Álgebra y Proyecciones en Rn, Producto Vectorial en {\mathbb{R}^3}

Resumen:
Esta serie es la continuación directa de la serie sobre el Espacio Euclidiano de n dimensiones. Aquí revisaremos algunos conceptos de álgebra lineal que ayudan a comprender mejor al espacio euclidiano n-dimensional, revisaremos los conceptos de proyecciones de un vector sobre otro, demostraremos el teorema de Pitágoras y se concluirá con una revisión al producto vectorial en \mathbb{R}^3 y su relación con los otros productos del espacio Euclidiano 3-dimensional.

INDICE
Independencia Lineal, Ortogonalidad y Proyecciones
El Teorema de Pitágoras y la Proyección sobre un Subespacio
El Producto Escalar y Vectorial en \mathbb{R}^3

Independencia Lineal, Ortogonal y Proyecciones

Combinación lineal e independencia lineal

Un vector no nulo \vec{z} puede construirse como una combinación lineal respecto de otros vectores no nulos \vec{x} e \vec{y} si existe un par de números reales \alpha y \beta, no ambos nulos simultaneamente, tales que:

\vec{z} = \alpha \vec{x} + \beta\vec{y}

Es decir, el vector \vec{z} se puede construir como una suma ponderada de los vectores \vec{x} e \vec{y}.

De forma análoga, se dice que los vectores \vec{x} e \vec{y} son linealmente independientes si

(\alpha \vec{x} + \beta\vec{y} = \vec{0} ) \longleftrightarrow (\alpha=0 \wedge \beta=0 )

La independencia lineal entre los vectores \vec{x} e \vec{y} nos dice que \vec{y} no se puede obtener como un múltiplo escalar (no nulo) de \vec{x} ni viceversa.

El concepto de independencia lineal que acabamos de revisar se puede extender para conjuntos más grandes de vectores. El conjunto de vectores no nulos \{\vec{x}_1, \cdots, \vec{x}_n\} se dice que es linealmente independiente cuando

\displaystyle \left[\left(\sum_{i=1}^n \alpha_i \vec{x}_i \right) = \vec{0} \right] \longleftrightarrow \left[\bigwedge_{i=1}^n (\alpha_i = 0) \right]

El ángulo formado por dos vectores y la ortogonalidad

Si recordamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz, esta nos dice que (\forall \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n)(|\vec{x}\cdot\vec{y}| \leq \|\vec{x}\| \|\vec{y}\|). Teniendo esto en cuenta es fácil constatar que para cualquier par de vectores \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\} se cumple la relación:

\displaystyle -1 \leq \frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\|\vec{x}\|\|\vec{y}\|}\leq 1

Ahora podemos intuir una relación entre el producto punto y el ángulo que forman los vectores \vec{x} e \vec{y}, porque estos generan un plano isométrico a \mathbb{R}^2. Por esto, sin perdida de generalidad, podemos imaginarlos como siendo elementos de \mathbb{R}^2 con ángulos respecto al eje \hat{x} de \theta_x y \theta_y, respectivamente, de modo que los vectores quedan escritos en forma polar como:

\begin{array}{rl} \vec{x} &= \|\vec{x}\|(\cos(\theta_x) , \sin(\theta_x)) \\ \\ \vec{y} &= \|\vec{y}\|(\cos(\theta_y) , \sin(\theta_y)) \end{array}

Así podemos suponer (sin perdida de generalidad, otra vez) que \theta_x \lt \theta_y, para luego calcular el producto punto \vec{x}\cdot\vec{y}. Haciendo esto tendremos el siguiente resultado:

\begin{array}{rl}\vec{x}\cdot \vec{y} &= \|\vec{x}\| \|\vec{y}\| (\cos(\theta_x)\cos(\theta_y) + \sin(\theta_x)\sin(\theta_y)) \\ \\ &= \|\vec{x}\| \|\vec{y}\| \cos(\theta_y-\theta_x) \end{array}

Ahora, tomando la diferencia entre la posición angular mayor y la menor obtenemos el ángulo comprendido entre los vectores, \angle(\vec{x},\vec{y})=\theta_y - \theta_x. Y con esto ahora podemos escribir:

\displaystyle \cos\left(\angle(\vec{x},\vec{y}) \right) = \frac{\vec{x} \cdot \vec{y}}{\|\vec{x}\|\|\vec{y}\|}

Aquí debemos recalcar que \angle(\vec{x},\vec{y})\in [0, \pi]

A partir de esto podemos conectar la desigualdad de Cauchy-Schwarz con la geometría de los ángulos, y además nos permite obtener una noción rigurosa de ortogonalidad. Dos vectores se dicen Ortogonales cuando sostienen entre si un ángulo de \pi/2 radianes, en el sentido que se explicó en el párrafo anterior. Esto es equivalente a decir que \cos\left(\angle(\vec{x},\vec{y})\right) = 0, que a su vez es equivalente a decir que \vec{x}\cdot\vec{y} = 0. Por este motivo se dice que afirmar la ortogonalidad de los vectores \vec{x} e \vec{y} es equivalente a decir que \vec{x}\cdot\vec{y}=0.

Si dos vectores no nulos son ortogonales, entonces son linealmente independientes

Esta es una propiedad algo intuitiva de los vectores de \mathbb{R}^n cuya demostración formal no es tan directa, y también es una propiedad que en ocasiones puede generar algo de confusión: La ortogonalidad de dos vectores implica la independencia lineal entre ellos, pero la independencia lineal entre dos vectores no necesariamente implica su ortogonalidad. Para ver esto último basta con un simple contraejemplo:

Si tomamos los vectores \vec{A}=(1,0) y \vec{B}=(1,1), que claramente no son ortogonales porque \vec{A}\cdot\vec{B}=1, veremos que si hacemos

\alpha\vec{A} + \beta\vec{B} = \vec{0}

Entonces se tiene que

\begin{array}{rl} \alpha + \beta &= 0 \\ \beta &= 0 \end{array}

y por lo tanto: \alpha = 0 \wedge \beta=0. Y con esto se concluye que:

\alpha\vec{A} + \beta\vec{B} = \vec{0} \longleftrightarrow \alpha = 0 \wedge \beta=0

Que es equivalente a decir que \vec{A} y \vec{B} son linealmente independientes. Con esto queda claro de forma muy explicita que no es cierto que la independencia lineal implique ortogonalidad. Sin embargo, la ortogonalidad si implica la independencia lineal y es lo que demostraré formalmente a continuación, y para esto consideremos el siguiente conjunto de premisas:

\mathcal{H}= \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\cdot\vec{y}=0, \alpha\vec{x}+\beta\vec{y} = \vec{0}\}

A partir de esto podemos producir el siguiente razonamiento:

\begin{array}{rll} (1) &\mathcal{H}\vdash \vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\} &{;\;Presuncion}\\ \\ (2) &\mathcal{H}\vdash \vec{x}\cdot\vec{y}=0 &{\;Presuncion} \\ \\ (3) &\mathcal{H}\vdash \alpha\vec{x} + \beta\vec{y} = \vec{0} &{\;Presuncion} \\ \\ (4) &\mathcal{H}\vdash (\alpha\vec{x} + \beta\vec{y})\cdot\vec{x} = \alpha\|\vec{x}\|^2 + \beta(\vec{x}\cdot\vec{y}) &{;\; Bilinealidad} \\ \\ (5) &\mathcal{H}\vdash \alpha\|\vec{x}\|^2 = 0 & {;\; De(2,3,4)} \\ \\ (6) &\mathcal{H}\vdash \alpha = 0 & {;\; De(1,5)} \\ \\ (7) &\mathcal{H}\vdash (\alpha\vec{x} + \beta\vec{y})\cdot\vec{y} = \alpha(\vec{x}\cdot\vec{y}) + \beta\|\vec{y}\|^2 & {;\;Bilinealidad} \\ \\ (8) &\mathcal{H}\vdash \beta\|\vec{y}\|^2 = 0 &{;\;De(2,3,7)} \\ \\ (9) &\mathcal{H}\vdash \beta = 0 &{;\;De(1,8)} \\ \\ (10) &\mathcal{H}\vdash \alpha= 0 \wedge \beta = 0 &{;\;\wedge-int(6,9)} \end{array}

Con esto concluimos que

\{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\cdot\vec{y}=0, \alpha\vec{x}+\beta\vec{y} = \vec{0}\} \vdash \alpha= 0 \wedge \beta = 0

Finalmente, aplicando el teorema de deducción sobre esta última expresión se tiene:

\{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\cdot\vec{y}=0\} \vdash (\alpha\vec{x}+\beta\vec{y} = \vec{0}) \rightarrow (\alpha= 0 \wedge \beta = 0)

La prueba con la que se obtiene la flecha en la dirección contraria es trivial.

Es decir: si \vec{x} e \vec{y} son vectores no nulos y ortogonales, entonces son linealmente independientes.

La proyección de un vector sobre otro

Supongamos que tenemos dos vectores no nulos \vec{x} e \vec{y} que sostienen entre si un ángulo \angle(\vec{x},\vec{y}) y nos preguntamos «¿En qué cantidad el vector \vec{x} se encuentra sobre el vector \vec{y}?» o «¿De qué tamaño es a sombra del vector \vec{x} cuando se proyecta sobre la dirección del vector \vec{y}?». Esta pregunta la podemos resolver a través de la trigonometría, y con esto definir la proyección de un vector \vec{x} sobre otro \vec{y}, Proy_{\vec{y}}(\vec{x}), a través de la expresión:

Proy_{\vec{y}}(\vec{x}) = \| \vec{x}\| \cos(\angle(\vec{x},\vec{y})) \hat{y}

Si combinamos esto con lo visto en párrafos anteriores podemos escribir:

\displaystyle Proy_{\vec{y}}(\vec{x}) = {\| \vec{x}\|} \left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{{\|\vec{x}\|} \|\vec{y}\|}\right)\color{red}{\hat{y}} = \left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\|\vec{y}\|} \right)\color{red}{\frac{\vec{y}}{\|\vec{y}\|}} = \left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\|\vec{y}\|^2}\right)\vec{y} = \left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\vec{y}\cdot\vec{y}}\right)\vec{y}

ya que, recordemos

\displaystyle \cos(\angle(\vec{x},\vec{y})) = \frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\|\vec{x}\| \|\vec{y}\|}

Las proyecciones son importantes porque nos permiten expresar los vectores en términos de cualquier base como la suma de sus proyecciones:

\vec{x} = \displaystyle \sum_{i=1}^n \alpha_i \hat{u}_i

Donde \{\vec{u}_i\}_{i=1,\cdots, n} es una base de vectores linealmente independientes de \mathbb{R}^n y los coeficientes \alpha_i = (\vec{x}\cdot\vec{u}_i)/\|\vec{u}_i\| son justo las proyecciones sobre cada elemento de la base y que constituyen las coordenadas \vec{x} respecto a la base \{\hat{u}_i\}_{i=1,\cdots, n} de \mathbb{R}^n.

El Teorema de Pitagoras y la Proyección sobre un Subespacio

El teorema de Pitágora en un resultado por todos conocidos y que cuenta con un sinnúmero de demostraciones. Una demostración posible de este teorema emerge justo de las materias que hemos desarrollado para el espacio euclidiano con el extra de ser válido para cualquier número de dimensiones.

Demostrando el Teorema de Pitágoras

Si tenemos un triángulo rectángulo de catétos a y b, e hipotenusa c, el teorema de pitágoras nos dice que a^2+b^2=c^2.Entendido esto podemos representar cada cateto a través de un par de vectores ortogonales \vec{x} e \vec{y} y escribir el teorema de Pitágoras de la siguiente manera:

\{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}\} \vdash \vec{x}\bot\vec{y} \leftrightarrow (\|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2)

Donde la expresión \vec{x}\bot\vec{y} indica que ambos vectores son ortogonales, es decir: no nulos y tales que \vec{x}\cdot\vec{y}=0. De este modo, se establece una relación de bicondicionalidad entre la ortogonalidad y la suma de las magnitudes al cuadrado de dos vectores.

Esta forma vectorial de representar el teorema de Pitágoras se puede demostrar a través de los siguientes dos razonamientos:

Primero de ida:

\begin{array}{rll} (1) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\bot\vec{y}\} \vdash \vec{x}\bot\vec{y} & {;\;Presunción} \\ \\ (2) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\bot\vec{y}\} \vdash \vec{x}\cdot\vec{y}= 0 & {;\;De(1)} \\ \\ (3) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\bot\vec{y}\} \vdash \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = (\vec{x} + \vec{y})\cdot(\vec{x} + \vec{y}) = \|\vec{x}\|^2 + 2(\vec{x}\cdot\vec{y}) + \|\vec{y}\|^2 & \\ &;\; Propiedad\;de\;la\;norma\;euclidiana\;y\;el\;producto\;escalar & \\ \\ (4) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\bot\vec{y}\} \vdash \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2 & {;\;De(2,3)} \\ \\ (5) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}\} \vdash \vec{x}\bot\vec{y} \rightarrow ( \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2) & {;\;TD(4)} \end{array}

Y ahora de regreso:

\begin{array}{rll} (1) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2\} \vdash \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2 & {;\;Presuncion} \\ \\ (2) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2\} \vdash \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 +2(\vec{x}\cdot\vec{y}) + \|\vec{y}\|^2 & \\ &;\; Propiedad\;de\;la\;norma\;euclidiana\;y\;el\;producto\;escalar &\\ \\ (3) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2\} \vdash \vec{x}\cdot\vec{y}=0 & {;\;De(1,2)} \\ \\ (4) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2\} \vdash \vec{x}\bot\vec{y} & {;\;De(3)} \\ \\ (5) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}\} \vdash (\|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2) \rightarrow \vec{x}\bot\vec{y} & {;\;TD(4)} \end{array}

Y finalmente, juntando ambos razonamientos se tiene lo que se quería demostrar:

\{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}\} \vdash \vec{x}\bot\vec{y} \leftrightarrow (\|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2)

La Proyección de un vector sobre un Subespacio de \mathbb{R}^n

Consideremos un subespacio H de \mathbb{R}^n formado por una base de vectores unitarios \{\hat{v}_1, \cdots, \hat{v}_k\}. Si tomamos un vector \vec{x}\in\mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, se define la proyección del vector \vec{x} sobre el espacio H a través de la expresión:

Proy_{H}(\vec{x}) = \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j

Que un conjunto sea ortonormal quiere decir que todos sus elementos son ortogonales entre si y cada uno tiene norma igual a la unidad.

Esto es, por decirlo así, la sombra que proyecta un vector sobre cada una de las componentes del subespacio H de \mathbb{R}^n

Distancia entre un Punto o Vector de \mathbb{R}^n y un Subespacio de \mathbb{R}^n

A partir de la proyección de un vector \vec{x}\in\mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\} sobre un subespacio H de \mathbb{R}^n se puede construir un vector de la forma

\vec{x} - Proy_{H}(\vec{x})

El vector formado de esta manera será un vector que une un punto del subespacio H con el punto de coordenadas \vec{x}, que sale ortogonalmente al subespacio H. Esto no es difícil de probar, si tomamos un vector cualquiera de \vec{z}\in H y calculamos el producto punto (\vec{x}-Proy_{H}(\vec{x}))\cdot \vec{z}, basta con ver que el resultado de esta operación es cero. Hagamos las cuentas para ver si de verdad esto es así:

Si \vec{z}\in H, entonces se tendrá que es de la forma

\vec{z}=\displaystyle \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j

Donde \{\hat{v}_j\}_{j=1}^k es una base ortonormal de H y \beta_j \in\mathbb{R} son los coeficientes de \vec{z} en H. Teniendo esto en cuenta, el cálculo del producto punto (\vec{x}-Proy_{H}(\vec{x}))\cdot \vec{z}, dará:

\begin{array}{rl} (\vec{x}-Proy_{H}(\vec{x}))\cdot \vec{z} &= \left(\vec{x} - \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j \right) \cdot \displaystyle \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j \\ \\ &= \vec{x} \cdot \displaystyle \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j - \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j \cdot \displaystyle \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j \end{array}

Pero como \vec{x} es un vector de \mathbb{R}^n del cual H es subespacio, es posible encontrar un conjunto de n-k vectores ortonormales entre si y a la vez ortonormales a todos los vectores de H, digamos \{\hat{v}_{k+1}, \cdots, \hat{v}_n\}, de modo tal que junto a la base de H formen una base para \mathbb{R}^n y se pueda escribir

\vec{x} = \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x}\cdot\hat{v}_j )\hat{v}_j + \sum_{j=k+1}^n \alpha_j \hat{v}_j

De modo que el desarrollo de más arriba sigue de la forma:

\begin{array}{rl} (\vec{x}-Proy_{H}(\vec{x}))\cdot \vec{z} &= \displaystyle \left( \sum_{j=1}^k (\vec{x}\cdot\hat{v}_j )\hat{v}_j + \sum_{j=k+1}^n \alpha_j \hat{v}_j\right) \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j - \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j \\ \\ &= \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x}\cdot\hat{v}_j )\hat{v}_j \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j + \underbrace{\color{red}{\sum_{j=k+1}^n \alpha_j \hat{v}_j \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j}}_{(*)} - \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j \\ \\ &= \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x}\cdot\hat{v}_j )\hat{v}_j \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j - \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j \\ \\ &= 0 \end{array}

(*) Suma cero porque \{v_j\}_{j=1}^n es una base ortonormal de \mathbb{R}^n.

A partir de esto podemos demostrar que la distancia entre el subespacio H y el vector \vec{x} está dado por:

\|\vec{x} - Proy_{H}(\vec{x})\|

Demostración

Para demostrar este resultado se mostrará que para todo \vec{z}\in H siempre se cumplirá que \|\vec{x} - Proy_{H}(\vec{x})\| \leq \|\vec{x} - \vec{z}\|, para esto utilizaremos el teorema de Pitagoras de la siguiente manera:

\begin{array}{rl} \|\vec{x} - \vec{z}\|^2 &= \| \left(\vec{x} -Proy_{H}(\vec{x}) \right) + \left(Proy_{H}(\vec{x}) - \vec{z}\right)\|^2 \\ \\ &= \| \vec{x} -Proy_{H}(\vec{x}) \|^2 + \|Proy_{H}(\vec{x}) - \vec{z}\|^2 \\ \\ \end{array}

Esta última igualdad se obtiene porque los vectores \vec{x} -Proy_{H}(\vec{x}) y Proy_{H}(\vec{x}) - \vec{z} son ortogonales. Y por lo tanto:

\|\vec{x} - Proy_{H}(\vec{x})\|^2 \leq \|\vec{x} - \vec{z}\|^2

que es lo que se quería demostrar.

Ya con este resultado en nuestras manos, podemos decir que la distancia entre un punto de \vec{x}\in\mathbb{R}^n y un subespacio H de \mathbb{R}^n generado por los vectores ortonormales \{\hat{v}_1, \cdots, \hat{v}_k\} está dada por:

dist(\vec{x},H) =\left\|\vec{x} - Proy_{H}(\vec{x})\right\|= \left\|\vec{x} - \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j\right\|

El Producto Escalar y Vectorial en \mathbb{R}^3

Ahora cambiaremos un poco nuestro enfoque para centrarnos en los vectores de \mathbb{R}^3. Aquí, además de las operaciones que ya hemos revisado en general para \mathbb{R}^n, es posible además el producto vectorial que a partir del producto de dos vectores da como resultado otro vector. Este es un producto exclusivo de \mathbb{R}^3 (y posiblemente de \mathbb{R}^7, cuyo caso no analizaremos aqui). Generalmente se representan los vectores de la base canónica de \mathbb{R}^3 a través de las letras \hat{x}, \hat{y}, \hat{z} o como \hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k}. La preferencia de uno u otro es personal.

\begin{array}{rl} \hat{\imath} = \hat{x}&=(1,0,0)\\ \hat{\jmath} =\hat{y}&=(0,1,0)\\ \hat{k} =\hat{z}&=(0,0,1)\\ \end{array}

Así, si tenemos un vector de la forma (a,b,c), puede ser escrito en forma algebraica de la siguiente forma:

(a,b,c) = a\hat{x} + b\hat{y} + c\hat{z}

El producto vectorial en \mathbb{R}^3

Sean \vec{x}=(x_1,x_2,x_3) e \vec{y}=(y_1,y_2,y_3) vectores de \mathbb{R}^3. Se define el producto vectorial de \vec{x} con \vec{y}, \vec{x}\times\vec{y} a través de:

\begin{array}{rl} \vec{x}\times\vec{y} &= \left|\begin{array}{ccc} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \end{array}\right| \\ \\ &=\hat{x}x_2y_3 + \hat{y}x_3y_1 + \hat{z} x_1y_2 - \left( \hat{z} x_2 y_1 + \hat{y} x_1 y_3 + \hat{x}x_3y_2\right) \\ \\ &=\hat{x}(x_2y_3 - x_3y_2) + \hat{y}(x_3y_1 - x_1y_3) + \hat{z}(x_1y_2 - x_2y_1) \end{array}

La Identidad de Lagrange

Para el caso de los vectores de \mathbb{R}^3 podemos reconocer tres tipos de «productos»: El escalar \vec{x}\cdot\vec{y}, el vectorial \vec{x}\times\vec{y}, y el de las normas \|\vec{x}\|\|\vec{y}\|. Estos tres productos están relacionados entre sí a través de la identidad de Lagrange

\|\vec{x}\times\vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2- (\vec{x}\cdot\vec{y})^2

Demostración de la identidad de Lagrange

Sean \vec{x}=(x_1,x_2,x_3) e \vec{y}=(y_1,y_2,y_3) vectores de \mathbb{R}^3, entonces se tiene que:

\begin{array}{rl} \vec{x}\times\vec{y} &=(x_2y_3 - x_3y_2) \hat{x} + (x_3y_1 - x_1y_3)\hat{y} + (x_1y_2 - x_2y_1)\hat{z} \end{array}

De modo que:

\begin{array}{rl} \|\vec{x}\times\vec{y}\|^2 &=(x_2y_3 - x_3y_2)^2 + (x_3y_1 - x_1y_3)^2 + (x_1y_2 - x_2y_1)^2 \\ \\ &= \color{green}{x_2^2y_3^2 - 2x_2x_3y_3y_2 + x_3^2y_2^2} + \cdots\\ \\ &\cdots + \color{blue}{x_3^2y_1^2 - 2x_3x_1y_1y_3 + x_1^2y_3^2} + \cdots \\ \\ &\cdots + \color{red}{x_1^2y_2^2 - 2x_1x_2y_2y_1 + x_2^2y_1^2} \end{array}

Por otro lado:

\begin{array}{rl} \|\vec{x}\|^2 \|\vec{y}\|^2 - (\vec{x}\cdot\vec{y})^2 &= (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)(y_1^2+y_2^2 + y_3^2) - (x_1y_1 + x_2y_2 + x_3 y_3)^2 \\ \\ \\ &= {x_1^2y_1^2} + \color{red}{x_1^2y_2^2} + \color{blue}{x_1^2y_3^2} + \cdots \\ \\ &\cdots + \color{red}{x_2^2y_1^2} + {x_2^2y_2^2} + \color{green}{x_2^2y_3^2} + \cdots \\ \\ &\cdots + \color{blue}{x_3^2y_1^2} + \color{green}{x_3^2y_2^2} + {x_3^2y_3^2} + \cdots \\ \\ &\cdots - \left[ {x_1^2y_1^2} + {x_2^2y_2^2} + {x_3^2y_3^2} + \right. \cdots \\ \\ &\cdots + 2\left(\color{red}{x_1x_2y_1y_2} + \color{blue}{x_1x_3y_1y_3} + \color{green}{x_2x_3y_2y_3} \right)\left.\right] \\ \\ \\ &= \color{red}{x_1^2y_2^2 - 2x_1x_2y_2y_1 + x_2^2y_1^2} + \cdots \\ \\ & \cdots + \color{blue}{x_1^2y_3^2 - 2x_1x_3y_3y_1 + x_3^2y_1^2} + \cdots \\ \\ & \cdots + \color{green}{x_2^2y_3^2 - 2x_2x_3y_3y_2 + x_3^2y_2^2} \end{array}

Finalmente, comparando las expresiones en colores se tiene lo que se quería demostrar.

El Producto Cruz y el ángulo entre vectores

Anteriormente vimos que existe una estrecha relación entre el ángulo sostenido por dos vectores y el resultado del producto escalar, esto viene dado por la relación \vec{x}\cdot\vec{y} = \|\vec{x}\|\|\vec{y}\|\cos(\angle(\vec{x},\vec{y})). Resulta que una cosa similar ocurre con el producto vectorial y viene dado por la siguiente relación:

\|\vec{x}\times\vec{y}\| = \|\vec{x}\|\|\vec{y}\| \sin(\angle(\vec{x},\vec{y}))

Esta expresión es un resultado directo de la identidad de Lagrange que se demostró más arriba, la demostración nos queda mas o menos así:

\begin{array}{rl} \|\vec{x}\times\vec{y}\|^2 &= \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2 - (\vec{x}\cdot\vec{y})^2 \\ \\ &= \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2 - (\|\vec{x}\|\|\vec{y}\|\cos(\angle(\vec{x},\vec{y})))^2 \\ \\ &= \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2 - \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2\cos^2(\angle(\vec{x},\vec{y})) \\ \\ &= \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2 (1 - \cos^2(\angle(\vec{x},\vec{y}))) \\ \\ &= \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2 \sin^2(\angle(\vec{x},\vec{y})) \end{array}

Finalmente, tomando raices llegamos a:

\|\vec{x}\times\vec{y}\| = \|\vec{x}\|\|\vec{y}\|\; |\sin(\angle(\vec{x},\vec{y}))|

Pero recordemos que \angle(\vec{x},\vec{y})\in[0,\pi], y en ese rango de valores la función seno siempre no-negativa de modo que podemos retirar el valor absoluto y llegamos a lo que se quería demostrar.

A partir de esta expresión podemos intuir que el resultado de la operación \|\vec{x}\times\vec{y}\| nos da como resultado el área generada por los vectores \vec{x} e \vec{y}.