La dérivée comme limite d’une fonction

Résumé : Dans ce cours, nous explorerons le concept de la dérivée comme un outil mathématique permettant d’analyser les variations des fonctions. Nous partirons de la pente d’une ligne sécante et, en calculant la limite lorsque les points se rapprochent, nous définirons la dérivée comme la pente de la tangente. De plus, nous étudierons ses propriétés principales et ses règles, telles que les règles de somme, de produit et de quotient, qui sont fondamentales pour appliquer les dérivées dans l’analyse des fonctions et des phénomènes de changement.

Objectifs d’apprentissage

À la fin de ce cours, les étudiants seront capables de :

1. Comprendre la dérivée comme limite décrivant le changement instantané d’une fonction et comme la pente de la tangente à une courbe en un point.
2. Expliquer comment la différentiabilité implique la continuité des fonctions.
3. Démontrer les règles de base de la dérivation à partir de la définition formelle.
4. Appliquer les propriétés algébriques des dérivées (somme, produit et quotient) dans des problèmes mathématiques.

Table des matières :

Le concept de dérivée
La pente de la ligne sécante
Passage à la limite : la dérivée et la pente de la tangente
Définition alternative
Propriétés des dérivées
La différentiabilité implique la continuité
Algèbre des dérivées

Le concept de dérivée

La nature est généralement sujette à des changements, et l’outil mathématique par excellence pour calculer et comprendre ces changements est la dérivée. Elle émerge de la question : « Que se passe-t-il avec la valeur d’une fonction f(x) lorsque la variable x est augmentée ou diminuée d’une quantité aussi petite que souhaitée \Delta x ? » Le concept de dérivée apparaît comme la limite d’une fonction en analysant cette question.

La pente de la ligne sécante

Considérons une fonction f(x), évaluée en deux points x_0 et x_0 + \Delta x. Toute ligne passant par deux points d’une courbe est appelée « ligne sécante » et ressemble à ce qui est montré sur la figure ci-dessous.

La pente de cette ligne sécante est donnée par :

\dfrac{\Delta f(x_0)}{\Delta x} = \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

Passage à la limite : la dérivée et la pente de la tangente

Considérons la ligne sécante de la courbe y=f(x), passant par x_0 et x_0 + \Delta x. En calculant la limite lorsque \Delta x tend vers zéro, nous obtenons la tangente à la courbe passant par (x_0, f(x_0)).

À partir de cela, la définition formelle de la dérivée d’une fonction f(x) en un point x_0 est donnée par :

\displaystyle \dfrac{df(x_0)}{dx}:= \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

Cela représente également la pente de la tangente passant par x_0.

Définition alternative

Une autre manière de présenter la définition de la dérivée comme limite repose sur le remplacement suivant :

\begin{array}{rl} x_i &= x_0\\ x_f &= x_i + \Delta x \end{array}

Ainsi, \Delta x = x_f - x_i, et la définition de la dérivée devient :

\begin{array}{rl} \displaystyle \dfrac{df(x_i)}{dx} &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{ f(x_i + \Delta x) - f(x_i)}{\Delta x}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{x_f - x_i \to 0} \dfrac{f(x_f) - f(x_i)}{x_f - x_i}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{x_f \to x_i } \dfrac{f(x_f) - f(x_i)}{x_f - x_i} \end{array}

Les deux définitions sont équivalentes et peuvent être utilisées de manière interchangeable selon les besoins.

Propriétés des dérivées

Une fonction est dite dérivable en x_0 si la limite suivante existe :

\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

Nous disons qu’une fonction est dérivable sur un ensemble I si cette limite est bien définie pour tous les x_0 \in I. Les fonctions dérivables possèdent les propriétés suivantes :

La différentiabilité implique la continuité

Si une fonction est dérivable en x_0, alors elle est continue en x_0. Cela peut être démontré par le raisonnement suivant :

Pour que f(x) soit continue en x_0, il est nécessaire que :

\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x) = f(x_0)

En examinant le côté gauche de cette expression, nous avons :

\begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) &= \displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[ f(x) + f(x_0) - f(x_0) \right] \\ \\ &= \displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[f(x_0) + \left( f(x) - f(x_0) \right) \right] \\ \\ &= \displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[f(x_0) + \left( \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x- x_0} \right)(x-x_0) \right] \\ \\ &=f(x_0) +\displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[ \left( \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x- x_0} \right)(x-x_0) \right] \end{array}

Par conséquent, pour que f(x) soit continue en x_0, la limite du côté droit doit être bien définie. Cela se produit si et seulement si :

\displaystyle \lim_{x\to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} = \dfrac{df(x_0)}{dx}

En d’autres termes, si f(x) est dérivable en x_0. Par conséquent, la différentiabilité implique la continuité.

Algèbre des dérivées

Soient f et g des fonctions dérivables pour tout x \in I, et soient \alpha, \beta \in \mathbb{R}. Alors, les propriétés suivantes sont vérifiées :

1. \dfrac{d}{dx} \left( \alpha f(x) \pm \beta g(x) \right) = \alpha \dfrac{df(x)}{dx} \pm \beta\dfrac{dg(x)}{dx}
2. \dfrac{d}{dx} \left( f(x) g(x) \right) = \dfrac{df(x)}{dx} g(x) + f(x)\dfrac{dg(x)}{dx}
3. Si g(x) \neq 0, alors \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{\dfrac{df(x)}{dx}g(x) - f(x) \dfrac{dg(x)}{dx} }{\left[g(x)\right]^2}

Comme nous pouvons le voir, l’algèbre des dérivées peut sembler moins intuitive qu’elle ne paraît au premier abord. Cependant, ces propriétés peuvent être dérivées sans grande difficulté à partir de la définition des dérivées comme limites.

Preuve :

La preuve de la règle de la somme est la suivante :

\begin{array}{rl} \dfrac{d}{dx}\left(\alpha f(x) \pm \beta g(x) \right) & =\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\left[\alpha f(x+\Delta x) \pm \beta g(x+ \Delta x)\right] - \left[\alpha f(x) \pm \beta g(x) \right]}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \left[\alpha f(x+\Delta x) - \alpha f(x)\right] \pm \left[\beta g(x+\Delta x) - \beta g(x)\right]}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \alpha \left[ f(x+\Delta x) - f(x)\right] \pm \beta \left[ g(x+\Delta x) - g(x)\right]}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \alpha \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \pm \beta \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x} \\ \\ &= \alpha \dfrac{df(x)}{dx} \pm \beta \dfrac{dg(x)}{dx} \end{array}

La preuve de la règle du produit est un peu plus complexe :

\begin{array}{rl} \dfrac{d}{dx}\left[f(x)g(x)\right] &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) g(x+\Delta x) - f(x) g(x)}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) g(x+\Delta x) + \color{red}f(x)g(x+\Delta x) - f(x)g(x+\Delta x) \color{black} - f(x) g(x)}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\left[f(x+\Delta x) - f(x) \right] g(x+\Delta x) + f(x) \left[g(x+\Delta x) - g(x)\right]}{\Delta x} \\ \\ &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} g(x+\Delta x) \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} + f(x)\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} g(x+\Delta x)\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} + f(x)\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x}\\ \\ &= g(x) \dfrac{df(x)}{dx} + f(x)\dfrac{dg(x)}{dx} \end{array}

Nous avons ici utilisé le fait que, puisque g est une fonction dérivable, elle est aussi continue. Par conséquent, \lim_{\Delta x\to 0 } g(x+\Delta x) = g(x).

Enfin, la preuve de la règle du quotient peut être obtenue en utilisant la règle du produit. Supposons une fonction de la forme k(x) = f(x)/g(x), où g(x) \neq 0. Alors :

\dfrac{df(x)}{dx}= \dfrac{d}{dx}(k(x)g(x)) = \dfrac{dk(x)}{dx}g(x) + k(x)\dfrac{dg(x)}{dx}

En résolvant pour \dfrac{dk(x)}{dx}, nous obtenons :

\dfrac{dk(x)}{dx}g(x) = \dfrac{df(x)}{dx} - k(x)\dfrac{dg(x)}{dx} = \dfrac{d}{dx}f(x) - \dfrac{f(x)}{g(x)}\dfrac{dg(x)}{dx}

Par conséquent :

\begin{array}{rl} \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right) &= \dfrac{dk(x)}{dx} =\dfrac{1}{g(x)} \dfrac{df(x)}{dx} - \dfrac{f(x)}{\left[g(x)\right]^2}\dfrac{dg(x)}{dx} \\ \\ & = \dfrac{\dfrac{df(x)}{dx}g(x) - f(x) \dfrac{dg(x)}{dx}}{[g(x)]^2} \end{array}

C’est ce que nous voulions démontrer.