O que é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO)?

Resumo:
Nesta aula, exploram-se as Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) de ordem k, começando com sua definição e sua representação de maneira normal e geral. Através de conceitos como a matriz Jacobiana e o Teorema da Função Implícita, constroem-se as bases para compreender as soluções dessas equações e as propriedades associadas, como o domínio de definição e as soluções explícitas e implícitas.

OBJETIVOS DE APRENDIZADO

Ao final desta aula, o estudante será capaz de:

1. Recordar a definição e características básicas de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO).
2. Explicar a relação entre uma EDO e suas possíveis soluções.

ÍNDICE
A Equação Diferencial Ordinária (EDO) de Ordem k
Teorema da Função Implícita
A Solução de uma Equação Diferencial Ordinária
Cuidado com o domínio de definição das soluções
Solução estendida e solução maximal
Solução explícita e solução implícita

Com o que vimos até agora, temos uma ideia bastante clara do que é uma equação diferencial e das múltiplas aplicações que podem ter. Vamos agora nos deter para estudar algumas definições e propriedades com o objetivo de estabelecer uma base comum sólida para continuar este estudo.

A EDO de Ordem k

Uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) é uma equação na qual estão envolvidas uma variável independente x, uma função y(x), e algumas de suas derivadas ordinárias. As derivadas ordinárias de primeira ordem de y(x) são denotadas por símbolos como \frac{dy(x)}{dx} ou y'(x), as de segunda ordem como \frac{d^2y(x)}{dx^2} ou y''(x), e em geral, de ordem n, como \frac{d^ny(x)}{dx^n} ou y^{(n)}(x). O supremo dos valores k tais que y^{(k)}(x) aparece na equação é o que chamamos de Ordem da Equação. Desse modo, a Forma Geral de uma EDO de ordem k é:

F\left(x,y(x),y'(x), \cdots, y^{(k)}(x)\right)=0.

Diz-se que uma EDO de ordem k está na forma normal se for expressa isolando y^{(k)}(x) da equação anterior, ou seja:

y^{(k)}(x) = f\left(x,y(x),y'(x), \cdots, y^{(k-1)}(x)\right).

Em geral, a função y é uma função \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^n, de modo que essa e todas as suas derivadas avaliadas em algum ponto x\in\mathbb{R} são vetores de \mathbb{R}^n. Com isso em consideração, constata-se que, dado que a função F que descreve a EDO de ordem k possui 1+(k+1) variáveis, tem-se que \text{Dom}(F)\subset \mathbb{R}^{1+n(k+1)} e \text{Rec}(F)\subset \mathbb{R}; e de forma análoga, \text{Dom}(f) = \mathbb{R}^{1+nk} e \text{Rec}(f)\subset \mathbb{R}^n.

A passagem da expressão Geral de uma EDO de ordem k para sua Forma Normal é possível graças ao Teorema da Função Implícita.

Teorema da Função Implícita

Seja F uma função de classe \mathcal{C}^1 sobre um conjunto aberto U \subset \mathbb{R}^n com valores reais. E seja (a_1,\cdots, a_n) \in U tal que F(a_1,\cdots, a_n) = 0 e

\displaystyle \frac{\partial F(a_1,\cdots, a_n)}{\partial x_n} \neq 0

Então existe uma vizinhança V de (a_1, \cdots, a_{n-1}) \in \mathbb{R}^{n-1} e uma função \varphi:V \longrightarrow \mathbb{R} tal que:

1. V \times \varphi(V) \subset U
2. F(x_1,\cdots,x_{n-1},x_n) = 0 \leftrightarrow x_n = \varphi(x_1,\cdots, x_{n-1})
3. \varphi é diferenciável e

   \displaystyle\dfrac{\partial \varphi (a_1,\cdots, a_{n-1})}{\partial x_i} = - \dfrac{ \dfrac{\partial F (a_1,\cdots, a_n)}{\partial x_i} }{ \dfrac{\partial F (a_1,\cdots, a_n)}{\partial x_n} }

Demonstração do Teorema da Função Implícita

Desenvolvimento a partir da matriz Jacobiana

Seja \psi(x_1,\cdots,x_{n-1}, x_n) = (x_1,\cdots,x_{n-1}, F(x_1,\cdots, x_n)). Se calcularmos sua matriz Jacobiana, que é mostrada a seguir:

\displaystyle \left( \dfrac{\partial \psi(x_1,\cdots, x_n)}{\partial(x_1,\cdots, x_n)} \right) = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & \vdots \\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ \displaystyle \dfrac{\partial F(x_1, \cdots, x_n)}{\partial x_1} & \dfrac{\partial F(x_1, \cdots, x_n)}{\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial F(x_1, \cdots, x_n)}{\partial x_n} \end{array}\right),

veremos que seu determinante é diferente de zero em (a_1,\cdots, a_n), precisamente porque, como se estabeleceu no início, \partial F(a_1,\cdots, a_n)/\partial x_n \neq 0. A partir disso, podemos dizer que \psi tem uma inversa sobre um conjunto aberto W que contém (a_1,\cdots, a_n).

Desenvolvimento da Solução

Agora, consideremos um conjunto

\tilde{V}=\psi(W)\ni \psi(a_1,\cdots,a_{n}) = (a_1,\cdots,a_{n-1},F(a_1,\cdots,a_{n}))=(a_1,\cdots,a_{n-1},0).

A partir disso, podemos definir outro conjunto

V=\{(x_1,\cdots,x_{n-1}) \;|\; (x_1,\cdots,x_{n-1},0)\in \tilde{V}\}\ni (a_1,\cdots,a_{n-1})

O conjunto V é, em consequência, um aberto que contém (a_1,\cdots,a_{n-1})\in\mathbb{R}^{n-1}.

Além disso, como \psi tem inversa (em W), existe um único (y_1,\cdots,y_n)\in W tal que \psi(y_1,\cdots,y_n) = (x_1,\cdots,x_{n-1},0). Isso significa que:

\begin{array}{rl} y_1 &= x_1 \\ \\ \vdots & \vdots \\ \\ y_{n-1} &= x_{n-1} \\ \\ F(x_1,\cdots,x_{n-1},y_n) &= 0 \end{array}

Assim, podemos definir \varphi(x_1,\cdots,x_{n-1}) = y_n, de modo que:

\psi^{-1}(x_1,\cdots,x_{n-1},0) = (x_1,\cdots,x_{n-1},\varphi(x_1,\cdots,x_{n-1}))

e

F(x_1,\cdots,x_{n-1},\varphi(x_1,\cdots,x_{n-1})) = 0

A partir disso, temos que \varphi(V)\ni a_n, e em consequência V\times\varphi(V) \subset U, e além disso:

F(x_1,\cdots,x_{n-1},x_n) = 0 \leftrightarrow x_n = \varphi(x_1,\cdots,x_{n-1})

Diferenciabilidade

E finalmente, a diferenciabilidade de \psi conduz à diferenciabilidade de \psi^{-1}, que por sua vez conduz à diferenciabilidade de \varphi sobre V. Tendo isso em conta, podemos definir uma função g através da relação:

g(x_1, \cdots,x_{n-1}) = F(x_1,\cdots,x_{n-1},\varphi(x_1,\cdots,x_{n-1})) = 0

E então, usando a regra da cadeia, temos:

\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x_i} = \frac{\partial F}{\partial x_i} + \frac{\partial F}{\partial x_n}\frac{\partial \varphi }{\partial x_i} = 0,

onde i=1,\cdots, n-1. É a partir dessa última equação que se obtém:

\displaystyle \dfrac{\partial \varphi(a_1,\cdots,a_{n-1})}{\partial x_i} = - \dfrac{\dfrac{\partial F(a_1,\cdots,a_{n})}{\partial x_i}}{\dfrac{\partial F(a_1,\cdots,a_{n})}{\partial x_n}}

E com isso conclui-se tudo o que se queria demonstrar ■

A solução de uma equação diferencial ordinária

Consideremos uma EDO expressa em forma normal

y^{(n)} = f(x,y(x),y^\prime(x),\cdots,y^{(n-1)(x)})

Então, uma função \varphi : I_\phi \longmapsto \mathbb{R}^n, onde I_\phi é um intervalo de \mathbb{R}, diz-se que é uma solução da EDO se:

\left(\forall x \in I_\phi \right) \left(\varphi^{(n)}(x) = f(x,\varphi(x),\varphi^\prime(x),\cdots,\varphi^{(n-1)(x)}\right)

Cuidado com o domínio de definição das soluções

Neste ponto, é necessário enfatizar a importância de declarar explicitamente o domínio da solução da equação diferencial. Por exemplo, o domínio da função \phi da qual falamos no parágrafo anterior é o intervalo I_\phi. Isso é importante porque um erro comum ao trabalhar com equações diferenciais vem de considerar iguais duas soluções \phi_1 e \phi_2 apenas porque \left(\forall x \in I_{\phi_1}\cap I_{\phi_2}\right)\left(\phi_1(x) = \phi_2(x)\right), apesar de que I_{\phi_1}\neq I_{\phi_2}. Para explicar esse ponto, examinemos a equação diferencial:

y^\prime = -y^2.

Uma possível solução para essa EDO é a função \psi_1 : ]0,+\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}^+\setminus\{0\} definida por \psi_1(x)=1/x, porque \psi_1^{\prime} = -1/x^2 = -\psi_1^2 para qualquer x\in]0,+\infty[. Mas fazendo um pouco de manipulação algébrica, podemos passar desta para outra solução completamente diferente se não prestarmos atenção aos detalhes. Por exemplo, é claro que:

\displaystyle \frac{1}{x} = \frac{1}{1 - (1-x)},

e o lado direito dessa igualdade é o resultado da série geométrica:

\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (1-x)^n = \frac{1}{1 - (1-x)}

De modo que um olhar pouco treinado nessas artes arcanas se aventuraria a pensar que as funções \psi_1
e \psi_2 = \sum_{n=0}^{+\infty} (1-x)^n nos oferecem a mesma solução para a equação diferencial apresentada no início, porque de fato coincidem em seus resultados; no entanto, terá passado despercebido que essa série geométrica só é válida quando |1-x| \lt 1, ou seja, quando x\in]0,2[). Mas há mais: dado que ]0,2[\subset]0,+\infty[, também se tem que \psi_1 estende a \psi_2 porque onde \psi_2 é válida, \psi_1 também é — e ainda além.

Solução estendida e solução maximal

Consideremos duas funções \phi_1 e \phi_2 definidas sobre os intervalos I_{\phi_1} e I_{\phi_2}, respectivamente, que são soluções de uma equação diferencial. Se I_{\phi_1}\subset I_{\phi_2}, então diz-se que a solução \phi_2 estende a solução \phi_1, ou que a solução \phi_2 é mais geral que a solução \phi_1. Uma solução \phi é denominada “maximal” se não existe outra solução que a estenda de forma não trivial.

Solução explícita e solução implícita

Uma função \phi é considerada solução da EDO de ordem n (escrita em forma normal)

y^{(n)}(x)=f(x,y(x),y^\prime(x),\cdots,y^{(n-1)}(x)),

dentro de um intervalo I se

(\forall x\in I)\left(\phi^{n}(x) = f(x,\phi(x),\phi^\prime(x),\cdots,\phi^{(n-1)}(x))\right)

O que já havíamos revisado há vários parágrafos é o que se conhece como Solução Explícita da Equação Diferencial no intervalo I. Tal como o nome sugere, existe também uma forma implícita de definir as soluções. Diz-se que uma relação \Phi(x,y)=0 é Solução Implícita da Equação Diferencial em I se define duas ou mais soluções implícitas em I.

Conclusão

Nesta aula, decompusemos a noção de equação diferencial ordinária com um olhar rigoroso, porém acessível, estabelecendo os fundamentos formais que nos permitem não apenas reconhecer uma EDO, mas também entender a lógica por trás de suas soluções. Graças ao Teorema da Função Implícita, foi possível justificar com clareza a transição entre sua forma geral e sua forma normal, o que se traduz em uma capacidade técnica crucial para abordar problemas concretos.

Além disso, distinguimos com precisão as diferentes maneiras pelas quais uma solução pode ser compreendida: como solução explícita ou implícita, estendida ou maximal, e ressaltamos a importância —frequentemente subestimada— de declarar adequadamente seu domínio. Essas distinções não são apenas formais: são operacionais. Ignorá-las pode nos levar, como vimos, a erros conceituais severos ao interpretar os resultados obtidos.

Com este encerramento, já temos uma primeira ferramenta bem afiada. A compreensão de uma EDO não pode se limitar a resolver uma fórmula: requer senso crítico, atenção aos detalhes e uma base conceitual sólida que permita avançar sem perder o fio. Este é apenas o começo.