En esta ocasión no solo revisaremos los Limites Infinitos, sino que de los límites divergente en general. Los límites divergentes nos hablan sobre el cómo una función parece no converger, y esto puede ocurrir de muchas maneras.

¿Cuándo decimos que un limite es divergente?

Decimos que un límite es divergente cuando no converge a algún valor real. Esto que suena tan obvio se puede dar de formas diferentes:

• Cuando los límites laterales son distintos o inexistentes, los límites bilaterales no existen.
• Si la función no está bien definida, crece sin límite u oscila infinitamente al acercarse al punto donde se calcula el límite, entonces el límite lateral no puede existir.

Esto puede aplicar, con sus particularidades, tanto a limites finitos como con los límites al infintio y, según sea el caso, tendremos algún tipo de divergencia.

Tipos de Divergencia en los Límites

Límites con Problemas de Dominio

Cuando intentamos calcular un límite del estilo \lim_{x\to x_0}f(x) o \lim_{x\to +\infty}f(x), esperamos que como mínimo f(x) esté bien definido para valores cercanos a x_0 o para algún intervalo de la forma [a,+\infty[, respectivamente. Si tal cosa no ocurriese, entonces ninguna de las dos definiciones de límites podría tan siquiera tener sentido; la función no puede «tender» a algún valor si se acerca por donde ni siquiera está definida. En tales casos simplemente escribimos que el límite no existe: \lim_{x\to x_0}f(x)=\cancel{\exists} y \lim_{x\to +\infty}f(x)=\cancel{\exists}, según corresponda. De forma similar aplica con los límites laterales y no queda mas nada que decir sobre este tipo de situaciones.

Limites Laterales Dispares

Consideremos una función del estilo f(x) = x/|x| y calculemos el límite cuando x\to 0. Lo primero que notaremos será que

\displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x) = 1

\displaystyle\lim_{x\to 0^-} f(x) = -1

En tal caso notaremos que si bien los límites laterales existen, estos son distintos. Cuando esto ocurre simplemente decimos que el límite (bilateral) no converge y, por lo tanto:

\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) = \cancel{\exists}

Límite de Funciones Infinitamente Oscilantes

También existe el caso en que las funciones que, en lugar de acercarse a un cierto valor, comienzan a oscilar dentro de un determinado rango. Un ejemplo de esto vendría siendo una función del estilo f(x)= \sin(1/x). Si observamos qué pasa con esta función cuando x\to 0 veremos que oscila infinitamente.

Cuando cosas semejantes ocurren, diremos que el límite simplemente no existe.

Limites Infinitos

Veamos lo que ocurre con la función f(x) = 1/x. Lo primero que veremos es que cuando cuando x\to 0 será que el valor de f(x) crece sin límite, pero la forma en que lo hará dependerá desde donde se calcule el límite. Intuitivamente escribiremos que

\displaystyle\lim_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty

\displaystyle\lim_{x\to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty

Con esta escritura no estamos diciendo que el límite exista de alguna manera, en su lugar estamos indicando la forma en que este límite no existe. A diferencia de los casos anteriores, en que el límite no existe no converge a un valor concreto; en este caso diverge porque su tamaño va mas allá de cualquier número real.

Esto que acabamos de revisar se puede formalizar a través de las siguientes definiciones:

\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x) = +\infty := \left(\forall M \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 \lt x \lt x_0 + \delta \rightarrow M \lt f(x) )

\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x) = +\infty := \left(\forall M \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 - \delta \lt x \lt x_0 \rightarrow M \lt f(x) )

\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x) = +\infty := \left(\lim_{x\to x_0^+}f(x) = +\infty \right) \wedge \left(\lim_{x\to x_0^-}f(x) = +\infty \right)

Y de forma análoga:

\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x) = -\infty := \left(\forall m \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 \lt x \lt x_0 + \delta \rightarrow f(x) \lt m )

\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x) = -\infty := \left(\forall m \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 - \delta \lt x \lt x_0 \rightarrow f(x) \lt m )

\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x) = -\infty := \left(\lim_{x\to x_0^+}f(x) = -\infty \right) \wedge \left(\lim_{x\to x_0^-}f(x) = -\infty \right)

En ocasiones también se habla de límite que tiende al infinito (sin signo)

\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x) = \infty := \lim_{x\to x_0}|f(x)| = +\infty

Limites Infinitos al infinito

De forma similar con los límites revisamos anteriormente, es posible definir los límites infinitos al infinito. Por ejemplo:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x) = +\infty := \left(\forall M \in \mathbb{R}\right)\left( \exists N \in\mathbb{R} \right) ( N\lt x \rightarrow M \lt f(x) )

Y con esto ya hemos visto todas las formas en que los límites de las funciones pueden diverger.