Regula catenae pro derivata compositionis functionum
Ex iis quae hactenus vidimus, iam omnia fundamentalia habemus ad fere quamlibet derivatam computandam. Attamen distinguere debemus inter facultatem derivatam computandi et laborem quem in tales computationes impendimus; hic autem in scaenam prodeunt theoremat a, ut est regula catenae pro calculo unius variabilis. Regula catenae nobis permittet celeriter derivatas computare quae aliter opus satis taediosum atque implicatum requirerent.
INDEX CONTENTORUM
Theorema regulae catenae in una variabili reali
Demonstratio regulae catenae
Exempla usus regulae catenae in functionibus unius variabilis
Cautio circa regulam catenae observanda
Resultata utilia ex regula catenae obtenta
Theorema functionis inversae
Derivata functionis exponentialis
Derivata functionum trigonometricarum inversarum
Derivatio implicita
Derivatae potestatum rationalium
Derivatae potestatum rationalium
Exercitationum index
Theorema regulae catenae in una variabili reali
Sint f et g duae functiones componibiles
f: A\subseteq \mathbb{R} \longmapsto B\subseteq \mathbb{R}
g: B\subseteq Dom(g) \longmapsto D\subseteq \mathbb{R}
Si f est derivabilis in A et g est derivabilis in B, tum functio composita g\circ f est derivabilis pro omnibus x\in A et valebit formula
\displaystyle \frac{d}{dx}(g\circ f)(x) = \frac{d}{dx} g(f(x)) = \frac{dg(f(x))}{df(x)} \frac{df(x)}{dx}
Demonstratio regulae catenae
Consideremus functiones f et g ut supra definitae sunt. Si derivatam compositionis computamus, tunc obtinebitur
\begin{array}{rcl} \dfrac{d}{dx} g(f(x))& = & \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{\Delta x} \\ \\ &=&\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{\Delta x} \cdot \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{f(x+\Delta x) - f(x)} \\ \\ &=& \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{f(x+\Delta x) - f(x)} \cdot \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \\ \\ &=&\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{f(x+\Delta x) - f(x)} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\\ \\ &=& \displaystyle \lim_{f(x+\Delta x) \to f(x) } \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{f(x+\Delta x) - f(x)} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\\ \\ &=& \displaystyle \frac{dg(f(x))}{df(x)} \frac{df(x)}{dx} \end{array}
Quod erat demonstrandum.
Exempla usus regulae catenae in functionibus unius variabilis
Quod quidem videtur evidens, saltem prima facie, sed non ita perspicuum est ex parte operationis, est hoc: regula catenae nos docet, cum compositionem functionum invenimus, nos posse derivare “ab exteriori ad interius”. Ut hoc modo explanetur faciliori intellectu, exempla longe via celerrima sunt.
- Si postulatur ut derivemus f(x) = (2x^2+1)^{12}, primum evolveremus potestates atque deinde derivationem potentiae in singulas partis illius magni polynomii, quod ex hoc processu emergere posset, applicaremus. Labor prorsus superfluus et gravis. Regula catenae adhibita, calculus derivatae paucis lineis perfici potest:
\displaystyle \frac{d}{dx} (2x^2+1)^{12} = 12(2x^2+1)^{11}(4x)= 48x(2x^2+1)^{11}
- Istud conare: computare derivatam g(x) = \sin(\cos(x)) solis technicis fundamentalibus derivationis; id te ad aeternas miserias duceret. Id vero fac per regulam catenae, et eventus sine lacrimis et paucis gradibus apparebit:
\displaystyle \frac{d}{dx} \sin(\cos(x))= -\cos(cos(x))\sin(x)
- Potes etiam derivatam computare functionum quae ex plurimis functionibus compositae sunt. Si f(x)=\cos(\cos(\cos(x))), derivata df/dx talis erit:
\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d}{dx} \cos(\cos(\cos(x))) &=& -\sin(\cos(\cos(x)))\cdot(-\sin(\cos(x))\cdot(-\sin(x)) \\ \\ &=& -\sin(\cos(\cos(x)))\cdot\sin(\cos(x))\cdot\sin(x) \end{array}
Ut videre licet, regulam catenae applicare idem est ac derivare concatenatim ab exterioribus ad interiora.
Monendum quod attinet ad regulam catenae
In litteris omnes ostendunt maximos usus regulae catenae, sed pauci sunt qui de cautionibus, antequam ea utatur, satis emphatice loquantur. Quamvis hoc theorema sit potens, semper diligenter attendere debes ad dominia et imagines functionum antequam regulam catenae applices. Antequam laboras, tibi confirmandum est dominia atque imagines functionum esse inter se compatibilia ad compositionem; sin minus, periculum subis derivatas computandi ubi non existunt. Si, exempli gratia, derivaveris functionem huius formae
f(x)=\ln(\cos(x))
si regulae catenae caeca fide adhaereas, computationes huiusmodi facies:
\displaystyle \frac{d}{dx}\ln(\cos(x)) = -\frac{1}{\cos(x)}\sin(x) = -\tan(x)
Plane functio tangens bene definita est pro valore x=2\pi/3, cum eius valor sit \tan(2\pi/3) = -\sqrt{3}. Attamen functio f(x)=\ln(\cos(x)) ibi bene definita non est, quia f(2\pi/3) = \ln(\cos(2\pi/3)) = \ln(-1/2), nec est logaritmus numerorum negativorum! In talibus casibus necesse est antequam regulam catenae applices declarare valores x eligendos esse tales qui functionem cosinus positivam servant (quo fit ut compositio sit legitima), atque solum tunc regula catenae valebit.
Resultata utilia ex regula catenae obtenta
Regula catenae non solum utilis est ad derivatas computandas quae aliter taediosissimae essent, sed etiam ad amplificandas rationes derivationis in multas alias functiones. Infra has rationes, earum eventus et demonstrationes recognoscemus.
Theorema functionis inversae
Sit f functio biiectiva et derivabilis in aliquo intervallo I\subseteq \mathbb{R}. Utendo regula catenae possibile est derivatam functionis identitatis computare (f^{-1}\circ f)(x) = f^{-1}(f(x)) = x. Computationes dant sequentem eventum:
1 = \displaystyle \frac{d}{dx} x = \frac{d}{dx} f^{-1}(f(x)) = \frac{df^{-1}(f(x))}{df(x)}\frac{df(x)}{dx}
Ex hoc elici potest df^{-1}(f(x))/df(x) et obtinetur:
\displaystyle \color{blue}{\frac{df^{-1}(f(x))}{df(x)}= \frac{1}{\frac{df(x)}{dx}}}
Hoc est quod vocatur theorema functionis inversae ad calculum derivatarum. In litteris frequens est hoc theorema ita scribere:
\displaystyle \color{blue}{\frac{dx}{dy}= \frac{1}{\frac{dy}{dx}}}
Utraque forma theorematis functionis inversae aequivalet et obtinetur ex scriptura y=f(x) et x=f^{-1}(y).
Hactenus vidimus quid theorematis functionis inversae substantia sit; nunc videre possumus quomodo eo uti possimus ad derivatas computandas quae aliter satis difficiles essent.
Derivata functionis exponentialis
Cum rationes derivandi fundamentales studeremus, vidimus:
\displaystyle \frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x}
Hoc cum theorema functionis inversae facile demonstrat:
\displaystyle \frac{d}{dx}e^x = e^x
DEMONSTRATIO:
Manifestum est y=\ln(x) idem esse quod dicere x=e^y. Quare, applicato theorema functionis inversae, habemus:
\displaystyle \frac{d}{dy}e^y = \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} = \frac{1}{\frac{d}{dx}\ln(x)} = x = e^y
Id est:
\displaystyle \frac{d}{dy}e^y = e^y
Si in hac ultima expressione litteras “y” pro “x” substituimus, obtinemus quod demonstrandum erat:
\displaystyle \frac{d}{dx}e^x = e^x.
Derivata Trigonometricae Inversae
Theorema functionis inversae etiam nobis concedet obtinere derivatas omnium functionum trigonometricarum inversarum. Hae sunt:
\begin{array}{ccccccc} \dfrac{d}{dx}\text{Arcsin}(x) &=& \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} &\phantom{asd}&\dfrac{d}{dx}\text{Arccos}(x) &=& \dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \\ \dfrac{d}{dx}\text{Arctan}(x) &=& \dfrac{1}{1+x^2} &\phantom{asd}&\dfrac{d}{dx}\text{Arccot}(x) &=& \dfrac{-1}{1-x^2} \\ \\ \dfrac{d}{dx}\text{Arcsec}(x) &=& \dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}} &\phantom{asd}&\dfrac{d}{dx}\text{Arccsc}(x) &=& \dfrac{-1}{x\sqrt{x^2-1}} \end{array}
DEMONSTRATIO
Arcsinus
Mostrar DemostraciónFunctio \sin(x) est biiectiva, dummodo eius domain restringatur ad intervallum formae \displaystyle \left[\frac{-\pi}{2}+k\pi , \frac{\pi}{2}+ k\pi \right], ubi k est numerus integer quivis. Sine detrimento generalitatis limitari licet ad casum principalem, ubi k=0, ita functio sinus biiectiva erit huiusmodi:
\displaystyle\sin : \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \longrightarrow [-1,1]
His condicionibus satisfactis obtinemus relationem
y=\sin(x) \longleftrightarrow x=arcsin(y).
Si theorema functionis inversae applicamus, habemus:
\displaystyle \frac{d}{dy}arcsin(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\sin(x)} = \frac{1}{\cos(x)}
Nunc memorare oportet identitatem trigonometricam
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
unde sequitur, si x\in [-\pi/2, \pi/2], valere
\cos(x) = \sqrt{1 - \sin^2(x)}
Quam relationem si in derivatam arcsin substituimus, consequimur:
\displaystyle \frac{d}{dy}arcsin(y) = \frac{1}{\cos(x)} = \frac{1}{ \sqrt{1 - \sin^2(x)}}
Et quoniam y=\sin(x)
\displaystyle \frac{d}{dy}arcsin(y) = \frac{1}{ \sqrt{1 - y^2}}
Denique, substitutis “y” pro “x” in hac ultima expressione, pervenimus ad id quod demonstrandum erat:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arcsin(x) = \frac{1}{ \sqrt{1 - x^2}}}
Arccosinus
Mostrar DemostraciónFunctio \cos(x) est biiectiva dummodo eius domain ad intervallum huius formae restringatur: \left[0+k\pi , \pi+ k\pi \right], ubi k est integer quivis. Sine detrimento generalitatis ad casum principalem, ubi k=0, nos limitare possumus, unde functio cosinus biiectiva erit:
\cos : \left[0, \pi\right] \longrightarrow [-1,1]
His positis habetur:
y=\cos(x) \longleftrightarrow x=arccos(y).
Applicato theorema functionis inversae, consequitur:
\displaystyle \frac{d}{dy}arccos(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\cos(x)} = \frac{-1}{\sin(x)}
Nunc recordemur identitatem trigonometricam:
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
unde colligitur, si x\in [0, \pi], valere:
\sin(x) = \sqrt{1 - \cos^2(x)}
Quam relationem si in derivatam arccosini substituimus, pervenitur ad formulam:
\displaystyle \frac{d}{dy}arccos(y) = \frac{-1}{\sin(x)} = \frac{-1}{ \sqrt{1 - \cos^2(x)}}
Et quoniam y=\cos(x):
\displaystyle \frac{d}{dy}arccos(y) = \frac{-1}{ \sqrt{1 - y^2}}
Denique, substitutis “y” pro “x” in hac expressione, obtinemus quod demonstrandum erat:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arccos(x) = \frac{-1}{ \sqrt{1 - x^2}}}
Arctangens
Mostrar DemostraciónFunctio \tan(x) est biiectiva si eius domain restringatur ad intervallum formae \displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}+k\pi , \frac{\pi}{2}+ k\pi \right], ubi k est integer quivis. Sine iactura generalitatis licet nos limitare ad casum principalem, ubi k=0, ita functio tangens biiectiva erit:
\displaystyle \tan : \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \longrightarrow \mathbb{R}
His positis habetur:
y=\tan(x) \longleftrightarrow x=arctan(y).
Applicato theorema functionis inversae, consequitur:
\displaystyle \frac{d}{dy}arctan(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\tan(x)} = \frac{1}{\sec^2(x)}
Recordemur nunc identitatem trigonometricam:
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
unde obtinetur:
\sec^2(x) =1+\tan^2(x)
Quam relationem si in derivatam arctangentis substituimus, pervenitur ad formulam:
\displaystyle \frac{d}{dy}arctan(y) = \frac{1}{\sec^2(x)} = \frac{1}{ 1+\tan^2(x)}
Et quoniam y=\tan(x):
\displaystyle \frac{d}{dy}arctan(y) = \frac{1}{1 + y^2}
Denique, substitutis “y” pro “x” in hac expressione, pervenimus ad quod demonstrandum erat:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arctan(x) = \frac{1}{1+ x^2}}
Arccotangens
Mostrar DemostraciónFunctio cot(x) est biiectiva dummodo eius domain restringatur ad intervallum huiusmodi: \left[0+k\pi , \pi+ k\pi \right], ubi k est integer quivis. Sine detrimento generalitatis licet nos limitare ad casum principalem, ubi k=0, ita functio cotangens biiectiva erit:
ctg : \left[0, \pi\right] \longrightarrow \mathbb{R}
His positis habetur:
y=ctg(x) \longleftrightarrow x=arcctg(y).
Applicato theorema functionis inversae obtinemus:
\displaystyle \frac{d}{dy}arcctg(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}ctg(x)} = \frac{-1}{\csc^2(x)}
Recordemur identitatem trigonometricam:
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
unde sequitur:
\csc^2(x) =1+ctg^2(x)
Substituendo hanc relationem in derivatam arcctg habetur:
\displaystyle \frac{d}{dy}arcctg(y) = \frac{-1}{\csc^2(x)} = \frac{-1}{ 1+ctg^2(x)}
Et cum y=ctg(x):
\displaystyle \frac{d}{dy}arcctg(y) = \frac{-1}{1 + y^2}
Denique, substitutis “y” pro “x” in hac expressione, pervenimus ad quod demonstrandum erat:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arcctg(x) = \frac{-1}{1+ x^2}}
Arcsecans
Mostrar DemostraciónFunctio \sec(x) est biiectiva dummodo eius domain restringatur ad intervallum \displaystyle \left[0+k\pi , \pi+ k\pi \right]\setminus\left\{\frac{\pi}{2} + k\pi\right\}, ubi k est integer quivis. Sine detrimento generalitatis licet nos limitare ad casum principalem, ubi k=0, ita functio secans biiectiva erit:
\sec : \left[0, \pi\right]\setminus\{\pi/2\} \longrightarrow \mathbb{R}\setminus]-1,1[
His positis habetur:
y=\sec(x) \longleftrightarrow x={arcsec}(y).
Applicato theorema functionis inversae habemus:
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\sec(x)} = \frac{1}{\sec(x)\tan(x)}
Recordemur identitatem trigonometricam:
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
unde sequitur:
\tan^2(x) =\sec^2(x)-1
Substituendo hanc relationem in derivatam arcsecantis, obtinemus:
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{1}{\sec(x)\tan(x)} = \frac{1}{sec(x)\sqrt{\sec^2(x)-1}}
Et quoniam y=\sec(x):
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{1}{y\sqrt{y^2-1}}
Denique, substitutis “y” pro “x” in hac expressione, pervenimus ad quod demonstrandum erat:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}{arcsec}(x) = \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}}
Arccosecans
Mostrar DemostraciónFunctio \csc(x) est biiectiva dummodo eius domain restringatur ad intervallum huius formae: \displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}+k\pi , \frac{\pi}{2} + k\pi \right]\setminus\left\{0+k\pi\right\}, ubi k est integer quivis. Sine detrimento generalitatis licet nos limitare ad casum principalem, ubi k=0, ita functio cosecans biiectiva erit:
\displaystyle \csc : \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\setminus\{0\} \longrightarrow \mathbb{R}\setminus]-1,1[
His positis habetur:
y=\csc(x) \longleftrightarrow x={arccsc}(y).
Applicato theorema functionis inversae, obtinemus:
\displaystyle \frac{d}{dy}{arccsc}(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\csc(x)} = \frac{-1}{\csc(x)ctg(x)}
Nunc recordemur identitatem trigonometricam:
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
unde sequitur:
ctg^2(x) =\csc^2(x)-1
Substituendo hanc relationem in derivatam arccosecantis, pervenitur ad formulam:
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{-1}{\csc(x)ctg(x)} = \frac{-1}{csc(x)\sqrt{\csc^2(x)-1}}
Et quoniam y=\csc(x):
\displaystyle \frac{d}{dy}{arccsc}(y) = \frac{-1}{y\sqrt{y^2-1}}
Denique, substitutis “y” pro “x” in hac expressione, obtinemus quod demonstrandum erat:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}{arccsc}(x) = \frac{-1}{x\sqrt{x^2-1}}}
Derivatio Implicita
Omnes derivationes quas hactenus computavimus factae sunt super functionibus quae explicite definitae sunt: y=f(x). Attamen adsunt casus in quibus, ex relatione inter variabiles data, vel non facile est expressionem explicitam obtinere, vel illud plane fieri non potest. In eiusmodi casibus adhibetur ratio derivationis implicitae, cuius fundamenta, iterum, in regula catenae inveniuntur.
Ad hanc rationem intellegendam plus valent exempla quam demonstrationes; consideremus ergo relationem inter variabiles x et y datam aequatione:
x^3 +y^3- 9xy=0
Si hanc relationem graphice repraesentamus, intellegemus eam non esse graphicon ullius functionis. Est graphicon curvae quae vocatur “folium Descartesii”.
Nunc, si velimus computare, exempli gratia, derivatam y respectu x, graves difficultates haberemus in inveniendis explicite expressionem f(x) quae aequationi y=f(x) satisfaciat ut deinde derivemus. Quod tamen facimus est hoc: illum gradum omittimus et implicite assumimus y esse functionem x, id est: y=y(x). Hoc posito, relatio folii Descartesiani fit:
x^3 +y^3(x)- 9xy(x)=0
Et consequenter possumus totum derivare utens regula catenae. Si ita facimus, perveniemus ad hunc eventum:
\begin{array}{rcl} \displaystyle 3x^{2} + 3\,y(x)^{2}\,\frac{dy}{dx} - \left(9\,y(x) + 9x\,\frac{dy}{dx}\right) &=& 0 \\ \\ \displaystyle 3x^{2} + 3\,y(x)^{2}\,\frac{dy}{dx} - 9\,y(x) - 9x\,\frac{dy}{dx} &=& 0 \\ \\ \displaystyle \frac{dy}{dx}\,\big(3\,y(x)^{2} - 9x\big) &=& 9\,y(x) - 3x^{2} \\ \\ \displaystyle \frac{dy}{dx} &=& \dfrac{9\,y(x) - 3x^{2}}{3\,y(x)^{2} - 9x} \\ \\ \displaystyle \color{blue}{\frac{dy}{dx}} &\color{blue}{=}& \color{blue}{\dfrac{3\,y(x) - x^{2}}{y(x)^{2} - 3x}} \end{array}
Ex hoc possumus computare, si punctum curva notum est, declivitatem rectae tangentis per illud punctum transeuntis. Exempli gratia, ex graphico intellegere possumus punctum (2,4) in curva iacere; idque revera confirmatur quia 2^3 + 4^3 - 9\cdot 2\cdot 4 = 8+64 - 72 = 0. Hoc scientes possumus celeriter dicere declivitatem rectae tangentis per illud punctum esse:
\displaystyle \color{blue}{\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(2,4)}= \frac{3\cdot 4 - 2^2}{4^2 - 3\cdot 2}= \frac{8}{10}= \frac{4}{5}}
Derivata potestatum rationalium
Derivando implicite possibile est ampliare ambitum unius ex technicis fundamentalibus derivationis. Haec est derivata functionum generis f(x)=x^n, cum n\in\mathbb{Z}. Nunc possumus ex integralibus ad rationales transire atque sine difficultate demonstrare:
\displaystyle \frac{d}{dx}x^{p/q}= \frac{p}{q}x^{(p/q) -1}
Ubi p,q\in\mathbb{Z} et q\neq 0.
Ad hoc demonstrandum dicimus: sit y=x^{p/q} et logarithmum naturalem utrique lateri applicamus, unde obtinemus:
\ln(y) = \displaystyle \frac{p}{q}\ln(x)
Iam, derivando implicite hanc expressionem, habebimus:
\displaystyle \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q}\frac{1}{x} \displaystyle \color{blue}{\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q}\frac{1}{x}y(x)= \frac{p}{q}\frac{1}{x}x^{p/q} = \frac{p}{q}x^{(p/q) - 1}}
Index Exercitationum:
Regula Catenae Unius Variabilis
- Computa derivatas sequentium functionum:
a. f(x)=(x^2-3)^{12} b. f(x)=\displaystyle \left(\frac{4x^3 - x\cos(2x) - 1}{\sin(2x) + 2} \right)^5 c. f(x)=\cos(1-x^2) d. f(x)=\tan(x\cos(3-x^2)) e. f(x)=\displaystyle \frac{1}{(\sec(2x)-1)^{3/2}} f. f(x)=\displaystyle \frac{\tan(2x)}{1-\cot(2x)} g. f(x)=\displaystyle \ln\left(\frac{\tan(x)}{x^2+1}\right) h. f(x)=3^{\csc(4x)} - Computa derivatam sequentium functionum:
a. f(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}arctan\left(x^3\right)} b. f(x)=\displaystyle \frac{{arcsec}(x^2-x+2)}{\sqrt{x^2+1}} c. f(x)=x^x d. f(x)={arccsc}\left(x^{\ln(x)}\right) e. f(x)=\ln\left(arctan(e^x)\right)