قاعدة السلسلة لمشتقة تركيب الدوال
استنادًا إلى ما رأيناه حتى الآن، بات لدينا كل الأساسيات اللازمة لحساب معظم المشتقات تقريبًا. ومع ذلك، ينبغي التمييز بين القدرة على حساب المشتقة وبين الجهد الذي نبذله في إجراء تلك العمليات، وهنا تبرز أهمية النظريات مثل قاعدة السلسلة في حساب المتغير الواحد. إذ تتيح لنا قاعدة السلسلة حساب المشتقات بسرعة، بينما قد يتطلّب ذلك عملًا طويلًا ومُرهقًا إذا اتُّبع بطريقة مباشرة.
فهرس المحتويات
مبرهنة قاعدة السلسلة في متغير حقيقي واحد
برهان قاعدة السلسلة
أمثلة على استخدام قاعدة السلسلة في دوال ذات متغير واحد
تنبيه يجب أخذه في الاعتبار عند استعمال قاعدة السلسلة
نتائج مفيدة مستخلصة من قاعدة السلسلة
مبرهنة الدالة العكسية
مشتقة الدالة الأسية
مشتقة الدوال المثلثية العكسية
الاشتقاق الضمني
مشتقات القوى الكسرية
مشتقات القوى الكسرية
دليل التمارين
مبرهنة قاعدة السلسلة في متغير حقيقي واحد
لتكن f و g دالتين قابلتين للتركيب
f: A\subseteq \mathbb{R} \longmapsto B\subseteq \mathbb{R}
g: B\subseteq Dom(g) \longmapsto D\subseteq \mathbb{R}
إذا كانت f قابلة للاشتقاق على A وكانت g قابلة للاشتقاق على B، فإن الدالة المركبة g\circ f تكون قابلة للاشتقاق لكل x\in A، وتتحقق الصيغة التالية
\displaystyle \frac{d}{dx}(g\circ f)(x) = \frac{d}{dx} g(f(x)) = \frac{dg(f(x))}{df(x)} \frac{df(x)}{dx}
برهان قاعدة السلسلة
لننظر في الدالتين f و g كما سُبقت الإشارة. إذا قمنا بحساب مشتقة الدالة المركبة، نحصل على
\begin{array}{rcl} \dfrac{d}{dx} g(f(x))& = & \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{\Delta x} \\ \\ &=&\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{\Delta x} \cdot \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{f(x+\Delta x) - f(x)} \\ \\ &=& \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{f(x+\Delta x) - f(x)} \cdot \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \\ \\ &=&\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{f(x+\Delta x) - f(x)} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\\ \\ &=& \displaystyle \lim_{f(x+\Delta x) \to f(x) } \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{f(x+\Delta x) - f(x)} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\\ \\ &=& \displaystyle \frac{dg(f(x))}{df(x)} \frac{df(x)}{dx} \end{array}
وهو ما أردنا إثباته.
أمثلة على استخدام قاعدة السلسلة في دوال ذات متغير واحد
من الأمور التي تبدو واضحة، على الأقل للوهلة الأولى، لكنها ليست كذلك من منظور عملي، هو أن قاعدة السلسلة تخبرنا بأنه عندما نصادف تركيب دوال، يمكننا الاشتقاق “من الخارج نحو الداخل”. ولتوضيح ذلك بطريقة يسهل فهمها، تظل الأمثلة الطريق الأسرع بلا منازع.
- إذا طُلب منا اشتقاق f(x) = (2x^2+1)^{12} فسنقوم أولًا بتطوير القوى ثم نطبق قاعدة اشتقاق القوة على كل جزء من ذلك كثير الحدود الكبير الذي سنحصل عليه. وهو عمل مُرهق دون داعٍ. أما باستخدام قاعدة السلسلة فيمكن حساب المشتقة في بضعة أسطر فقط:
\displaystyle \frac{d}{dx} (2x^2+1)^{12} = 12(2x^2+1)^{11}(4x)= 48x(2x^2+1)^{11}
- حاول حساب مشتقة g(x) = \sin(\cos(x)) باستخدام تقنيات الاشتقاق الأساسية فقط، وستجد نفسك في معاناة أبدية. قم بذلك باستخدام قاعدة السلسلة وسيظهر الناتج بلا دموع وفي خطوات قليلة:
\displaystyle \frac{d}{dx} \sin(\cos(x))= -\cos(cos(x))\sin(x)
- يمكنك أيضًا حساب مشتقة الدوال التي تكون تركيبًا لعدة دوال. إذا كانت f(x)=\cos(\cos(\cos(x))), فإن مشتقة df/dx تصبح على الشكل التالي:
\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d}{dx} \cos(\cos(\cos(x))) &=& -\sin(\cos(\cos(x)))\cdot(-\sin(\cos(x))\cdot(-\sin(x)) \\ \\ &=& -\sin(\cos(\cos(x)))\cdot\sin(\cos(x))\cdot\sin(x) \end{array}
وكما ترى، فإن تطبيق قاعدة السلسلة هو ببساطة اشتقاق متسلسل من الخارج نحو الداخل.
احتياط يجب أخذه في الاعتبار عند استخدام قاعدة السلسلة
تبيّن الأدبيات جميعها الفوائد الكبيرة لاستخدام قاعدة السلسلة، لكن قلّة قليلة تتناول بوضوح الاحتياطات الواجب اتخاذها قبل استخدامها. فعلى الرغم من قوة هذه المبرهنة، يجب عليك دائمًا الانتباه بدقة إلى مجالات الدوال ومداها قبل تطبيق قاعدة السلسلة. إذ ينبغي التأكد مسبقًا من أنّ مجالات الدوال ومدى كل منها متوافقان من أجل التركيب؛ لأن إهمال ذلك قد يؤدي إلى حساب مشتقات في نقاط لا تكون فيها المشتقة مُعرّفة أصلًا. فإذا اشتققت مثلًا دالة من النوع
f(x)=\ln(\cos(x))
واعتمدت على قاعدة السلسلة دون تحقق، فستقوم بحسابات مثل ما يلي:
\displaystyle \frac{d}{dx}\ln(\cos(x)) = -\frac{1}{\cos(x)}\sin(x) = -\tan(x)
من الواضح أن الدالة الظلية (الظل) مُعرّفة عند القيمة x=2\pi/3 لأنّ قيمتها هي \tan(2\pi/3) = -\sqrt{3}. لكن الدالة f(x)=\ln(\cos(x)) غير مُعرّفة هناك لأن f(2\pi/3) = \ln(\cos(2\pi/3)) = \ln(-1/2), ولا يوجد لوغاريتم للأعداد السالبة! في مثل هذه الحالات يجب تحديد قيم x المسموح بها قبل تطبيق قاعدة السلسلة بحيث تجعل دالة الكوسين موجبة (بما يضمن التوافق في التركيب)، وعندها فقط تكون قاعدة السلسلة صحيحة.
نتائج مفيدة مستخلصة من قاعدة السلسلة
لا تقتصر فائدة قاعدة السلسلة على تمكيننا من حساب مشتقات كانت ستبدو شاقة بطريقة أخرى؛ بل تساهم أيضًا في توسيع تقنيات الاشتقاق لتشمل عددًا أكبر من الدوال. سنستعرض فيما يلي هذه التقنيات ونتائجها وبراهينها.
مبرهنة الدالة العكسية
لتكن f دالة تباينية وقابلة للاشتقاق في فترة ما I\subseteq \mathbb{R}. باستخدام قاعدة السلسلة يمكن حساب مشتقة دالة الهوية (f^{-1}\circ f)(x) = f^{-1}(f(x)) = x. وتعطي العمليات الحسابية النتيجة التالية:
1 = \displaystyle \frac{d}{dx} x = \frac{d}{dx} f^{-1}(f(x)) = \frac{df^{-1}(f(x))}{df(x)}\frac{df(x)}{dx}
ومن هنا يمكن حل df^{-1}(f(x))/df(x) فنحصل على:
\displaystyle \color{blue}{\frac{df^{-1}(f(x))}{df(x)}= \frac{1}{\frac{df(x)}{dx}}}
وهذا ما يُعرف بمبرهنة الدالة العكسية في حساب المشتقات. ومن الشائع في الأدبيات كتابة هذه المبرهنة على الصورة
\displaystyle \color{blue}{\frac{dx}{dy}= \frac{1}{\frac{dy}{dx}}}
وكلتا الصيغتين متكافئتان، ويتم الحصول عليهما بكتابة y=f(x) وx=f^{-1}(y).
إلى هنا رأينا مضمون مبرهنة الدالة العكسية، والآن سنرى كيف يمكن استخدامها لحساب بعض المشتقات التي قد تكون صعبة بغير ذلك.
مشتقة الدالة الأسية
عندما درسنا تقنيات الاشتقاق الأساسية رأينا أن
\displaystyle \frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x}
وباستخدام هذه النتيجة ومبرهنة الدالة العكسية يمكن بسهولة إثبات أن
\displaystyle \frac{d}{dx}e^x = e^x
البرهان:
من الواضح أن y=\ln(x) يكافئ القول بأن x=e^y. ثم بتطبيق مبرهنة الدالة العكسية نحصل على:
\displaystyle \frac{d}{dy}e^y = \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} = \frac{1}{\frac{d}{dx}\ln(x)} = x = e^y
Es decir:
\displaystyle \frac{d}{dy}e^y = e^y
Si en esta ultima expresión remplazamos las “y” por “x”, obtenemos lo que se quería demostrar:
\displaystyle \frac{d}{dx}e^x = e^x.
مشتقة الدوال المثلثية العكسية
مبرهنة الدالة العكسية تتيح لنا أيضًا الحصول على مشتقات جميع الدوال المثلثية العكسية. وهذه هي:
\begin{array}{ccccccc} \dfrac{d}{dx}\text{Arcsin}(x) &=& \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} &\phantom{asd}&\dfrac{d}{dx}\text{Arccos}(x) &=& \dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \\ \dfrac{d}{dx}\text{Arctan}(x) &=& \dfrac{1}{1+x^2} &\phantom{asd}&\dfrac{d}{dx}\text{Arccot}(x) &=& \dfrac{-1}{1-x^2} \\ \\ \dfrac{d}{dx}\text{Arcsec}(x) &=& \dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}} &\phantom{asd}&\dfrac{d}{dx}\text{Arccsc}(x) &=& \dfrac{-1}{x\sqrt{x^2-1}} \end{array}
البرهان
قوس الجيب (Arcsin)
Mostrar Demostraciónإن الدالة \sin(x) تكون تباينية إذا قيدنا مجالها إلى مجموعة من الشكل \displaystyle \left[\frac{-\pi}{2}+k\pi , \frac{\pi}{2}+ k\pi \right], حيث k عدد صحيح. ودون فقدان للعمومية يمكن الاكتفاء بالحالة الأساسية عندما يكون k=0، بحيث تكون دالة الجيب التباينية على الشكل:
\displaystyle\sin : \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \longrightarrow [-1,1]
وتحت هذه الشروط يتحقق ما يلي:
y=\sin(x) \longleftrightarrow x=arcsin(y).
وبتطبيق مبرهنة الدالة العكسية نحصل على:
\displaystyle \frac{d}{dy}arcsin(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\sin(x)} = \frac{1}{\cos(x)}
والآن نتذكر الهوية المثلثية:
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
ومنها نستنتج أنه إذا كان x\in [-\pi/2, \pi/2] فإنه يتحقق:
\cos(x) = \sqrt{1 - \sin^2(x)}
وبالتعويض في مشتقة قوس الجيب نحصل على:
\displaystyle \frac{d}{dy}arcsin(y) = \frac{1}{\cos(x)} = \frac{1}{ \sqrt{1 - \sin^2(x)}}
وبما أن y=\sin(x)
\displaystyle \frac{d}{dy}arcsin(y) = \frac{1}{ \sqrt{1 - y^2}}
وأخيرًا، باستبدال “y” بـ “x” في هذه الصيغة الأخيرة نصل إلى ما أردنا إثباته:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arcsin(x) = \frac{1}{ \sqrt{1 - x^2}}}
قوس الجيب تمام (Arccos)
Mostrar Demostraciónإن الدالة \cos(x) تكون تباينية إذا قُيّد مجالها إلى مجموعة من الشكل \left[0+k\pi , \pi+ k\pi \right], حيث k عدد صحيح. ودون فقدان للعمومية يمكن الاقتصار على الحالة الأساسية حيث k=0، بحيث تكون دالة الجيب تمام التباينية على الشكل:
\cos : \left[0, \pi\right] \longrightarrow [-1,1]
وبتحت هذه الشروط يتحقق ما يلي:
y=\cos(x) \longleftrightarrow x=arccos(y).
وبتطبيق مبرهنة الدالة العكسية نحصل على:
\displaystyle \frac{d}{dy}arccos(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\cos(x)} = \frac{-1}{\sin(x)}
والآن نتذكر الهوية المثلثية:
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
ومنها نستنتج أنه إذا كان x\in [0, \pi] فإنه يتحقق:
\sin(x) = \sqrt{1 - \cos^2(x)}
وبالتعويض في مشتقة قوس الجيب تمام نحصل على:
\displaystyle \frac{d}{dy}arccos(y) = \frac{-1}{\sin(x)} = \frac{-1}{ \sqrt{1 - \cos^2(x)}}
وبما أن y=\cos(x)
\displaystyle \frac{d}{dy}arccos(y) = \frac{-1}{ \sqrt{1 - y^2}}
وأخيرًا، باستبدال “y” بـ “x” في هذه الصيغة الأخيرة نصل إلى ما أردنا إثباته:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arccos(x) = \frac{-1}{ \sqrt{1 - x^2}}}
قوس الظل (Arctan)
Mostrar Demostraciónإن الدالة \tan(x) تكون تباينية إذا قُيّد مجالها إلى مجموعة من الشكل \displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}+k\pi , \frac{\pi}{2}+ k\pi \right], حيث k عدد صحيح. ودون فقدان للعمومية يمكن الاقتصار على الحالة الأساسية حيث k=0, بحيث تكون دالة الظل التباينية على الشكل:
\displaystyle \tan : \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \longrightarrow \mathbb{R}
وتحقيق الشروط يعطي:
y=\tan(x) \longleftrightarrow x=arctan(y).
وبتطبيق مبرهنة الدالة العكسية نحصل على:
\displaystyle \frac{d}{dy}arctan(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\tan(x)} = \frac{1}{\sec^2(x)}
والآن نتذكر الهوية المثلثية:
\sin^^2(x) + \cos^2(x) = 1
ومنها نستنتج أن:
\sec^2(x) =1+\tan^2(x)
وبالتعويض في مشتقة قوس الظل نحصل على:
\displaystyle \frac{d}{dy}arctan(y) = \frac{1}{\sec^2(x)} = \frac{1}{ 1+\tan^2(x)}
وبما أن y=\tan(x)
\displaystyle \frac{d}{dy}arctan(y) = \frac{1}{1 + y^2}
وأخيرًا، باستبدال “y” بـ “x” في هذه الصيغة الأخيرة نصل إلى ما أردنا إثباته:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arctan(x) = \frac{1}{1+ x^2}}
قوس الضرب العكسي (Arccot)
Mostrar Demostraciónإن الدالة cot(x) تكون تباينية إذا قُيّد مجالها إلى مجموعة من الشكل \left[0+k\pi , \pi+ k\pi \right], حيث k عدد صحيح. ودون فقدان للعمومية يمكن الاقتصار على الحالة الأساسية حيث k=0، بحيث تكون دالة الضرب العكسي التباينية على الشكل:
ctg : \left[0, \pi\right] \longrightarrow \mathbb{R}
وبتحت هذه الشروط يتحقق ما يلي:
y=ctg(x) \longleftrightarrow x=arcctg(y).
وبتطبيق مبرهنة الدالة العكسية نحصل على:
\displaystyle \frac{d}{dy}arcctg(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}ctg(x)} = \frac{-1}{\csc^2(x)}
والآن نتذكر الهوية المثلثية:
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
ومنها نستنتج أن:
\csc^2(x) =1+ctg^2(x)
وبالتعويض في مشتقة قوس الضرب العكسي نحصل على:
\displaystyle \frac{d}{dy}arcctg(y) = \frac{-1}{\csc^2(x)} = \frac{-1}{ 1+ctg^2(x)}
وبما أن y=ctg(x)
\displaystyle \frac{d}{dy}arcctg(y) = \frac{-1}{1 + y^2}
وأخيرًا، باستبدال “y” بـ “x” في هذه الصيغة الأخيرة نصل إلى ما أردنا إثباته:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arcctg(x) = \frac{-1}{1+ x^2}}
قوس القاطع (Arcsec)
Mostrar Demostraciónإن الدالة \sec(x) تكون تباينية إذا قُيّد مجالها إلى مجموعة من الشكل \displaystyle \left[0+k\pi , \pi+ k\pi \right]\setminus\left\{\frac{\pi}{2} + k\pi\right\}, حيث k عدد صحيح. ودون فقدان للعمومية يمكن الاقتصار على الحالة الأساسية حيث k=0، بحيث تكون دالة القاطع التباينية على الشكل:
\sec : \left[0, \pi\right]\setminus\{\pi/2\} \longrightarrow \mathbb{R}\setminus]-1,1[
وبتحت هذه الشروط يتحقق ما يلي:
y=\sec(x) \longleftrightarrow x={arcsec}(y).
وبتطبيق مبرهنة الدالة العكسية نحصل على:
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\sec(x)} = \frac{1}{\sec(x)\tan(x)}
والآن نتذكر الهوية المثلثية:
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
ومنها نستنتج:
\tan^2(x) =\sec^2(x)-1
وبالتعويض في مشتقة قوس القاطع نحصل على:
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{1}{\sec(x)\tan(x)} = \frac{1}{sec(x)\sqrt{\sec^2(x)-1}}
وبما أن y=\sec(x)
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{1}{y\sqrt{y^2-1}}
وأخيرًا، باستبدال “y” بـ “x” في هذه الصيغة الأخيرة نصل إلى ما أردنا إثباته:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}{arcsec}(x) = \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}}
قوس الضرب العكسي (Arccsc)
Mostrar Demostraciónإن الدالة \csc(x) تكون تباينية إذا قُيّد مجالها إلى مجموعة من الشكل \displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}+k\pi , \frac{\pi}{2} + k\pi \right]\setminus\left\{0+k\pi\right\} حيث k عدد صحيح. ودون فقدان للعمومية يمكن الاقتصار على الحالة الأساسية حيث k=0، بحيث تكون دالة الضرب العكسي التباينية على الشكل:
\displaystyle \csc : \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\setminus\{0\} \longrightarrow \mathbb{R}\setminus]-1,1[
وبتحت هذه الشروط يتحقق ما يلي:
y=\csc(x) \longleftrightarrow x={arccsc}(y).
وبتطبيق مبرهنة الدالة العكسية نحصل على:
\displaystyle \frac{d}{dy}{arccsc}(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\csc(x)} = \frac{-1}{\csc(x)ctg(x)}
والآن نتذكر الهوية المثلثية:
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
ومنها نستنتج:
ctg^2(x) =\csc^2(x)-1
وبالتعويض في مشتقة قوس الضرب العكسي نحصل على:
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{-1}{\csc(x)ctg(x)} = \frac{-1}{csc(x)\sqrt{\csc^2(x)-1}}
وبما أن y=\csc(x)
\displaystyle \frac{d}{dy}{arccsc}(y) = \frac{-1}{y\sqrt{y^2-1}}
وأخيرًا، باستبدال “y” بـ “x” في هذه الصيغة الأخيرة نصل إلى ما أردنا إثباته:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}{arccsc}(x) = \frac{-1}{x\sqrt{x^2-1}}}
الاشتقاق الضمني
جميع المشتقات التي حسبناها حتى الآن كانت لدوال عُرّفت بشكل صريح: y=f(x). ومع ذلك، هناك حالات لا يكون من السهل فيها — أو قد يكون من المستحيل — الحصول على صيغة صريحة للدالة انطلاقًا من العلاقة بين المتغيرات. ولهذه الحالات بالذات تُستخدم تقنية الاشتقاق الضمني، التي تعتمد في أساسها، مرة أخرى، على قاعدة السلسلة.
ولتفهّم هذه التقنية، تُعد الأمثلة أكثر فائدة من البراهين. لذلك نعتبر العلاقة بين المتغيرين x وy المعطاة بالمعادلة:
x^3 +y^3- 9xy=0
إذا قمنا بتمثيل هذه العلاقة بيانيًا سنلاحظ أنها لا تمثل دالة، بل تمثل منحنى يُعرف باسم “ورقة ديكارت”.
Ahora, si quisiéramos calcular, por ejemplo: la derivada de y con respecto a x, entonces tendríamos serias dificultades con encontrar de forma explicita expresión f(x) que satisface la ecuación y=f(x) para luego derivar. Lo que hacemos, sin embargo, es saltarnos ese paso y asumimos implícitamente que y es función de x, es decir: y=y(x). Haciendo esto, la relación de la hoja de Descartes se transforma en:
x^3 +y^3(x)- 9xy(x)=0
Y podemos, en consecuencia, derivar todo utilizando la regla de la cadena. Si lo hacemos, llegaremos al siguiente resultado:
\begin{array}{rcl} \displaystyle 3x^{2} + 3\,y(x)^{2}\,\frac{dy}{dx} - \left(9\,y(x) + 9x\,\frac{dy}{dx}\right) &=& 0 \\ \\ \displaystyle 3x^{2} + 3\,y(x)^{2}\,\frac{dy}{dx} - 9\,y(x) - 9x\,\frac{dy}{dx} &=& 0 \\ \\ \displaystyle \frac{dy}{dx}\,\big(3\,y(x)^{2} - 9x\big) &=& 9\,y(x) - 3x^{2} \\ \\ \displaystyle \frac{dy}{dx} &=& \dfrac{9\,y(x) - 3x^{2}}{3\,y(x)^{2} - 9x} \\ \\ \displaystyle \color{blue}{\frac{dy}{dx}} &\color{blue}{=}& \color{blue}{\dfrac{3\,y(x) - x^{2}}{y(x)^{2} - 3x}} \end{array}
A partir de esto podemos calcular, si conocemos un punto de la curva, la pendiente de la recta tangente que pasa por ese punto. Por ejemplo, a partir del gráfico podemos intuir que el punto (2,4) está sobre la curva; y de hecho, esto se corrobora porque 2^3 + 4^3 - 9\cdot 2\cdot 4 = 8+64 - 72 = 0. Sabiendo esto podemos decir rápidamente que la pendiente de la recta tangente que pasa por ese punto será:
\displaystyle \color{blue}{\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(2,4)}= \frac{3\cdot 4 - 2^2}{4^2 - 3\cdot 2}= \frac{8}{10}= \frac{4}{5}}
مشتقات القوى الكسرية
من خلال الاشتقاق الضمني يمكن توسيع نطاق إحدى التقنيات الأساسية في الاشتقاق، وهي مشتقة الدوال من النوع f(x)=x^n حيث n\in\mathbb{Z}. ويمكن الآن الانتقال من الأسس الصحيحة إلى الأسس الكسرية، وإثبات بسهولة أن:
\displaystyle \frac{d}{dx}x^{p/q}= \frac{p}{q}x^{(p/q) -1}
حيث p,q\in\mathbb{Z} وq\neq 0.
ولإثبات ذلك نقول: ليكن y=x^{p/q} ونطبّق لوغاريتمًا طبيعيًا للحصول على:
\ln(y) = \displaystyle \frac{p}{q}\ln(x)
والآن، باشتقاق هذه الصيغة ضمنيًا نحصل على:
\displaystyle \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q}\frac{1}{x} \displaystyle \color{blue}{\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q}\frac{1}{x}y(x)= \frac{p}{q}\frac{1}{x}x^{p/q} = \frac{p}{q}x^{(p/q) - 1}}
دليل التمارين:
قاعدة السلسلة في متغير واحد
- احسب مشتقات مجموعة الدوال التالية:
a. f(x)=(x^2-3)^{12} b. f(x)=\displaystyle \left(\frac{4x^3 - x\cos(2x) - 1}{\sin(2x) + 2} \right)^5 c. f(x)=\cos(1-x^2) d. f(x)=\tan(x\cos(3-x^2)) e. f(x)=\displaystyle \frac{1}{(\sec(2x)-1)^{3/2}} f. f(x)=\displaystyle \frac{\tan(2x)}{1-\cot(2x)} g. f(x)=\displaystyle \ln\left(\frac{\tan(x)}{x^2+1}\right) h. f(x)=3^{\csc(4x)} - احسب مشتقة مجموعة الدوال التالية:
a. f(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}arctan\left(x^3\right)} b. f(x)=\displaystyle \frac{{arcsec}(x^2-x+2)}{\sqrt{x^2+1}} c. f(x)=x^x d. f(x)={arccsc}\left(x^{\ln(x)}\right) e. f(x)=\ln\left(arctan(e^x)\right)