una función \varphi : I_\phi \longmapsto \mathbb{R}^n, donde I_\phi es un intervalo de \mathbb{R}, se dice que es una solución de la EDO si:

\left(\forall x \in I_\phi \right) \left(\varphi^{(n)}(x) = f(x,\varphi(x),\varphi^\prime(x),\cdots,\varphi^{(n-1)(x)}\right)

Cuidado con el dominio de definición de las soluciones

En este punto, es necesario hacer énfasis sobre la importancia de declarar explícitamente el dominio de la solución de la ecuación diferencial. Por ejemplo, el dominio de la función \phi de la que hablamos en el párrafo anterior es el intervalo I_\phi. Esto es importante porque un error común al trabajar en ecuaciones diferenciales proviene de considerar iguales dos soluciones \phi_1 y \phi_2 solo porque \left(\forall x \in I_{\phi_1}\cap I_{\phi_2}\right)\left(\phi_1(x) = \phi_2(x)\right), a pesar de que I_{\phi_1}\neq I_{\phi_2}. Para explicar este punto, examinemos la ecuación diferencial:

y^\prime = -y^2.

Una posible solución para esta EDO es la función \psi_1 : ]0,+\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}^+\setminus\{0\} definida a través de \psi_1(x)=1/x, porque \psi_1^{\prime} = -1/x^2 = -\psi_1^2 para cualquier x\in]0,+\infty[. Pero haciendo un poco de juego algebraico, podemos pasar de esta a otra solución completamente diferente si no prestamos atención a los detalles. Por ejemplo, es claro que:

\displaystyle \frac{1}{x} = \frac{1}{1 - (1-x)},

y el lado derecho de esta igualdad es el resultado de la serie geométrica:

\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (1-x)^n = \frac{1}{1 - (1-x)}

De modo que un ojo poco entrenado en estas artes arcanas se aventuraría a pensar que las funciones \psi_1
y \psi_2 = \sum_{n=0}^{+\infty} (1-x)^n nos ofrecen la misma solución para la ecuación diferencial que se planteó al principio, porque de hecho coinciden en sus resultados; sin embargo, habrá pasado por alto que esta serie geométrica solo es válida cuando |1-x| \lt 1, es decir, cuando x\in]0,2[). Pero hay más, dado que ]0,2[\subset]0,+\infty[, también se tiene que \psi_1 extiende a \psi_2 porque allí donde \psi_2 es válida, \psi_1 lo es y también más allá.

Solución extendida y solución maximal

Consideremos dos funciones \phi_1 y \phi_2 definidas sobre los intervalos I_{\phi_1} y I_{\phi_2}, respectivamente, que son soluciones de una ecuación diferencial. Si I_{\phi_1}\subset I_{\phi_2}, entonces se dice que la solución \phi_2 extiende a la solución \phi_1, o que la solución \phi_2 es más general que la solución \phi_1. Una solución \phi se denomina «maximal» si no existe otra solución que la extienda de forma no trivial.

Solución explícita y solución implícita

Una función \phi se considera solución de la EDO de orden n (escrita en forma normal)

y^{(n)}(x)=f(x,y(x),y^\prime(x),\cdots,y^{(n-1)}(x)),

dentro de un intervalo I si

(\forall x\in I)\left(\phi^{n}(x) = f(x,\phi(x),\phi^\prime(x),\cdots,\phi^{(n-1)}(x))\right)

Lo que ya habíamos revisado varios párrafos atrás es lo que se conoce como Solución Explícita de la Ecuación Diferencial en el intervalo I. Tal como sugiere el nombre, existe una forma implícita de definir también las soluciones. Se dice que una relación \Phi(x,y)=0 es Solución Implícita de la Ecuación Diferencial en I si define dos o más soluciones implícitas en I.

Conclusión

En esta clase hemos descompuesto la noción de ecuación diferencial ordinaria con una mirada rigurosa pero accesible, estableciendo los fundamentos formales que nos permiten no solo reconocer una EDO, sino también entender la lógica detrás de sus soluciones. Gracias al Teorema de la Función Implícita, fue posible justificar con claridad la transición entre su forma general y su forma normal, lo que se traduce en una capacidad técnica crucial para abordar problemas concretos.

Además, distinguimos con precisión las diferentes maneras en que una solución puede ser comprendida: como solución explícita o implícita, extendida o maximal, y remarcamos la importancia —frecuentemente subestimada— de declarar adecuadamente su dominio. Estas distinciones no son solo formales: son operativas. Ignorarlas puede llevarnos, como vimos, a errores conceptuales severos al interpretar los resultados obtenidos.