المشكلة وحل التوزيع الطبيعي

واحد من أكثر التوزيعات المستمرة استخدامًا في الاحتمالات هو التوزيع الطبيعي. متغير عشوائي X له توزيع طبيعي مع المعلمات \mu,\sigma إذا تحقق

\displaystyle P(X\leq x) =\Phi_{\mu,\sigma}(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2}dt

وأيضًا رأينا أن هذا التوزيع يمكن “توحيده” إذا قمنا بإجراء استبدال في التكامل على النحو التالي \displaystyle z= \frac{t-\mu}{\sigma}, ونتيجة لذلك نحصل على:

\displaystyle \Phi_{\mu,\sigma}(x) = \int_{-\infty}^{\frac{x-\mu}{\sigma}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2} }dt = \Phi_{0,1}\left(\frac{x-\mu}{\sigma} \right)

رغم أن عملية التوحيد هذه تبسط التكامل، إلا أنها لا تكفي للسماح لنا بحساب احتمال واحد فقط لهذا التوزيع. في الواقع، لا يمكننا تقييم هذا التكامل تحليليًا؛ في الواقع، لا توجد تعبيرات جبرية يمكنها التعبير عن نتيجة هذه التكاملات وهذا يضعنا في صعوبة. ومع ذلك، إذا كانت لدينا تقديرات تقريبية لبعض قيم دالة التوزيع الطبيعي الموحد، يمكننا البدء في إجراء بعض التقديرات. يتم تلخيص هذه القيم في هذا الجدول للتوزيع الطبيعي الموحد الذي قمت بإنشائه في Excel من أجلك >:D

يمكنك تحميل هذا الجدول بصيغة Excel من الرابط التالي الرابط. أوصيك بمراجعة هذا الملف لأنك بذلك ستتعلم كيفية إنشاء جدولك الخاص في حال لم تجد واحدًا 🙂

كيف أستخدم هذا الجدول؟

لاستخدام هذا الجدول دون صعوبة يجب أن تتذكر أنه بالإضافة إلى إظهار احتمال تراكمي، فإنه يمثل أيضًا مساحة تحت المنحنى (دالة الكثافة). يمكننا رؤية هذا ممثلًا في الشكل التالي:

بعد فهم هذا، فإن الخطوة التالية هي شرح استخدام الجدول نفسه. ما نراه هنا هو أن القيمة z التي سنقوم بتقييم دالة \Phi_{0,1}(z) عليها تظهر مقسمة إلى جزأين: في العمود ستجد توسعها حتى الرقم العشري الأول، وفي الصف ستجد الرقم العشري الثاني؛ على سبيل المثال: الرقم z=1,72 يمكن العثور عليه كما لو كان مكونًا من “إحداثيات”: العمودية هي 1,7, والأفقية 0,02. أخيرًا، ستظهر القيمة التقريبية لـ\Phi_{0,1}(1,72) في كتلة الإحداثيات “1,7” و”0,02″، التي تعرض قيمة 0,957284.

تمارين

1. قم بتقدير قيمة \Phi_{0,1}(2,93)
2. قم بتقدير قيمة \Phi_{\mu=12,\sigma=3}(11,5)
3. متغير عشوائي X له توزيع طبيعي N(\mu=37,\sigma=9). احسب P(35 \lt X \lt 43).
4. عدد الطماطم التي تتعفن يوميًا في كشك البائع المتجول له متوسط \mu=50 وانحراف معياري \sigma=15. إذا كان البائع يجلب الطماطم 3 مرات في الأسبوع، فقم بتقدير عدد الأيام التي سيتعفن فيها أكثر من 60 طماطم خلال الشهر.
5. افترض أن X \sim N(\mu,\sigma) احسب الاحتمالات التالية:
   1. P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma)
   2. P(X \leq \mu - \sigma \vee \mu + \sigma \leq X)
   3. P(X \leq \mu - n\sigma \vee \mu + n\sigma \leq X)