Definitiones fundamentales

Pars quae essentiam spatii probabilitatum condensat est ipsa notio mensurae probabilitatis. Haec est functio quae, denique, quantificat possibilitatem ut certus eventus eveniat.

Mensura probabilitatis P est functio talis ut, data sigma-algebra \Sigma=(\Omega,\mathcal{A}), probabilitatem cuique eventui E\in\mathcal{A} attribuat. Haec mensura probabilitatis proprietates sequentes satisfacit:

1. (E\in \mathcal{A}) \rightarrow (0 \leq P(E) \leq 1)
2. P(\Omega) = 1
3. \left[E_1,_2 \in \mathcal{A}\right] \rightarrow \left[ (E_1 \cap E_2 = \emptyset) \rightarrow \left(P\left(E_1 \cup E_2 \right) = P(E_1) + P(E_2) \right) \right]
4. \displaystyle \left[E_1 \subseteq E_2 \subseteq \cdots \subseteq E_n \in \mathcal{A}\right] \rightarrow \left[P \left(\bigcup_{n=1}^\infty E_n \right) = \lim_{n\to\infty}P(E_n)\right] (continuitas)

Probabilitas ut Limes Frequentiarum Relativarum

Haec notio probabilitatis intellegi potest per ideam intuitivam probabilitatis ut “limitem frequentiarum relativarum”. Sumamus, exempli gratia, experimentum in quo N vicibus alea sex facierum iactatur. Spatium exemplorum cuiusque iactūs est \Omega_{1d6} = \{1,2,3,4,5,6\}. Si A est eventus quivis ex \Omega_{1d6}, tum possumus metiri frequentiam f_N(A) qua eventus A occurrit, factis N iactibus. Hoc facientes comprobabimus quod:

0 \leq f_N(A) \leq f_N(\Omega_{1d6}) = N,

et si alterum eventum quivis B ex \Omega_{1d6} consideremus, tunc fiet ut:

(A\cap B = \emptyset ) \rightarrow (f_N(A\cup B) = f_N(A)+f_N(B) )

Ex hoc definire possumus novam “functionem” g_N, quam frequentiam relativam appellamus, per expressionem

g_N(A) = \displaystyle \frac{f_N(A)}{N}

Animadvertimus functionem g_N primis tribus proprietatibus satisfacere, quartam vero (continuitatis) hoc modo obtineri non posse, sed ob rationes potius “technicas” introduci, quoniam nonnulli eventūs sine hac proprietate consequi non possunt.

Etiam sic, g_N nondum est mensura probabilitatis, quia nondum est functio. Hoc fit quia, cuiuslibet valoris N, g_N non necessario unum tantum valorem reddit, ut functio faceret. Ad hoc solvendi gradum limitem addimus, ut demum mensuram probabilitatis habeamus, obtinentes:

\displaystyle P(A) = \lim_{N\to\infty} g_N(A)

Hoc est quod appellatur Probabilitas ut Limes frequentiarum relativarum.

Exemplum: iactus aleae

Pergendo in analysi iactūs aleae sex facierum, erit ut:

\displaystyle\left(\forall x\in\{1,2,3,4,5,6\}\right) \left( g_N(\{x\}) = \frac{f_N(\{x\})}{N}\right)

et si experimentum magna vice repetatur, comprobari poterit quod

\displaystyle \left(\forall x\in\{1,2,3,4,5,6\} \right) \left( \lim_{N \to \infty} g_N(\{x\}) = \displaystyle \frac{1}{6} \right)

\displaystyle \lim_{N \to \infty} g_N(\Omega_{1d6}) = 1

Quare si definiamus P(\{x\}) = \lim_{N\to\infty} g_N(\{x\}), tum fiet ut:

\displaystyle P(x=\{1,3,5\}) = P(\{1\}\cup\{3\}\cup\{5\}) = P(\{1\})+P(\{3\})+P(\{5\}) = \frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}= \frac{1}{2}

Ex hoc exemplo etiam facile est intellegere quod, dato eventu E ex spatio exemplorum \Omega

\displaystyle P(E) = \frac{\# E}{\# \Omega}

Hoc est quod appellatur “probabilitas ut casūs faventes super casūs totales” et fundamentale est ad intellegendum magnam partem ratiocinationum de spatio probabilitatum et mensura probabilitatis.