多项式函数、三角函数与对数函数的导数
导数是微积分中的核心工具，在科学、工程和经济学中具有基础性的应用。本文提供了一份循序渐进的指南，旨在掌握函数求导的技巧，从多项式函数一直延伸至三角函数与对数函数。通过推导与具体示例，力求深入理解导数法则的应用及其理论依据。
学习目标
- 理解导数的一般概念及其基本性质。
- 应用导数的正式定义以计算基本导数。
- 通过极限证明常数函数和恒等函数的导数。
- 推导从正弦和余弦函数的基本导数出发，得到三角函数的求导法则。
- 计算复合三角函数的导数，使用代数规则。
- 形式化证明自然对数的导数，基于极限。
到目前为止，我们仅仅讨论了导数的定义及其一些代数性质，但尚未讲解如何实际计算导数。本文将解决这一问题，逐一展示各种求导技巧及其在各类函数中的具体应用。
代数函数的导数
常数函数
若 f(x) = c, 其中 c 为任意实数常数，则有：
\displaystyle \frac{df(x)}{dx} =\frac{d}{dx}c = 0
证明： 实际上，该证明仅需一步完成：
\begin{array}{rll} (1) &\displaystyle \dfrac{d}{dx}c &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{c - c}{\Delta x} \quad \text{；$f(x)=c$ 的导数定义} \\ \\ & &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{0}{\Delta x} = 0 \end{array}
恒等函数
\displaystyle \frac{df(x)}{dx} =\frac{dx}{dx}=1
证明： 与上一个几乎相同，也只需一步即可完成：
\begin{array}{rll} (1) & \dfrac{d}{dx}x &= \displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x} \quad \text{；$f(x) = x$ 的导数定义}\\ \\ & &=\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\Delta x}{\Delta x} = 1 \end{array}
自然数幂函数
若 f(x) = x^n, 其中 n 为任意自然数，则有：
\displaystyle \frac{df(x)}{dx} =\frac{dx^n}{dx} =nx^{n-1}
证明： 为了证明该定理，我们需要使用 牛顿二项式定理：
\begin{array}{rll} (1) &\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^n -x^n}{\Delta x} &\text{；对 $f(x)= x^n$ 使用导数定义} \\ \\ & \displaystyle \phantom{\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n} =\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\displaystyle \left[\sum_{k=0}^n {{n}\choose{k}} x^{n-k}(\Delta x)^{k} \right] - x^n}{\Delta x} & \text{；根据牛顿二项式定理展开 $(1)$} \\ \\ & \displaystyle\phantom{\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n} =\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\displaystyle x^n + \left[\sum_{k=1}^n {{n}\choose{k}} x^{n-k}(\Delta x)^{k} \right] - x^n}{\Delta x} & \text{；将第一个项从和式中分离} \\ \\ & \displaystyle\phantom{\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n} =\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\displaystyle \left[\sum_{k=1}^n {{n}\choose{k}} x^{n-k}(\Delta x)^{k} \right]}{\Delta x} & \text{；消去相同项} \\ \\ & \displaystyle\phantom{\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n} =\lim_{\Delta x \to 0} \displaystyle \left[\sum_{k=1}^n {{n}\choose{k}} x^{n-k}(\Delta x)^{k-1} \right] & \\ \\ & \displaystyle\phantom{\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n} =\lim_{\Delta x \to 0} \displaystyle \left[ {{n}\choose{1}} x^{n-1}(\Delta x)^{0} + \sum_{k=2}^n {{n}\choose{k}} x^{n-k}(\Delta x)^{k-1} \right] & \text{；提取和式的第一个项} \\ \\ & \displaystyle \color{blue} {\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n} = n x^{n-1} & \color{black} \end{array}
整数次幂函数
前面的证明仅适用于幂为自然数的情形，但我们可以将其推广至任意整数。当 a\in \mathbb{Z} 时，有：
\displaystyle \frac{dx^a}{dx} = ax^{a-1}
我们已经知道这个结论对于正整数成立，接下来只需验证当幂为负整数的情形。也就是说，我们需要证明：
\displaystyle \frac{dx^{-n}}{dx} = {-n}x^{-n-1}
证明： 只需考虑一个商的导数即可：
\begin{array}{rll} (1) & \dfrac{d}{dx}x^{-n} &= \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{1}{x^n}\right) \\ \\ & &= \dfrac{0 \cdot nx^{n-1} - nx^{n-1} \cdot 1}{x^{2n}}\\ \\ & &= -nx^{n-1-2n} \\ \\ & &= -nx^{-n-1} \end{array}
超越函数的导数
三角函数
这些函数遵循以下求导法则：
| \displaystyle \frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x) | \displaystyle \frac{d}{dx}\sec(x) = \sec(x)\tan(x) |
| \displaystyle \frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x) | \displaystyle \frac{d}{dx}\csc(x) = -\csc(x)\cot(x) |
| \displaystyle \frac{d}{dx}\tan(x) = \sec^2(x) | \displaystyle \frac{d}{dx}\cot(x) = -\csc^2(x) |
为了推导出每一条规则，最佳的做法是首先从正弦函数与余弦函数的导数入手，然后利用导数的代数规则，推导出其余三角函数的导数。
正弦函数导数的证明
\begin{array}{rll} (1) &\dfrac{d}{dx}\sin(x) = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\sin(x+\Delta x) - \sin(x)}{\Delta x} & \text{；正弦函数导数的定义} \\ \\ &\phantom{\dfrac{d}{dx}\sin(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\sin(x)\cos(\Delta x) + \sin(\Delta x)\cos(x) - \sin(x)}{\Delta x} & \\ \\ &\phantom{\dfrac{d}{dx}\sin(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \sin(x)\left[\cos(\Delta x) -1\right] + \sin(\Delta x)\cos(x) }{\Delta x} & \\ \\ &\phantom{\dfrac{d}{dx}\sin(x)} = \displaystyle \sin(x)\lim_{\Delta x \to 0} \left[\dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x} \right] + \cos(x) \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \dfrac{\sin(\Delta x)}{\Delta x} \right] & \\ \\ (2)&\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\sin(\Delta x)}{\Delta x} = 1 & \text{；由夹逼定理得出} \\ \\ (3)&\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x} \cdot \dfrac{\cos(\Delta x) + 1}{\cos(\Delta x) + 1} & \\ \\ &\displaystyle\phantom{\lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos^2(\Delta x) - 1}{\Delta x (\cos(\Delta x) + 1)} & \\ \\ &\displaystyle\phantom{\lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{-\sin^2(\Delta x)}{\Delta x (\cos(\Delta x) + 1)} & \\ \\ &\displaystyle\phantom{\lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x}} =- \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\sin(\Delta x)}{\Delta x} \cdot \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\sin(\Delta x)}{\cos(\Delta x) + 1} & \\ \\ &\displaystyle\phantom{\lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x}} =- (1)\cdot(0) = 0 \\ \\ (4) &\color{blue}\dfrac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x) \color{black} & \text{；由 (1,2,3) 得出} \end{array}
余弦函数导数的证明
\begin{array}{rll} (1) & \dfrac{d}{dx}\cos(x) = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\cos(x + \Delta x) - \cos(x)}{\Delta x} & \text{；余弦函数导数的定义} \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx}\cos(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\cos(x)\cos(\Delta x) - \sin(x)\sin(\Delta x) - \cos(x)}{\Delta x} \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx}\cos(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\cos(x) [ \cos(\Delta x) - 1] - \sin(x)\sin(\Delta x)}{\Delta x}\\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx}\cos(x)} = \cos(x) \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ [ \cos(\Delta x) - 1]}{\Delta x} - \sin(x) \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\sin(\Delta x)}{\Delta x}\\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx}\cos(x)} = \cos(x) \cdot(0) - \sin(x)\cdot (1)\\ \\ &\color{blue}\dfrac{d}{dx}\cos(x) = - \sin(x) \color{black} \end{array}
正切、正割、余割与余切函数的导数
有了正弦与余弦函数的导数结果后，推导其余三角函数的导数就变得非常直接：
\begin{array}{rl} \dfrac{d}{dx}\tan(x) &= \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \right) = \dfrac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \dfrac{1}{\cos^2(x)} = \color{blue}\sec^2(x) \color{black}\\ \\ \dfrac{d}{dx}\sec(x) &= \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{\cos(x)} \right) = \dfrac{\sin(x)}{\cos^2(x)} =\color{blue}\sec(x)\tan(x) \color{black}\\ \\ \dfrac{d}{dx}\csc(x) &= \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{\sin(x)}\right) = -\dfrac{\cos(x)}{\sin^2(x)} =\color{blue} - \csc(x)\cot(x)\color{black}\\ \\ \dfrac{d}{dx} \cot(x) &= \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}\right) = \dfrac{-\sin^2(x)-\cos^2(x)}{\sin^2(x)} = -\dfrac{1}{\sin^2(x)} =\color{blue} -\csc^2(x)\color{black} \end{array}
对数函数的导数
\displaystyle \frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x}
证明： 从导数的定义出发，可以得到以下推理过程：
\begin{array}{rll} (1) & \dfrac{d}{dx} \ln(x) = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \left [\dfrac{\ln(x+\Delta x) - \ln(x)}{\Delta x} \right] &\text{；自然对数的导数定义} \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx} \ln(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \dfrac{1}{\Delta x} \ln \left( \dfrac{x+\Delta x}{x} \right) \right] \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx} \ln(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \ln \left( \dfrac{x+\Delta x}{x} \right)^{\frac{1}{\Delta x} } \right] \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx} \ln(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \ln \left( \dfrac{x+\Delta x}{x} \right)^{\frac{1}{\color{red}x\color{black}} \cdot \frac{\color{red}x\color{black}}{\Delta x} } \right] \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx} \ln(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \dfrac{1}{x} \ln \left( 1 + \dfrac{\Delta x}{x} \right)^{ \frac{x}{\Delta x} } \right] \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx} \ln(x)} =\dfrac{1}{x} \ln \displaystyle \left[ \lim_{\Delta x \to 0} \left( 1 + \dfrac{\Delta x}{x} \right)^{ \frac{x}{\Delta x} } \right] \\ \\ (2) & n=\dfrac{x}{\Delta x} & \text{；变量替换} \\ \\ (3) & (\Delta x \to 0^+) \longrightarrow (n\to +\infty) \\ \\ (4) & \dfrac{d}{dx} \ln(x) = \dfrac{1}{x} \ln\left[ \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^n \right] = \dfrac{1}{x} \ln(e) = \color{blue}\dfrac{1}{x} \color{black} & \text{；由 (1,2,3) 得出} \end{array}
至此，我们已经一步步回顾了每位学生都应掌握的基本导数内容：从基础的代数函数到主要的超越函数，如三角函数和自然对数。掌握这些推导过程，将使你能够自如地运用导数法则，理解其来源与形式化的论证依据。这一知识构成了坚实的基础，使你有信心应对更为复杂的问题，并能对变化进行精确分析。