التعريفات الأساسية

الجزء الذي يكثف جوهر فضاء الاحتمالات هو فكرة قياس الاحتمال بالذات. هذه هي الوظيفة التي تقيس في النهاية احتمال وقوع حدث معين.

قياس الاحتمال P هي وظيفة بحيث، عند إعطاء جبر سيجما \Sigma=(\Omega,\mathcal{A})، تعين احتمالًا لكل حدث E\in\mathcal{A}. وترضي قياس الاحتمال الخصائص التالية:

1. (E\in \mathcal{A}) \rightarrow (0 \leq P(E) \leq 1)
2. P(\Omega) = 1
3. \left[E_1,_2 \in \mathcal{A}\right] \rightarrow \left[ (E_1 \cap E_2 = \emptyset) \rightarrow \left(P\left(E_1 \cup E_2 \right) = P(E_1) + P(E_2) \right) \right]
4. \displaystyle \left[E_1 \subseteq E_2 \subseteq \cdots \subseteq E_n \in \mathcal{A}\right] \rightarrow \left[P \left(\bigcup_{n=1}^\infty E_n \right) = \lim_{n\to\infty}P(E_n)\right] (الاستمرارية)

الاحتمال كحد للترددات النسبية

يمكن فهم هذه الفكرة الاحتمالية من خلال الفكرة البديهية للاحتمال كـ “حد للترددات النسبية”. خذ على سبيل المثال، التجربة التي يُلقى فيها N مرات نرد ذو 6 أوجه. الفضاء العيني لكل رمية هو \Omega_{1d6} = \{1,2,3,4,5,6\}. إذا كان A حدثًا عشوائيًا من \Omega_{1d6}، فيمكننا قياس التردد f_N(A) الذي يحدث فيه الحدث A عند تنفيذ N رميات. من خلال ذلك، سنتحقق من:

0 \leq f_N(A) \leq f_N(\Omega_{1d6}) = N,

وإذا اعتبرنا حدثًا عشوائيًا آخر B من \Omega_{1d6}، فسيحدث أن:

(A\cap B = \emptyset ) \rightarrow (f_N(A\cup B) = f_N(A)+f_N(B) )

استنادًا إلى ذلك، يمكننا تعريف وظيفة جديدة g_N، والتي نسميها التردد النسبي، من خلال التعبير

g_N(A) = \displaystyle \frac{f_N(A)}{N}

سنلاحظ أن وظيفة g_N تلبي الخصائص الثلاث الأولى، ولكن الرابعة (الاستمرارية) لا يمكن الحصول عليها بهذه الطريقة، ولكن تُدخل لأسباب تقنية بحتة حيث أن بعض النتائج لا يمكن الحصول عليها بدون هذه الخاصية.

حتى مع ذلك، g_N ليست بعد مقياس احتمال، لأنها ليست بعد وظيفة. هذا لأنه بغض النظر عن قيمة N، g_N لا تعطي بالضرورة قيمة فريدة كما تفعل وظيفة. لحل هذا نضيف خطوة إلى الحد للحصول أخيرًا على مقياس احتمال، حيث نحصل على:

\displaystyle P(A) = \lim_{N\to\infty} g_N(A)

هذا ما يعرف بالاحتمال كحد للترددات النسبية.

مثال: رمية نرد

مواصلة تحليل رمية نرد ذي 6 أوجه، سيكون لدينا:

\displaystyle\left(\forall x\in\{1,2,3,4,5,6\}\right) \left( g_N(\{x\}) = \frac{f_N(\{x\})}{N}\right)

وإذا تم تكرار التجربة عدة مرات، سيمكن التحقق من

\displaystyle \left(\forall x\in\{1,2,3,4,5,6\} \right) \left( \lim_{N \to \infty} g_N(\{x\}) = \displaystyle \frac{1}{6} \right)

\displaystyle \lim_{N \to \infty} g_N(\Omega_{1d6}) = 1

لذلك إذا عرفنا P(\{x\}) = \lim_{N\to\infty} g_N(\{x\})، فسيحدث أن:

\displaystyle P(x=\{1,3,5\}) = P(\{1\}\cup\{3\}\cup\{5\}) = P(\{1\})+P(\{3\})+P(\{5\}) = \frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}= \frac{1}{2}

من هذا المثال أيضًا من السهل استنتاج أنه، بالنظر إلى حدث E من فضاء عيني \Omega

\displaystyle P(E) = \frac{\# E}{\# \Omega}

هذا ما يعرف بـ “الاحتمال كحالات مواتية على إجمالي الحالات” وهو أساسي لفهم العديد من التفكيرات حول فضاء الاحتمالات ومقياس الاحتمال.