Kettenregel für die Ableitung der Zusammensetzung von Funktionen
Mit dem, was wir bisher gesehen haben, verfügen wir bereits über alle grundlegenden Werkzeuge, um nahezu jede Ableitung zu berechnen. Dennoch müssen wir zwischen der bloßen Möglichkeit, eine Ableitung zu bestimmen, und dem Aufwand, den wir in solche Rechnungen investieren, unterscheiden. An dieser Stelle kommen Sätze wie derjenige über die Kettenregel für die Berechnung in einer Variablen ins Spiel. Die Kettenregel ermöglicht es uns, Ableitungen schnell zu berechnen, die sonst eine ziemlich mühsame und komplizierte Arbeit erfordern würden.
INHALTSVERZEICHNIS
Der Satz der Kettenregel in einer reellen Variablen
Beweis der Kettenregel
Beispiele zur Anwendung der Kettenregel bei Funktionen einer Variablen
Vorsichtshinweis im Zusammenhang mit der Kettenregel
Nützliche Ergebnisse aus der Kettenregel
Satz über die Umkehrfunktion
Ableitung der Exponentialfunktion
Ableitung der inversen trigonometrischen Funktionen
Implizites Ableiten
Ableitungen rationaler Potenzen
Ableitungen rationaler Potenzen
Übungsleitfaden
Der Satz der Kettenregel in einer reellen Variablen
Seien f und g zwei Funktionen, die sich zusammensetzen lassen
f: A\subseteq \mathbb{R} \longmapsto B\subseteq \mathbb{R}
g: B\subseteq Dom(g) \longmapsto D\subseteq \mathbb{R}
Wenn f in A differenzierbar ist und g in B differenzierbar ist, dann ist die zusammengesetzte Funktion g\circ f für alle x\in A differenzierbar und es gilt die Formel
\displaystyle \frac{d}{dx}(g\circ f)(x) = \frac{d}{dx} g(f(x)) = \frac{dg(f(x))}{df(x)} \frac{df(x)}{dx}
Beweis der Kettenregel
Betrachten wir die Funktionen f und g wie zuvor definiert. Wenn wir die Ableitung der Zusammensetzung berechnen, ergibt sich
\begin{array}{rcl} \dfrac{d}{dx} g(f(x))& = & \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{\Delta x} \\ \\ &=&\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{\Delta x} \cdot \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{f(x+\Delta x) - f(x)} \\ \\ &=& \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{f(x+\Delta x) - f(x)} \cdot \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \\ \\ &=&\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{f(x+\Delta x) - f(x)} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\\ \\ &=& \displaystyle \lim_{f(x+\Delta x) \to f(x) } \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{f(x+\Delta x) - f(x)} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\\ \\ &=& \displaystyle \frac{dg(f(x))}{df(x)} \frac{df(x)}{dx} \end{array}
Was zu zeigen war.
Beispiele für die Anwendung der Kettenregel bei Funktionen einer Variablen
Etwas, das zumindest auf den ersten Blick klar erscheint, aber aus einer operativen Perspektive nicht ganz so offensichtlich ist, ist die Tatsache, dass uns die Kettenregel sagt, dass wir bei einer Zusammensetzung von Funktionen „von außen nach innen“ ableiten können. Um dies auf eine leicht verständliche Weise zu erklären, sind Beispiele bei weitem der schnellste Weg.
- Wenn wir die Ableitung von f(x) = (2x^2+1)^{12} berechnen sollen, würden wir zunächst die Potenzen entwickeln und dann die Potenzregel auf jeden Teil des großen Polynoms anwenden, das wir als Ergebnis erhalten hätten. Eine unnötig anstrengende Arbeit. Mit der Kettenregel lässt sich die Ableitung in wenigen Zeilen berechnen:
\displaystyle \frac{d}{dx} (2x^2+1)^{12} = 12(2x^2+1)^{11}(4x)= 48x(2x^2+1)^{11}
- Versuche, die Ableitung von g(x) = \sin(\cos(x)) nur mit den grundlegenden Ableitungstechniken zu berechnen, und stelle dich auf ewiges Leiden ein. Tu es mit der Kettenregel, und das Ergebnis erscheint tränenlos und in wenigen Schritten:
\displaystyle \frac{d}{dx} \sin(\cos(x))= -\cos(cos(x))\sin(x)
- Du kannst auch die Ableitung von Funktionen berechnen, die die Zusammensetzung vieler Funktionen sind. Wenn f(x)=\cos(\cos(\cos(x))), dann ergibt sich die Ableitung df/dx als:
\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d}{dx} \cos(\cos(\cos(x))) &=& -\sin(\cos(\cos(x)))\cdot(-\sin(\cos(x))\cdot(-\sin(x)) \\ \\ &=& -\sin(\cos(\cos(x)))\cdot\sin(\cos(x))\cdot\sin(x) \end{array}
Wie du sehen kannst, bedeutet die Anwendung der Kettenregel einfach, schrittweise von außen nach innen abzuleiten.
Vorsichtsmaßnahme im Zusammenhang mit der Kettenregel
In der Literatur werden überall die großen Vorteile der Anwendung der Kettenregel gezeigt, aber nur wenige betonen ausdrücklich die Vorsichtsmaßnahmen, die vor ihrer Verwendung zu beachten sind. Trotz der Stärke dieses Theorems musst du immer große Aufmerksamkeit auf die Definitionsbereiche und Wertebereiche der Funktionen richten, bevor du die Kettenregel anwendest. Vor der Rechnung musst du sicherstellen, dass die Definitions- und Wertebereiche der Funktionen für die Komposition kompatibel sind; denn wenn du das nicht tust, läufst du Gefahr, Ableitungen an Stellen zu berechnen, an denen sie nicht existieren. Wenn du beispielsweise eine Funktion der Form
f(x)=\ln(\cos(x))
ableitest und dich blind auf die Kettenregel verlässt, wirst du Rechnungen wie die folgende durchführen:
\displaystyle \frac{d}{dx}\ln(\cos(x)) = -\frac{1}{\cos(x)}\sin(x) = -\tan(x)
Klarerweise ist die Tangensfunktion für den Wert x=2\pi/3 wohldefiniert, denn ihr Wert ist \tan(2\pi/3) = -\sqrt{3}. Aber die Funktion f(x)=\ln(\cos(x)) ist dort nicht wohldefiniert, weil f(2\pi/3) = \ln(\cos(2\pi/3)) = \ln(-1/2), und der Logarithmus negativer Zahlen existiert nicht! In solchen Fällen ist es notwendig, bevor man die Kettenregel anwendet, anzugeben, dass die zu betrachtenden Werte von x solche sind, die die Kosinusfunktion positiv halten (sodass die Kompatibilität unter Komposition gewährleistet ist), und nur dann gilt die Kettenregel.
Nützliche Ergebnisse, die sich aus der Kettenregel ergeben
Die Kettenregel ist nicht nur hilfreich, um Ableitungsberechnungen durchzuführen, die sonst unerträglich wären, sondern sie dient auch dazu, die Ableitungstechniken auf viele weitere Funktionen auszuweiten. Im Folgenden werden wir diese Techniken, ihre Ergebnisse und ihre Beweise durchgehen.
Satz über die Umkehrfunktion
Sei f eine bijektive Funktion und in einem Intervall I\subseteq \mathbb{R} differenzierbar. Mit Hilfe der Kettenregel ist es möglich, die Ableitung der Identitätsfunktion (f^{-1}\circ f)(x) = f^{-1}(f(x)) = x. zu berechnen. Die Rechnungen liefern folgendes Ergebnis:
1 = \displaystyle \frac{d}{dx} x = \frac{d}{dx} f^{-1}(f(x)) = \frac{df^{-1}(f(x))}{df(x)}\frac{df(x)}{dx}
Aus diesem Ausdruck kann man df^{-1}(f(x))/df(x) isolieren und erhält:
\displaystyle \color{blue}{\frac{df^{-1}(f(x))}{df(x)}= \frac{1}{\frac{df(x)}{dx}}}
Dies ist das, was als Satz über die Umkehrfunktion zur Berechnung von Ableitungen bekannt ist. In der Literatur wird dieser Satz häufig in der Form
\displaystyle \color{blue}{\frac{dx}{dy}= \frac{1}{\frac{dy}{dx}}}
angegeben. Beide Formen der Darstellung des Satzes über die Umkehrfunktion sind äquivalent und ergeben sich daraus, dass man y=f(x) und x=f^{-1}(y). setzt.
Bis hierher haben wir alles gesehen, was man über den Inhalt des Satzes über die Umkehrfunktion sagen kann. Nun werden wir sehen, wie man ihn zur Berechnung einiger Ableitungen nutzen kann, die auf andere Weise ziemlich schwierig wären.
Ableitung der Exponentialfunktion
Als wir die grundlegenden Ableitungstechniken studierten, sahen wir, dass
\displaystyle \frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x}
Mit diesem Ergebnis und dem Satz über die Umkehrfunktion lässt sich leicht zeigen, dass
\displaystyle \frac{d}{dx}e^x = e^x
BEWEIS:
Es ist klar, dass y=\ln(x) gleichbedeutend damit ist, dass x=e^y. Dann gilt unter Anwendung des Satzes über die Umkehrfunktion:
\displaystyle \frac{d}{dy}e^y = \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} = \frac{1}{\frac{d}{dx}\ln(x)} = x = e^y
Das heißt:
\displaystyle \frac{d}{dy}e^y = e^y
Wenn wir in diesem letzten Ausdruck die „y“ durch „x“ ersetzen, erhalten wir das, was gezeigt werden sollte:
\displaystyle \frac{d}{dx}e^x = e^x.
Ableitung der inversen trigonometrischen Funktionen
Der Satz über die Umkehrfunktion ermöglicht es uns ebenfalls, die Ableitungen aller inversen trigonometrischen Funktionen zu erhalten. Diese sind:
\begin{array}{ccccccc} \dfrac{d}{dx}\text{Arcsin}(x) &=& \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} &\phantom{asd}&\dfrac{d}{dx}\text{Arccos}(x) &=& \dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \\ \dfrac{d}{dx}\text{Arctan}(x) &=& \dfrac{1}{1+x^2} &\phantom{asd}&\dfrac{d}{dx}\text{Arccot}(x) &=& \dfrac{-1}{1-x^2} \\ \\ \dfrac{d}{dx}\text{Arcsec}(x) &=& \dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}} &\phantom{asd}&\dfrac{d}{dx}\text{Arccsc}(x) &=& \dfrac{-1}{x\sqrt{x^2-1}} \end{array}
BEWEIS
Arkussinus
Mostrar DemostraciónDie Funktion \sin(x) ist bijektiv, sofern wir ihren Definitionsbereich auf eine Menge der Form \displaystyle \left[\frac{-\pi}{2}+k\pi , \frac{\pi}{2}+ k\pi \right], beschränken, wobei k eine beliebige ganze Zahl ist. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann man sich auf den Hauptfall k=0 beschränken, sodass die bijektive Sinusfunktion die Form
\displaystyle\sin : \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \longrightarrow [-1,1]
hat und unter diesen Bedingungen gilt
y=\sin(x) \longleftrightarrow x=arcsin(y).
Wenn wir den Satz über die Umkehrfunktion anwenden, erhalten wir:
\displaystyle \frac{d}{dy}arcsin(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\sin(x)} = \frac{1}{\cos(x)}
Erinnern wir uns nun an die trigonometrische Identität
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
woraus folgt, dass für x\in [-\pi/2, \pi/2] gilt:
\cos(x) = \sqrt{1 - \sin^2(x)}
Setzen wir dies in die Ableitung des Arkussinus ein, so erhalten wir
\displaystyle \frac{d}{dy}arcsin(y) = \frac{1}{\cos(x)} = \frac{1}{ \sqrt{1 - \sin^2(x)}}
Und da y=\sin(x), folgt
\displaystyle \frac{d}{dy}arcsin(y) = \frac{1}{ \sqrt{1 - y^2}}
Schließlich, wenn wir in diesem letzten Ausdruck „y“ durch „x“ ersetzen, erhalten wir das gewünschte Resultat:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arcsin(x) = \frac{1}{ \sqrt{1 - x^2}}}
Arkuskosinus
Mostrar DemostraciónDie Funktion \cos(x) ist bijektiv, sofern wir ihren Definitionsbereich auf eine Menge der Form \left[0+k\pi , \pi+ k\pi \right], beschränken, wobei k eine beliebige ganze Zahl ist. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann man sich auf den Hauptfall k=0 beschränken, sodass die bijektive Kosinusfunktion die Form
\cos : \left[0, \pi\right] \longrightarrow [-1,1]
hat und unter diesen Bedingungen gilt
y=\cos(x) \longleftrightarrow x=arccos(y).
Wenn wir den Satz über die Umkehrfunktion anwenden, erhalten wir:
\displaystyle \frac{d}{dy}arccos(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\cos(x)} = \frac{-1}{\sin(x)}
Erinnern wir uns nun an die trigonometrische Identität
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
woraus folgt, dass für x\in [0, \pi] gilt:
\sin(x) = \sqrt{1 - \cos^2(x)}
Setzen wir dies in die Ableitung des Arkuskosinus ein, so erhalten wir
\displaystyle \frac{d}{dy}arccos(y) = \frac{-1}{\sin(x)} = \frac{-1}{ \sqrt{1 - \cos^2(x)}}
Und da y=\cos(x), folgt
\displaystyle \frac{d}{dy}arccos(y) = \frac{-1}{ \sqrt{1 - y^2}}
Schließlich, wenn wir in diesem letzten Ausdruck „y“ durch „x“ ersetzen, erhalten wir das gewünschte Resultat:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arccos(x) = \frac{-1}{ \sqrt{1 - x^2}}}
Arkustangens
Mostrar DemostraciónDie Funktion \tan(x) ist bijektiv, sofern wir ihren Definitionsbereich auf eine Menge der Form \displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}+k\pi , \frac{\pi}{2}+ k\pi \right], beschränken, wobei k eine beliebige ganze Zahl ist. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann man sich auf den Hauptfall k=0 beschränken, sodass die bijektive Tangensfunktion die Form
\displaystyle \tan : \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \longrightarrow \mathbb{R}
hat und unter diesen Bedingungen gilt
y=\tan(x) \longleftrightarrow x=arctan(y).
Wenn wir den Satz über die Umkehrfunktion anwenden, erhalten wir:
\displaystyle \frac{d}{dy}arctan(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\tan(x)} = \frac{1}{\sec^2(x)}
Erinnern wir uns nun an die trigonometrische Identität
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
woraus folgt:
\sec^2(x) =1+\tan^2(x)
Setzen wir dies in die Ableitung des Arkustangens ein, so erhalten wir
\displaystyle \frac{d}{dy}arctan(y) = \frac{1}{\sec^2(x)} = \frac{1}{ 1+\tan^2(x)}
Und da y=\tan(x), folgt
\displaystyle \frac{d}{dy}arctan(y) = \frac{1}{1 + y^2}
Schließlich, wenn wir in diesem letzten Ausdruck „y“ durch „x“ ersetzen, erhalten wir das gewünschte Resultat:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arctan(x) = \frac{1}{1+ x^2}}
Arkuskotangens
Mostrar DemostraciónDie Funktion cot(x) ist bijektiv, sofern wir ihren Definitionsbereich auf eine Menge der Form \left[0+k\pi , \pi+ k\pi \right], beschränken, wobei k eine beliebige ganze Zahl ist. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann man sich auf den Hauptfall k=0 beschränken, sodass die bijektive Kotangensfunktion die Form
ctg : \left[0, \pi\right] \longrightarrow \mathbb{R}
hat und unter diesen Bedingungen gilt
y=ctg(x) \longleftrightarrow x=arcctg(y).
Wenn wir den Satz über die Umkehrfunktion anwenden, erhalten wir:
\displaystyle \frac{d}{dy}arcctg(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}ctg(x)} = \frac{-1}{\csc^2(x)}
Erinnern wir uns nun an die trigonometrische Identität
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
woraus folgt:
\csc^2(x) =1+ctg^2(x)
Setzen wir dies in die Ableitung des Arkuskotangens ein, so erhalten wir
\displaystyle \frac{d}{dy}arcctg(y) = \frac{-1}{\csc^2(x)} = \frac{-1}{ 1+ctg^2(x)}
Und da y=ctg(x), folgt
\displaystyle \frac{d}{dy}arcctg(y) = \frac{-1}{1 + y^2}
Schließlich, wenn wir in diesem letzten Ausdruck „y“ durch „x“ ersetzen, erhalten wir das gewünschte Resultat:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arcctg(x) = \frac{-1}{1+ x^2}}
Arkussinus
Mostrar DemostraciónDie Funktion \sec(x) ist bijektiv, sofern wir ihren Definitionsbereich auf eine Menge der Form \displaystyle \left[0+k\pi , \pi+ k\pi \right]\setminus\left\{\frac{\pi}{2} + k\pi\right\}, beschränken, wobei k eine beliebige ganze Zahl ist. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann man sich auf den Hauptfall k=0 beschränken, sodass die bijektive Sekansfunktion die Form
\sec : \left[0, \pi\right]\setminus\{\pi/2\} \longrightarrow \mathbb{R}\setminus]-1,1[
hat und unter diesen Bedingungen gilt
y=\sec(x) \longleftrightarrow x={arcsec}(y).
Wenn wir den Satz über die Umkehrfunktion anwenden, erhalten wir:
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\sec(x)} = \frac{1}{\sec(x)\tan(x)}
Erinnern wir uns nun an die trigonometrische Identität
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
woraus folgt:
\tan^2(x) =\sec^2(x)-1
Setzen wir dies in die Ableitung des Arkussekans ein, so erhalten wir
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{1}{\sec(x)\tan(x)} = \frac{1}{sec(x)\sqrt{\sec^2(x)-1}}
Und da y=\sec(x), folgt
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{1}{y\sqrt{y^2-1}}
Schließlich, wenn wir in diesem letzten Ausdruck „y“ durch „x“ ersetzen, erhalten wir das gewünschte Resultat:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}{arcsec}(x) = \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}}Arkuskosekans Mostrar Demostración
Die Funktion \csc(x) ist bijektiv, sofern wir ihren Definitionsbereich auf eine Menge der Form \displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}+k\pi , \frac{\pi}{2} + k\pi \right]\setminus\left\{0+k\pi\right\} beschränken, wobei k eine beliebige ganze Zahl ist. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann man sich auf den Hauptfall k=0 beschränken, sodass die bijektive Kosekansfunktion die Form
\displaystyle \csc : \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\setminus\{0\} \longrightarrow \mathbb{R}\setminus]-1,1[
hat und unter diesen Bedingungen gilt
y=\csc(x) \longleftrightarrow x={arccsc}(y).
Wenn wir den Satz über die Umkehrfunktion anwenden, erhalten wir:
\displaystyle \frac{d}{dy}{arccsc}(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\csc(x)} = \frac{-1}{\csc(x)ctg(x)}
Erinnern wir uns nun an die trigonometrische Identität
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
woraus folgt:
ctg^2(x) =\csc^2(x)-1
Setzen wir dies in die Ableitung des Arkuskosekans ein, so erhalten wir
\displaystyle \frac{d}{dy}{arccsc}(y) = \frac{-1}{\csc(x)ctg(x)} = \frac{-1}{csc(x)\sqrt{\csc^2(x)-1}}
Und da y=\csc(x), folgt
\displaystyle \frac{d}{dy}{arccsc}(y) = \frac{-1}{y\sqrt{y^2-1}}
Schließlich, wenn wir in diesem letzten Ausdruck „y“ durch „x“ ersetzen, erhalten wir das gewünschte Resultat:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}{arccsc}(x) = \frac{-1}{x\sqrt{x^2-1}}}
Implizites Ableiten
Alle Ableitungen, die wir bisher berechnet haben, wurden auf Funktionen angewendet, die explizit definiert waren: y=f(x). Es gibt jedoch Situationen, in denen es aufgrund der Beziehung zwischen Variablen entweder nicht einfach ist, die explizite Darstellung der Funktion zu erhalten, oder eine solche Aufgabe schlicht nicht durchführbar ist. Für solche Fälle eignet sich die Technik des impliziten Ableitens, deren Grundlagen – einmal mehr – in der Kettenregel liegen.
Um diese Technik zu verstehen, sind Beispiele hilfreicher als Beweise. Betrachten wir daher die Beziehung zwischen den Variablen x und y, die durch die Gleichung
x^3 +y^3- 9xy=0
gegeben ist. Wenn wir diese Beziehung grafisch darstellen, erkennen wir, dass es sich nicht um den Graphen einer Funktion handelt. Es ist der Graph einer Kurve, die als „Blatt des Descartes“ bezeichnet wird.
Wenn wir nun zum Beispiel die Ableitung von y bezüglich x berechnen möchten, hätten wir erhebliche Schwierigkeiten, eine explizite Darstellung f(x) zu finden, die die Gleichung y=f(x) erfüllt, um dann abzuleiten. Stattdessen überspringen wir diesen Schritt und nehmen implizit an, dass y eine Funktion von x ist, das heißt y=y(x). Dadurch wird die Gleichung der Descartes-Kurve zu:
x^3 +y^3(x)- 9xy(x)=0
Nun können wir alles unter Anwendung der Kettenregel ableiten. Wenn wir dies tun, gelangen wir zum folgenden Ergebnis:
\begin{array}{rcl} \displaystyle 3x^{2} + 3\,y(x)^{2}\,\frac{dy}{dx} - \left(9\,y(x) + 9x\,\frac{dy}{dx}\right) &=& 0 \\ \\ \displaystyle 3x^{2} + 3\,y(x)^{2}\,\frac{dy}{dx} - 9\,y(x) - 9x\,\frac{dy}{dx} &=& 0 \\ \\ \displaystyle \frac{dy}{dx}\,\big(3\,y(x)^{2} - 9x\big) &=& 9\,y(x) - 3x^{2} \\ \\ \displaystyle \frac{dy}{dx} &=& \dfrac{9\,y(x) - 3x^{2}}{3\,y(x)^{2} - 9x} \\ \\ \displaystyle \color{blue}{\frac{dy}{dx}} &\color{blue}{=}& \color{blue}{\dfrac{3\,y(x) - x^{2}}{y(x)^{2} - 3x}} \end{array}
Damit können wir, sofern wir einen Punkt der Kurve kennen, die Steigung der Tangente an der Kurve in diesem Punkt berechnen. Aus dem Graphen können wir zum Beispiel schließen, dass der Punkt (2,4) auf der Kurve liegt; dies stimmt, denn 2^3 + 4^3 - 9\cdot 2\cdot 4 = 8+64 - 72 = 0. Damit können wir sofort sagen, dass die Steigung der Tangente durch diesen Punkt ist:
\displaystyle \color{blue}{\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(2,4)}= \frac{3\cdot 4 - 2^2}{4^2 - 3\cdot 2}= \frac{8}{10}= \frac{4}{5}}
Ableitungen rationaler Potenzen
Durch implizites Ableiten lässt sich der Geltungsbereich einer grundlegenden Ableitungstechnik erweitern: der Ableitung von Funktionen der Form f(x)=x^n, wobei n\in\mathbb{Z}. Nun können wir von ganzzahligen zu rationalen Exponenten übergehen und leicht zeigen, dass
\displaystyle \frac{d}{dx}x^{p/q}= \frac{p}{q}x^{(p/q) -1}
wobei p,q\in\mathbb{Z} und q\neq 0.
Der Beweis lautet: Sei y=x^{p/q}. Wenden wir auf beide Seiten den natürlichen Logarithmus an, erhalten wir:
\ln(y) = \displaystyle \frac{p}{q}\ln(x)
Leiten wir diese Gleichung nun implizit ab, so gilt
\displaystyle \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q}\frac{1}{x} \displaystyle \color{blue}{\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q}\frac{1}{x}y(x)= \frac{p}{q}\frac{1}{x}x^{p/q} = \frac{p}{q}x^{(p/q) - 1}}
Übungsleitfaden:
Kettenregel – Eine Variable
- Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen:
a. f(x)=(x^2-3)^{12} b. f(x)=\displaystyle \left(\frac{4x^3 - x\cos(2x) - 1}{\sin(2x) + 2} \right)^5 c. f(x)=\cos(1-x^2) d. f(x)=\tan(x\cos(3-x^2)) e. f(x)=\displaystyle \frac{1}{(\sec(2x)-1)^{3/2}} f. f(x)=\displaystyle \frac{\tan(2x)}{1-\cot(2x)} g. f(x)=\displaystyle \ln\left(\frac{\tan(x)}{x^2+1}\right) h. f(x)=3^{\csc(4x)} - Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen:
a. f(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}arctan\left(x^3\right)} b. f(x)=\displaystyle \frac{{arcsec}(x^2-x+2)}{\sqrt{x^2+1}} c. f(x)=x^x d. f(x)={arccsc}\left(x^{\ln(x)}\right) e. f(x)=\ln\left(arctan(e^x)\right)