数集合への第一のアプローチ：自然数から複素数まで
概要:本講義では、自然数が他の数の集合を構成する基礎としてどのように利用できるかを探り、特定の演算上の制限を克服します。まず、減算を広く行えるようにしてくれる整数から始めます。次に、完全な割り算を可能にする有理数へ進みます。その後、n 次根を扱うために実数へと進み、複素数が n 次根の特定の状況に対処するためにどのように導入されるかを述べます。これらの展開を通じて、それぞれの新しい数の集合が前の集合に固有の問題を解決するためにどのように生じるかが理解されます。
学習目標:
この授業を終えると、学生は次のことができるようになります:
- 識別する 自然数、整数、有理数の基本的な性質。
- 解釈する ある数の集合から別の集合へ移行する際に受け継がれる、または変更される基本的な性質と演算。
- 比較する さまざまな数の集合の性質とそれらがどのように関連しているか。
内容目次
導入
自然数の性質
自然数から整数への移行
有理数への飛躍
実数と無理数
複素数：実数の代数的閉包
導入
実数は、本講義で探究する他の数の集合とともに、自然数の拡張によって導入されます。任意の二つの自然数では、減算や割り算を常に行うことができるとは限らず、これらの拡張はその不都合を解消することを目的としています。
本講義の間に、自然数の演算と性質を復習し、その基盤の上に、他のすべての数の集合の構築へ進み、実数に到達しさらにはその先まで進みます。
自然数の性質
自然数に対する演算を扱うとき、主に加法と乗法およびそれぞれの逆演算を指します。以下にこれらの性質をまとめます:
a,b,c\in\mathbb{N} であるとすると、次のことが成り立ちます:
| 1. | a + b = b + a |
| 2. | a \pm (b \pm c) = (a\pm b)\pm c (en el caso de la resta, es válida siempre que esté bien definida) |
| 3. | a\cdot b = b \cdot a |
| 4. | a\cdot(b\cdot c)= (a\cdot b)\cdot c |
| 5.\;\;\;\; | a\cdot b = a \leftrightarrow b=1 |
| 6. | \displaystyle \frac{a}{b}\in\mathbb{N} \leftrightarrow (\exists k\in\mathbb{N})(a=b\cdot k) |
| 7. | a\cdot(b+c)=a\cdot b + a \cdot c |
自然数から整数への移行
最初に注意すべき点は、加算の場合には次のことです: (\forall a,b\in\mathbb{N})(a+b\in\mathbb{N})、一方、減算では: (\forall a,b\in\mathbb{N})(a+b\in\mathbb{N} \leftrightarrow a\gt b)。自然数 a と b の減算が a\leq b の場合に意味を持たないという不都合が生じます。この状況を修正するために、自然数を整数の集合へと拡張し、そのような減算に明確な値を与えます。この新しい整数の集合を \mathbb{Z} という文字で表し、それはすべての自然数、それらの加法逆元およびゼロから構成されます。
\mathbb{Z} = \{\cdots, -3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots \}
整数は自然数のすべての性質と演算を継承し、第二の性質が拡張され、加法逆元と加法単位元の概念が導入されます。
| 2*. | a \pm (b \pm c) = (a\pm b) \pm c |
| 8. | (\forall a\in\mathbb{Z})(\exists ! b\in\mathbb{Z})(a+b=0 \leftrightarrow b=-a) |
| 9. | (\forall a\in\mathbb{Z})(\exists ! b\in\mathbb{Z})(a+b=a \leftrightarrow b=0) |
b=-a という要素を a の加法逆元と呼びます。
有理数への飛躍
この時点で、まだ正しく定義されていない唯一の演算は割り算です。 これを解決するために、整数の集合を次の集合で与えられる有理数の集合へと拡張します。
\mathbb{Q}=\left\{a= \displaystyle\frac{n}{m}\;|\;n,m\in\mathbb{Z}\wedge m\neq 0 \right\}
これにより新しい性質が得られます
| 10. | (\forall a \in \mathbb{Q}\setminus\{0\})(\exists ! b \in \mathbb{Q}) \left[(a\cdot b = 1) \leftrightarrow \left( b = \displaystyle \frac{1}{a} = a^{-1} \right)\right] |
| 零でないすべての有理数には乗法逆元が存在します。 a の乗法逆元は a^{-1} です。 | |
これらの数、演算および性質により、新しい演算がその性質とともに定義されます。ここでは、有理数 q の n 乗を次のように定義します
q^n = \underbrace{q\cdot q \cdot \cdots \cdot q}_{n\;veces}; ただし n\in\mathbb{N}
q^{-n}= \displaystyle \frac{1}{q^n}
これから、 q\neq 0 のとき常に次のように言えます
q^0 = 1
さらに、0 で割ることがない限り、任意の有理数 a,b と整数 n,m について、次の性質が成り立ちます:
| 11. | a^n \cdot a^m = a^{n+m} |
| 12. | (a^n)^m = a^{n\cdot m} |
| 13. | (a\cdot b)^n = a^{n} \cdot a^{m} |
| 14. | \left(\displaystyle \frac{a}{a}\right)^n = \frac{a^n}{a^n} |
| 15. | \displaystyle \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} = \frac{1}{a^{m-n}} |
実数と無理数
加算の逆演算である減算と、積の逆演算である除法がそれぞれ自然数を整数および有理数へと拡張して演算をよく定義する必要を生じさせたように、累乗でも同様のことが起こります。 n 乗の逆演算は n 乗根です。
根の定義
n を 1 より大きい整数とし p,q を任意の有理数とすると、 q の n 乗根は次の規則によって定義されます:
| 16. | q=0 \rightarrow \sqrt[n]{q} = 0 |
| 17. | q \gt 0 \rightarrow \left[ \sqrt[n]{q} = p \leftrightarrow p^n = q \right] |
| 18. | \left[ q \lt 0 \wedge n {\;es\;impar} \right]\rightarrow \left[ \sqrt[n]{q} = p \leftrightarrow p^n = q \right] |
要約すると、 q の n 乗根とは、 n 乗したときに q を返す数 p のことです。これらの場合、 n=2 のときは、 \sqrt[2]{q} と書く代わりに簡単に \sqrt{q} と書きます。
無理数の出現
ここまで来ると私たちは次のように問いかけます \mathbb{Q} のすべての要素について n 乗根はうまく定義されているのでしょうか？減算や除算の場合と比べるとそれほど自明ではありませんが、 n 乗根が有理数にならない有理数が存在します。これを確認するには次の例を見るだけで十分です。
\sqrt{2} は有理数ではありません。
証明
これを背理法によって示します。
\sqrt{2} が有理数であると仮定します。つまり p,q\in\mathbb{Z} で q\neq 0 のものが存在し、 \sqrt{2}=p/q となり、さらにこの分数は既約な形まで約分されているとします。そうすると次のように言えます。
2 = \left(\sqrt{2} \right)^2 =\displaystyle \frac{p^2}{q^2} = \left(\displaystyle \frac{p}{q}\right)^2
しかし、これは p/q が既約分数であったという事実と矛盾します（今や (p/q)^2 を約分でき、その結果が 2 になる）。したがって \sqrt{2} が有理数であるという仮定は矛盾を生み、この数は有理数ではあり得ず、したがって無理数であると言います。
実数への拡張
これらの結果は次の事実を明らかにします。 n 乗根を正しく定義するためには、有理数を新しい集合に拡張する必要があります。それが \mathbb{R} で表される実数の集合で、これは有理数と無理数の両方を含みます。
\mathbb{R}= \mathbb{Q}\cup \mathbb{Q}^*
複素数：実数の代数的閉包
この時点で私たちは二つのことに注意しなければなりません： (1) n が偶数の場合、 n 乗根は多値となり、 (2) さらに q\lt 0 で \sqrt[n]{q} を計算しようとすると、そのような数は実数ではあり得ないことが分かります。
第一の点は、根の定義に関する項目 (17) に軽微な変更を加え、主根 を定義することで解決します。それは次のようになります：
| 17*. | q\gt 0 \rightarrow \left[ 0\lt p=\sqrt[n]{q} \leftrightarrow p^n=q \right] |
第二の点は、実数の集合を複素数 \mathbb{C} の集合へと拡張することによって達成されますが、この構成については後ほど扱います。