Rn における代数学と射影、{\mathbb{R}^3} におけるベクトル積

要約:
本シリーズは n 次元ユークリッド空間に関するシリーズの直接的な続編である。ここでは n 次元ユークリッド空間をよりよく理解するための線形代数学のいくつかの概念を確認し、あるベクトルを他のベクトルに射影する概念を見直し、ピタゴラスの定理を証明し、最後に \mathbb{R}^3 におけるベクトル積と 3 次元ユークリッド空間の他の積との関係を確認する。

目次
線形独立性、直交性および射影
ピタゴラスの定理と部分空間への射影
\mathbb{R}^3 における内積と外積

線形独立性、直交性および射影

線形結合と線形独立性

零でないベクトル \vec{z} は、他の零でないベクトル \vec{x} と \vec{y} に関して 線形結合 として構成できる。すなわち、同時に零ではない実数 \alpha と \beta が存在して次を満たすときである:

\vec{z} = \alpha \vec{x} + \beta\vec{y}

つまり、ベクトル \vec{z} はベクトル \vec{x} と \vec{y} の加重和として構築することができる。

同様に、次のように言う ベクトル \vec{x} と \vec{y} が 線形独立 であるとは、

(\alpha \vec{x} + \beta\vec{y} = \vec{0} ) \longleftrightarrow (\alpha=0 \wedge \beta=0 )

ベクトル \vec{x} と \vec{y} の線形独立性とは、\vec{y} が \vec{x} の（零でない）スカラー倍で得られないこと、またその逆も成り立たないことを意味する。

先ほど確認した線形独立性の概念は、より大きなベクトル集合に拡張できる。零でないベクトルの集合 \{\vec{x}_1, \cdots, \vec{x}_n\} は、次が成り立つとき線形独立であるという:

\displaystyle \left[\left(\sum_{i=1}^n \alpha_i \vec{x}_i \right) = \vec{0} \right] \longleftrightarrow \left[\bigwedge_{i=1}^n (\alpha_i = 0) \right]

二つのベクトルが成す角と直交性

コーシー–シュワルツの不等式を思い出すと、 これは (\forall \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n)(|\vec{x}\cdot\vec{y}| \leq \|\vec{x}\| \|\vec{y}\|). を意味する。これを考慮すると、任意の \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\} に対して次が成り立つことが容易に確認できる:

\displaystyle -1 \leq \frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\|\vec{x}\|\|\vec{y}\|}\leq 1

ここから、ベクトル \vec{x} と \vec{y} が成す角と内積との関係を直感できる。なぜなら、これらは \mathbb{R}^2 に同型な平面を生成するからである。したがって、一般性を失うことなく、これらを \mathbb{R}^2 の要素として考え、軸 \hat{x} に対する角度をそれぞれ \theta_x と \theta_y とすれば、ベクトルは極形式で次のように表される:

\begin{array}{rl} \vec{x} &= \|\vec{x}\|(\cos(\theta_x) , \sin(\theta_x)) \\ \\ \vec{y} &= \|\vec{y}\|(\cos(\theta_y) , \sin(\theta_y)) \end{array}

このように（再び一般性を失うことなく）\theta_x \lt \theta_y と仮定すれば、内積 \vec{x}\cdot\vec{y} を計算できる。これにより次の結果が得られる:

\begin{array}{rl}\vec{x}\cdot \vec{y} &= \|\vec{x}\| \|\vec{y}\| (\cos(\theta_x)\cos(\theta_y) + \sin(\theta_x)\sin(\theta_y)) \\ \\ &= \|\vec{x}\| \|\vec{y}\| \cos(\theta_y-\theta_x) \end{array}

ここで、大きい角度位置と小さい角度位置の差を取ると、ベクトル間の角度 \angle(\vec{x},\vec{y})=\theta_y - \theta_x. を得る。これにより次のように書くことができる:

\displaystyle \cos\left(\angle(\vec{x},\vec{y}) \right) = \frac{\vec{x} \cdot \vec{y}}{\|\vec{x}\|\|\vec{y}\|}

ここで強調すべきは \angle(\vec{x},\vec{y})\in [0, \pi] である。

これに基づいて、コーシー–シュワルツの不等式を角度の幾何学と結び付けることができ、さらに直交性の厳密な概念を得ることができる。二つのベクトルが 直交 であるとは、前段で説明した意味で両者が \pi/2 ラジアンの角度をなすときである。これは \cos\left(\angle(\vec{x},\vec{y})\right) = 0 と言うことと同値であり、さらに \vec{x}\cdot\vec{y} = 0 と言うこととも同値である。したがって、ベクトル \vec{x} と \vec{y} の直交性を主張することは、\vec{x}\cdot\vec{y}=0 と言うことと同じ意味を持つ。

二つの零でないベクトルが直交するなら、それらは線形独立である

これはベクトルに関するある程度直感的な性質である が、\mathbb{R}^n においてその形式的な証明はそれほど直接的ではない。また、この性質は時に混乱を招くことがある。すなわち、二つのベクトルの直交性はそれらの線形独立性を意味するが、二つのベクトルの線形独立性は必ずしも直交性を意味しない。この後者を示すには単純な反例で十分である:

ベクトル \vec{A}=(1,0) と \vec{B}=(1,1) を考えると、\vec{A}\cdot\vec{B}=1 であるため明らかに直交していない。しかし次のようにすると:

\alpha\vec{A} + \beta\vec{B} = \vec{0}

すると次が成り立つ:

\begin{array}{rl} \alpha + \beta &= 0 \\ \beta &= 0 \end{array}

したがって \alpha = 0 \wedge \beta=0 となる。これにより次の結論が得られる:

\alpha\vec{A} + \beta\vec{B} = \vec{0} \longleftrightarrow \alpha = 0 \wedge \beta=0

これは、\vec{A} と \vec{B} が線形独立であると言うことと同値である。これにより、線形独立性が直交性を意味するわけではないことが非常に明確になる。しかし、直交性は線形独立性を意味するのであり、以下でその形式的な証明を示す。そのために次の前提集合を考える:

\mathcal{H}= \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\cdot\vec{y}=0, \alpha\vec{x}+\beta\vec{y} = \vec{0}\}

これに基づいて次の推論を導くことができる:

\begin{array}{rll} (1) &\mathcal{H}\vdash \vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\} &{;\;前提}\\ \\ (2) &\mathcal{H}\vdash \vec{x}\cdot\vec{y}=0 &{\;前提} \\ \\ (3) &\mathcal{H}\vdash \alpha\vec{x} + \beta\vec{y} = \vec{0} &{\;前提} \\ \\ (4) &\mathcal{H}\vdash (\alpha\vec{x} + \beta\vec{y})\cdot\vec{x} = \alpha\|\vec{x}\|^2 + \beta(\vec{x}\cdot\vec{y}) &{;\; 双線形性} \\ \\ (5) &\mathcal{H}\vdash \alpha\|\vec{x}\|^2 = 0 & {;\; (2,3,4)より} \\ \\ (6) &\mathcal{H}\vdash \alpha = 0 & {;\; (1,5)より} \\ \\ (7) &\mathcal{H}\vdash (\alpha\vec{x} + \beta\vec{y})\cdot\vec{y} = \alpha(\vec{x}\cdot\vec{y}) + \beta\|\vec{y}\|^2 & {;\;双線形性} \\ \\ (8) &\mathcal{H}\vdash \beta\|\vec{y}\|^2 = 0 &{;\;(2,3,7)より} \\ \\ (9) &\mathcal{H}\vdash \beta = 0 &{;\;(1,8)より} \\ \\ (10) &\mathcal{H}\vdash \alpha= 0 \wedge \beta = 0 &{;\;\wedge-導入(6,9)} \end{array}

これにより次の結論が得られる:

\{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\cdot\vec{y}=0, \alpha\vec{x}+\beta\vec{y} = \vec{0}\} \vdash \alpha= 0 \wedge \beta = 0

最後に、この最後の式に対して推論定理を適用すると次が得られる:

\{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\cdot\vec{y}=0\} \vdash (\alpha\vec{x}+\beta\vec{y} = \vec{0}) \rightarrow (\alpha= 0 \wedge \beta = 0)

逆方向の矢印を得る証明は自明である。

すなわち、\vec{x} と \vec{y} が零でないベクトルかつ直交するならば、それらは線形独立である。

あるベクトルの他のベクトルへの射影

零でない二つのベクトルを考えよう \vec{x} と \vec{y} が角度 \angle(\vec{x},\vec{y}) をなすとき、「ベクトル \vec{x} はベクトル \vec{y} 上にどの程度存在しているか？」あるいは「ベクトル \vec{x} がベクトル \vec{y} の方向に射影されたとき、その影の大きさはどれくらいか？」と問うことができる。この問いは三角法を通じて解くことができ、これによりベクトル \vec{x} のベクトル \vec{y} への射影 Proy_{\vec{y}}(\vec{x}) を次の式で定義できる:

Proy_{\vec{y}}(\vec{x}) = \| \vec{x}\| \cos(\angle(\vec{x},\vec{y})) \hat{y}

これを前段で見たことと組み合わせると次のように書ける:

\displaystyle Proy_{\vec{y}}(\vec{x}) = {\| \vec{x}\|} \left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{{\|\vec{x}\|} \|\vec{y}\|}\right)\color{red}{\hat{y}} = \left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\|\vec{y}\|} \right)\color{red}{\frac{\vec{y}}{\|\vec{y}\|}} = \left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\|\vec{y}\|^2}\right)\vec{y} = \left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\vec{y}\cdot\vec{y}}\right)\vec{y}

ここで思い出すべきは

\displaystyle \cos(\angle(\vec{x},\vec{y})) = \frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\|\vec{x}\| \|\vec{y}\|}

射影は重要である。なぜなら、それによって任意の基底に関してベクトルをその射影の和として表すことができるからである:

\vec{x} = \displaystyle \sum_{i=1}^n \alpha_i \hat{u}_i

ここで \{\vec{u}_i\}_{i=1,\cdots, n} は \mathbb{R}^n における線形独立なベクトルの基底であり、係数 \alpha_i = (\vec{x}\cdot\vec{u}_i)/\|\vec{u}_i\| はまさに各基底要素への射影であり、\mathbb{R}^n の基底 \{\hat{u}_i\}_{i=1,\cdots, n} に関する \vec{x} の座標を構成する。

ピタゴラスの定理と部分空間への射影

ピタゴラスの定理は よく知られた結果であり、無数の証明が存在する。この定理の一つの証明は、ユークリッド空間に関して我々がこれまで展開してきた事柄から生じ、さらに任意の次元数に対して有効であるという追加的な利点を持つ。

ピタゴラスの定理の証明

直角三角形の二つの直角辺 a と b、および斜辺 c を考えると、ピタゴラスの定理は a^2+b^2=c^2 であると言う。このことを理解すると、それぞれの直角辺を直交する二つのベクトル \vec{x} と \vec{y} によって表し、ピタゴラスの定理を次のように書くことができる:

\{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}\} \vdash \vec{x}\bot\vec{y} \leftrightarrow (\|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2)

ここで表現 \vec{x}\bot\vec{y} は両ベクトルが直交することを示す。つまり、零でなく \vec{x}\cdot\vec{y}=0 を満たすということである。したがって、直交性と二つのベクトルの大きさの二乗の和との間に双条件的な関係が確立される。

ピタゴラスの定理をベクトル形式で表現するこの方法は、次の二つの推論によって証明できる:

まず順方向:

\begin{array}{rll} (1) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\bot\vec{y}\} \vdash \vec{x}\bot\vec{y} & {;\;前提} \\ \\ (2) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\bot\vec{y}\} \vdash \vec{x}\cdot\vec{y}= 0 & {;\;(1)より} \\ \\ (3) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\bot\vec{y}\} \vdash \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = (\vec{x} + \vec{y})\cdot(\vec{x} + \vec{y}) = \|\vec{x}\|^2 + 2(\vec{x}\cdot\vec{y}) + \|\vec{y}\|^2 & \\ &;\; ユークリッドノルムと内積の性質 & \\ \\ (4) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\bot\vec{y}\} \vdash \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2 & {;\;(2,3)より} \\ \\ (5) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}\} \vdash \vec{x}\bot\vec{y} \rightarrow ( \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2) & {;\;推論定理(4)} \end{array}

次に逆方向:

\begin{array}{rll} (1) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2\} \vdash \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2 & {;\;前提} \\ \\ (2) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2\} \vdash \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 +2(\vec{x}\cdot\vec{y}) + \|\vec{y}\|^2 & \\ &;\; ユークリッドノルムと内積の性質 &\\ \\ (3) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2\} \vdash \vec{x}\cdot\vec{y}=0 & {;\;(1,2)より} \\ \\ (4) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2\} \vdash \vec{x}\bot\vec{y} & {;\;(3)より} \\ \\ (5) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}\} \vdash (\|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2) \rightarrow \vec{x}\bot\vec{y} & {;\;推論定理(4)} \end{array}

そして最後に、両方の推論を合わせると、示したかったことが得られる:

\{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}\} \vdash \vec{x}\bot\vec{y} \leftrightarrow (\|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2)

\mathbb{R}^n における部分空間へのベクトルの射影

部分空間を考えよう H を、\mathbb{R}^n の単位ベクトルの基底 \{\hat{v}_1, \cdots, \hat{v}_k\} によって形成されるとする。ベクトル \vec{x}\in\mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\} を取ると、空間 H へのベクトル \vec{x} の射影は次の式で定義される:

Proy_{H}(\vec{x}) = \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j

集合が正規直交系であるとは、すべての要素が互いに直交し、それぞれのノルムが 1 であることを意味する。

言い換えれば、これはベクトルが \mathbb{R}^n の部分空間 H の各成分に落とす影のようなものである。

\mathbb{R}^n の点またはベクトルと部分空間との距離

ベクトルの射影から出発して \vec{x}\in\mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\} を \mathbb{R}^n の部分空間 H に射影すると、次の形のベクトルを構成できる:

\vec{x} - Proy_{H}(\vec{x})

このようにして作られたベクトルは、部分空間 H のある点と座標 \vec{x} の点を結び、部分空間 H に直交して出るベクトルとなる。これは難しくなく証明できる。すなわち、任意の \vec{z}\in H を取り、内積 (\vec{x}-Proy_{H}(\vec{x}))\cdot \vec{z} を計算すれば、その結果がゼロであることを確認すればよい。実際に計算してみよう:

もし \vec{z}\in H であれば、次の形で表される:

\vec{z}=\displaystyle \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j

ここで \{\hat{v}_j\}_{j=1}^k は H の正規直交基底であり、\beta_j \in\mathbb{R} は H における \vec{z} の係数である。これを考慮すると、内積 (\vec{x}-Proy_{H}(\vec{x}))\cdot \vec{z} の計算は次のようになる:

\begin{array}{rl} (\vec{x}-Proy_{H}(\vec{x}))\cdot \vec{z} &= \left(\vec{x} - \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j \right) \cdot \displaystyle \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j \\ \\ &= \vec{x} \cdot \displaystyle \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j - \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j \cdot \displaystyle \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j \end{array}

しかし \vec{x} は \mathbb{R}^n のベクトルであり、H はその部分空間なので、互いに直交し、かつ H のすべてのベクトルに直交する n-k 個の正規直交ベクトル、すなわち \{\hat{v}_{k+1}, \cdots, \hat{v}_n\} を見つけることができる。これにより H の基底と併せて \mathbb{R}^n の基底を形成し、次のように書ける:

\vec{x} = \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x}\cdot\hat{v}_j )\hat{v}_j + \sum_{j=k+1}^n \alpha_j \hat{v}_j

したがって、上の展開は次のように続く:

\begin{array}{rl} (\vec{x}-Proy_{H}(\vec{x}))\cdot \vec{z} &= \displaystyle \left( \sum_{j=1}^k (\vec{x}\cdot\hat{v}_j )\hat{v}_j + \sum_{j=k+1}^n \alpha_j \hat{v}_j\right) \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j - \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j \\ \\ &= \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x}\cdot\hat{v}_j )\hat{v}_j \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j + \underbrace{\color{red}{\sum_{j=k+1}^n \alpha_j \hat{v}_j \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j}}_{(*)} - \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j \\ \\ &= \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x}\cdot\hat{v}_j )\hat{v}_j \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j - \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j \\ \\ &= 0 \end{array}

(*) ゼロになるのは \{v_j\}_{j=1}^n が \mathbb{R}^n の正規直交基底だからである。

これに基づき、部分空間 H とベクトル \vec{x} の距離は次で与えられることを示せる:

\|\vec{x} - Proy_{H}(\vec{x})\|

証明

この結果を証明するために 任意の \vec{z}\in H に対して常に \|\vec{x} - Proy_{H}(\vec{x})\| \leq \|\vec{x} - \vec{z}\| が成り立つことを示す。そのためにピタゴラスの定理を次のように利用する:

\begin{array}{rl} \|\vec{x} - \vec{z}\|^2 &= \| \left(\vec{x} -Proy_{H}(\vec{x}) \right) + \left(Proy_{H}(\vec{x}) - \vec{z}\right)\|^2 \\ \\ &= \| \vec{x} -Proy_{H}(\vec{x}) \|^2 + \|Proy_{H}(\vec{x}) - \vec{z}\|^2 \\ \\ \end{array}

この最後の等式は、ベクトル \vec{x} -Proy_{H}(\vec{x}) と Proy_{H}(\vec{x}) - \vec{z} が直交するために得られる。したがって:

\|\vec{x} - Proy_{H}(\vec{x})\|^2 \leq \|\vec{x} - \vec{z}\|^2

これが示したかったことである。

この結果を得たので、\mathbb{R}^n の点 \vec{x}\in\mathbb{R}^n と、正規直交ベクトル \{\hat{v}_1, \cdots, \hat{v}_k\} によって生成される \mathbb{R}^n の部分空間 H との距離は次で与えられると言える:

dist(\vec{x},H) =\left\|\vec{x} - Proy_{H}(\vec{x})\right\|= \left\|\vec{x} - \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j\right\|

\mathbb{R}^3 における内積と外積

ここで少し視点を変えて \mathbb{R}^3 のベクトルに注目しよう。ここでは、これまで一般に \mathbb{R}^n で見てきた演算に加えて、二つのベクトルの積から別のベクトルを得る外積が可能である。これは \mathbb{R}^3 特有の演算であり（そしておそらく \mathbb{R}^7 にも存在するが、ここではその場合は扱わない）。通常、\mathbb{R}^3 の標準基底ベクトルは \hat{x}, \hat{y}, \hat{z} または \hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k} と表される。どちらを用いるかは個人の好みによる。

\begin{array}{rl} \hat{\imath} = \hat{x}&=(1,0,0)\\ \hat{\jmath} =\hat{y}&=(0,1,0)\\ \hat{k} =\hat{z}&=(0,0,1)\\ \end{array}

したがって、ベクトル (a,b,c) がある場合、それは代数的に次のように書ける:

(a,b,c) = a\hat{x} + b\hat{y} + c\hat{z}

\mathbb{R}^3 における外積

\vec{x}=(x_1,x_2,x_3) および \vec{y}=(y_1,y_2,y_3) を \mathbb{R}^3 のベクトルとする。 \vec{x} と \vec{y} の外積 \vec{x}\times\vec{y} は次で定義される:

\begin{array}{rl} \vec{x}\times\vec{y} &= \left|\begin{array}{ccc} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \end{array}\right| \\ \\ &=\hat{x}x_2y_3 + \hat{y}x_3y_1 + \hat{z} x_1y_2 - \left( \hat{z} x_2 y_1 + \hat{y} x_1 y_3 + \hat{x}x_3y_2\right) \\ \\ &=\hat{x}(x_2y_3 - x_3y_2) + \hat{y}(x_3y_1 - x_1y_3) + \hat{z}(x_1y_2 - x_2y_1) \end{array}

ラグランジュの恒等式

\mathbb{R}^3 のベクトルの場合 「積」には 3 種類があることがわかる。すなわち、内積 \vec{x}\cdot\vec{y}、外積 \vec{x}\times\vec{y}、およびノルムの積 \|\vec{x}\|\|\vec{y}\| である。これら三つの積はラグランジュの恒等式によって相互に関係している:

\|\vec{x}\times\vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2- (\vec{x}\cdot\vec{y})^2

ラグランジュの恒等式の証明