Quomodo distributionem normalem per tabulam computare?
Summarium
In hac lectione tractabimus de distributione normali, una ex distributionibus probabilitatis continuis frequentissimis. Examinabimus quomodo variabilis aleatoria X cum parametris μ et σ distributionem normalem sequi possit et quomodo haec distributio per substitutionem in integrale standardizari possit. Nihilominus animadvertimus quod, quamvis simplicatio per standardizationem fiat, calculus analytic integralium manet arduus, cum expressiones algebraicae ad exitum eius exhibendum non exsistant. Ad hoc problema superandum, tabulam distributionis normalis standardae in Excel constructam exhibebimus, quae approximationes numericas valorum functionis praebet. Explicabimus diligenter quomodo tabula adhibeatur, inclusa interpretatione probabilitatum cumulatarum tamquam arearum sub curva. Denique lectio perficitur serie exercitationum practicorum ad calculum probabilitatum et aestimationum utens tabula distributionis normalis et notione distributionis normalis standardae.
OBJECTIVA DISCENDI:
Post hanc lectionem, discipulus poterit:
- Demonstrare relationem inter distributionem normalem standardam et distributionem normalem cum parametris \mu et \sigma statutis, per substitutionem integralem.
- Resolvere problemata practica utens tabula distributionis normalis standardae.
- Construere atque uti tabula distributionis normalis standardae per Excel.
INDEX CONTENTORUM:
Problema et solutio distributionis normalis
Quomodo hac tabula utar?
Exercitationes
Problema et solutio distributionis normalis
Una ex distributionibus continuis probabilitatis maxime adhibitis est distributio normalis. Variabilis aleatoria X distributionem normalem habet cum parametris \mu,\sigma si hoc valet:
\displaystyle P(X\leq x) =\Phi_{\mu,\sigma}(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2}dt
et etiam vidimus hanc distributionem posse “standardizari” si in integrale substitutionem huius formae facimus \displaystyle z= \frac{t-\mu}{\sigma}, obtinentes:
\displaystyle \Phi_{\mu,\sigma}(x) = \int_{-\infty}^{\frac{x-\mu}{\sigma}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2} }dt = \Phi_{0,1}\left(\frac{x-\mu}{\sigma} \right)
Quamvis hic processus standardizationis nobis integralem simplicet, tamen non sufficit ut unam quidem probabilitatem huius distributionis computare possimus. Accidit enim ut aestimatio huius integralis analytica ratione effici non possit; revera nullae sunt expressiones algebraicae quibus exitus harum integralium exprimi possit, quod nobis difficultates affert. Nihilominus, si approximationes numericas pro aliquibus valoribus functionis distributionis normalis standardae habeamus, iam incipere possumus quasdam aestimationes efficere. Hi valores continentur in hac tabula pro distributione normali standarda quam in Excel pro te construxi >:D
Potes hanc tabulam in forma excel deponere in hoc nexo. Suadeo ut illum fasciculum recognoscas, quia sic disces tuam propriam tabulam componere, si forte nullam inveneris 🙂
Quomodo hac tabula utar?
Ut hac tabula sine difficultate uteris meminisse debes quod, praeterquam quod tibi probabilitatem cumulativam indicet, haec etiam repraesentat aream sub curva (functionis densitatis). Hoc in figura sequenti demonstratur:
Hoc intellecto, sequitur ut ipsum usum tabulae exponamus. Quod hic videmus est valorem z in quo functionem \Phi_{0,1}(z) aestimaturi sumus in duas partes divisum apparere: in columna reperies eius expansionem usque ad primum digitum decimalem, et in ordine reperies secundum digitum decimalem; ita ut, exempli gratia: numerus z=1,72 inveniri possit quasi ex “coordinatis” constitutus: verticalis est 1,7, et horizontalis 0,02. Denique approximatio numerica \Phi_{0,1}(1,72) apparebit in quadrato coordinatarum “1,7” et “0,02”, quod ostendit valorem 0,957284.
Exercitationes
- Aestima valorem \Phi_{0,1}(2,93)
- Aestima valorem \Phi_{\mu=12,\sigma=3}(11,5)
- Variabilis aleatoria X distributionem normalem habet N(\mu=37,\sigma=9). Computa P(35 \lt X \lt 43).
- Quantitas lycopersicorum quae quotidie in taberna mercatoris corrumpuntur habet mediam \mu=50 cum deviatone typica \sigma=15. Si mercator lycopersica ter in hebdomada portat, aestima numerum dierum quibus plus quam 60 lycopersica corrumpentur durante mense.
- Assumpto quod X \sim N(\mu,\sigma) computa probabilitates sequentes:
- P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma)
- P(X \leq \mu - \sigma \vee \mu + \sigma \leq X)
- P(X \leq \mu - n\sigma \vee \mu + n\sigma \leq X)