La Fórmula de Stirling
La fórmula de Stirling es una herramienta esencial para simplificar cálculos con factoriales de números grandes, ofreciendo una aproximación rápida y práctica.
Este resultado es especialmente útil en áreas como la termodinámica, la probabilidad y el análisis asintótico, donde trabajar con números extremadamente grandes es común. Comprender su desarrollo no solo facilita su aplicación, sino que también permite apreciar su relevancia en el cálculo eficiente y en la resolución de problemas complejos.
Objetivos de Aprendizaje:
Al Finalizar esta clase el estudiante será capaz de
- Comprender la deducción de la fórmula de Stirling desde la definición del factorial mediante la función Gamma.
- Aplicar la fórmula de Stirling para aproximar factoriales de números muy grandes.
- Calcular aproximaciones logarítmicas de factoriales mediante herramientas básicas de logaritmos y exponentes.
ÍNDICE DE CONTENIDOS:
Demostración de la fórmula de Stirling
Aproximación logarítmica del factorial
Ejemplo: Aproximación del Factorial de un Número Muy Grande
Demostración de la fórmula de Stirling
El desarrollo de la fórmula de Stirling comienza con la definición del factorial mediante la función Gamma, que es:
n! =\Gamma(n+1) = \displaystyle \int_0^\infty t^n e^{-t} \, dt
Usando esta expresión, realizamos un cambio de variable: t = nx. Esto implica que x \in [0, \infty[ y dt = n dx. Con este cambio, la integral se transforma de la siguiente manera:
n! = \Gamma(n+1) = \displaystyle \int_0^\infty (nx)^n e^{-nx} n \, dx = n^{n+1} \int_0^\infty x^n e^{-nx} dx
A continuación, realizamos un segundo cambio de variable: x = 1 + \dfrac{s}{\sqrt{n}}. Esto implica:
\begin{array}{rl} & s = (x-1)\sqrt{n}, \quad s \in [-\sqrt{n}, \infty[ \\ \\ & dx = \dfrac{ds}{\sqrt{n}} \end{array}
Con este cambio de variable, la integral toma la siguiente forma:
\begin{array}{rl} n! = \Gamma(n+1) &= \displaystyle n^{n+1} \int_{-\sqrt{n}}^\infty \left( 1 + \dfrac{s}{\sqrt{n}} \right)^n e^{-n\left(1+\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right)} \dfrac{ds}{\sqrt{n}} \\ \\ &= \displaystyle \dfrac{n^{n+1}}{\sqrt{n}} \int_{-\sqrt{n}}^\infty e^{n\ln\left( 1 + \dfrac{s}{\sqrt{n}} \right)} e^{-n - s\sqrt{n}} ds \\ \\ &= \displaystyle n^n e^{-n} \sqrt{n} \int_{-\sqrt{n}}^\infty e^{n\ln\left(1+\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right) - s\sqrt{n}} ds \end{array}
Ahora utilizamos la expansión en series de Taylor para el logaritmo natural:
\ln(1+x) = \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k+1}x^k}{k}
Al aplicar esta expansión en \ln\left(1+\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right), desarrollamos la expresión de la exponencial como sigue:
\begin{array}{rl} n\ln\left(1+\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right) - s\sqrt{n} & = \displaystyle n \left[\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k+1}\left(\dfrac{s}{\sqrt{n}} \right)^k}{k} \right] - s\sqrt{n} \\ \\ & = n \left[ \dfrac{s}{\sqrt{n}} - \dfrac{s^2}{2n} + \dfrac{s^3}{3n\sqrt{n}} - \dfrac{s^4}{4n^2} + \dfrac{s^5}{5n^2\sqrt{n}} \cdots \right] - s\sqrt{n} \\ \\ & = s\sqrt{n} - \dfrac{s^2}{2} + \dfrac{s^3}{3\sqrt{n}} - \dfrac{s^4}{4n} + \dfrac{s^5}{5n\sqrt{n}} \cdots - s\sqrt{n} \\ \\ & = - \dfrac{s^2}{2} + \dfrac{s^3}{3\sqrt{n}} - \dfrac{s^4}{4n} + \dfrac{s^5}{5n\sqrt{n}} \cdots \\ \\ & = - \dfrac{s^2}{2} + \displaystyle \sum_{k=3}^\infty \dfrac{(-1)^{k+1}s^k}{k\sqrt{n^{k-2}}} \end{array}
De este modo, podemos escribir la expresión completa como:
n! = \Gamma(n+1) = \displaystyle n^n e^{-n} \sqrt{n} \int_{-\sqrt{n}}^\infty e^{- \dfrac{s^2}{2} + \displaystyle \sum_{k=3}^\infty \dfrac{(-1)^{k+1}s^k}{k\sqrt{n^{k-2}}}} ds
Este resultado es fundamental para calcular factoriales de números muy grandes. A medida que n crece, los términos en la sumatoria dentro de la exponencial tienden a cero, dejando únicamente el término dominante. Esto simplifica la integral, que se puede resolver como una integral Gaussiana:
n! = \Gamma(n+1) \approx \displaystyle n^n e^{-n} \sqrt{n} \int_{-\infty}^\infty e^{- \frac{s^2}{2}} ds = n^n e^{-n} \sqrt{n} \sqrt{2\pi}
Este resultado es conocido como la fórmula de Stirling para el factorial de números grandes:
\boxed{n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^{n}}
Aproximación logarítmica del factorial
Un resultado directo de la fórmula de Stirling es la aproximación logarítmica del factorial. Al tomar el logaritmo natural de la fórmula de Stirling, obtenemos:
\begin{array}{rcl} \ln(n!) \approx \ln\left( \sqrt{2n\pi}\left(\dfrac{n}{e}\right)^{n} \right) &=& \dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) + n\ln\left(\dfrac{n}{e}\right) \\ \\ &=& \dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) + n\ln(n) - n \\ \\ &\approx & n\ln(n) - n \end{array}
En el último paso, se realiza una aproximación adicional al despreciar el término \dfrac{1}{2}\ln(2n\pi). Este término se vuelve insignificante en comparación con n\ln(n) - n para valores grandes de n.
La validez de esta aproximación se justifica calculando el error relativo entre ambas expresiones:
\begin{array}{rcl} \text{Aproximación Inicial} & = & \dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) + n\ln(n) - n \\ \\ \text{Aproximación Final} & = & n\ln(n) - n \\ \\ \text{Error Relativo} &=& \dfrac{\text{Aproximación Final} - \text{Aproximación Inicial}}{\text{Aproximación Inicial}} \\ \\ &=& \dfrac{-\dfrac{1}{2}\ln(2n\pi)}{\dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) + n\ln(n) - n} \end{array}
Calculando el límite cuando n \to \infty:
\begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \text{Error Relativo} & = \displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{-\dfrac{1}{2}\ln(2n\pi)}{\dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) + n\ln(n) - n} \\ \\ & = \displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{-\dfrac{1}{2n}}{\dfrac{1}{2n} + \ln(n) + 1 - 1} = 0 \end{array}
Por lo tanto, dado que el error tiende a cero para valores grandes de n, podemos usar la siguiente aproximación logarítmica con confianza:
\boxed{\ln(n!) \approx n\ln(n) - n}
Ejemplo: Aproximación del Factorial de un Número Muy Grande
Calcular el factorial de números extremadamente grandes, como 10.000!, es prácticamente imposible con herramientas convencionales debido al tamaño del resultado. Sin embargo, utilizando la aproximación logarítmica del factorial derivada de la fórmula de Stirling, podemos hacerlo manejable incluso con calculadoras básicas.
La fórmula logarítmica del factorial nos dice:
\ln(10.000!) \approx 10.000 \ln(10.000) - 10.000
Para convertir de logaritmos naturales (\ln) a logaritmos base 10 (\log), usamos la relación:
\ln(10.000!) = \dfrac{\log(10.000!)}{\log(e)}
Esto implica que:
\log(10.000!) \approx \log(e) \cdot (10.000 \ln(10.000) - 10.000)
Por lo tanto:
10.000! \approx 10^{\log(e) \cdot (10.000 \ln(10.000) - 10.000)} \approx 10^{35.657,06}
Aquí es donde notamos que la expresión en el exponente resulta manejable para la mayoría de las calculadoras. De este modo, aunque no podamos visualizar el número debido a su inmenso tamaño, sabemos que cuenta con aproximadamente 35,657 dígitos. Este enfoque transforma un cálculo aparentemente inalcanzable en algo realizable.