تصنيف القطوع المكافئة ورسوماتها

الملخص:
في هذه الحصة سنراجع تصنيف القطوع المكافئة انطلاقًا من معادلتها العامة وشكلها القياسي، مع توضيح كيفية تحديد العناصر الرئيسية مثل القمة، البؤرة، الدليل، محور التماثل والتقاطعات المحتملة مع المحور السيني.

أهداف التعلم:
بنهاية هذه الحصة سيكون الطالب قادرًا على:

حساب موقع القمة، البؤرة والدليل للقطع المكافئ انطلاقًا من شكله العام والقياسي.
تحويل المعادلة القياسية إلى الشكل العام لاستخراج المعلومات الهندسية.
تصميم الرسم البياني للقطع المكافئ باستخدام المعلومات المستخلصة.

فهرس المحتويات
الشكل العام والقياسي للقطوع المكافئة
تصنيف القطوع المكافئة من المعادلة العامة
تصنيف القطوع المكافئة من المعادلة القياسية
التصنيف التلقائي باستخدام Excel

الشكل العام والقياسي للقطوع المكافئة

في الحصة السابقة رأينا أن القطوع المكافئة يمكن التعبير عنها جبريًا من خلال المعادلة العامة للقطوع المكافئة كما يلي.

$(x-x_0)^2 =4f(y-y_0)$

حيث أن الزوج $(x_0,y_0)$ يمثل موقع القمة و $f$ يمثل المسافة البؤرية. إذا كان $f \gt 0$ فإن البؤرة تكون على بعد $f$ فوق القمة، وإذا كان $f\lt 0$ فإن البؤرة تكون على بعد $f$ تحت القمة.

كما رأينا أيضًا أن معادلة القطوع المكافئة عند تحويلها إلى شكلها القياسي تكون مكافئة لتعدد حدود من الدرجة الثانية.

$y(x) = ax^2 + bx + c,$ مع $a\neq 0$

تصنيف القطع المكافئ يعني الكشف عن المعلومات التالية:

إحداثيات القمة
إحداثيات البؤرة
معادلة الدليل
معادلة محور التماثل
التقاطعات مع المحور السيني (إن وجدت)
أخيرًا، إنشاء رسم تخطيطي باستخدام المعلومات المجتمعة.

تصنيف القطوع المكافئة من المعادلة العامة

إذا كانت القطع المكافئ موصوفًا من خلال المعادلة العامة، فلديك بالفعل معظم المعلومات اللازمة لإكمال التصنيف، فقط التقاطعات مع المحور السيني ستحتاج إلى تحليل إضافي.

$(x-x_0)^2 =4f(y-y_0)$

من هنا لديك:

القمة: النقطة بإحداثيات $(x_0,y_0)$
الموقع البؤري: عند $f$ وحدة فوق القمة
البؤرة: النقطة بإحداثيات $(x_0,y_0 + f)$
الدليل: المعادلة $y= y_0 - f$
محور التماثل: المعادلة $x= x_0$

للعثور على التقاطعات مع المحور السيني، عليك تحويل المعادلة العامة إلى شكلها القياسي، ثم تساوي تعدد الحدود الناتج بالصفر. إذا كانت هناك حلول، فهذه هي التقاطعات مع المحور السيني.

تصنيف القطوع المكافئة من المعادلة القياسية

عندما تكون معادلة القطوع المكافئة في شكلها القياسي لديك خياران: 1) تصنيف المعادلة بتحويلها إلى المعادلة العامة أو 2) استخدام التماثل والتقاطعات مع المحور السيني. كلا الطريقتين لهما مزاياهما. الطريقة الثانية عادة أسرع، ولكن القطوع المكافئة لا تقطع دائمًا المحور السيني، الطريقة الأولى أكثر تعقيدًا ولكن كما سنرى لاحقًا، يمكن أتمتتها بسهولة. سنفحص كلتا الطريقتين حتى تتمكن من اختيار الطريقة التي تناسب احتياجاتك وتفضيلاتك.

تحويل المعادلة إلى الشكل العام

التحويل إلى الشكل العام يتم وفقًا للتفكير التالي، حيث $a,b,c\in\mathbb{R}$ و $a\neq 0.$

(1)	$y=ax^2 + bx + c$	; معادلة القطع المكافئ القياسية
	$y=a\left[x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a}\right]$	; التحليل باستخدام $a$
	$y=a\left[ \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2}{4a^2} + \dfrac{c}{a}\right]$	; لأن $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{b^2}{4a^2}$
	$y=a\left[ \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 + \dfrac{4ac - b^2}{4a^2} \right]$
	$y=a \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 + \dfrac{4ac - b^2}{4a}$
	$y=a \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \dfrac{b^2}{4a}\right)$
	$\left[x - \left(- \dfrac{b}{2a}\right)\right]^2 = \dfrac{1}{a} \left[y - \left(c - \dfrac{b^2}{4a}\right)\right]$
	$\left[x - \left( -\dfrac{b}{2a}\right)\right]^2 = 4\left(\dfrac{1}{4a}\right) \left[y - \left(c - \dfrac{b^2}{4a}\right)\right]$	; معادلة القطع المكافئ في الشكل العام

من هنا، يمكننا استخراج كل المعلومات التي كانت لدينا من المعادلة العامة بربط معلماتها مع معادلة القطع المكافئ القياسية، وبالتالي لدينا:

القمة: النقطة بإحداثيات $(x_0,y_0) = \left(-\dfrac{b}{2a}, c -\dfrac{b^2}{4a} \right)$
الموقع البؤري: عند $f = \dfrac{1}{4a}$ وحدة فوق القمة
البؤرة: النقطة بإحداثيات $(x_0,y_0 + f) = \left(-\dfrac{b}{2a}, c -\dfrac{b^2}{4a} + \dfrac{1}{4a}\right) =\left(-\dfrac{b}{2a}, c +\dfrac{1-b^2}{4a}\right)$
الدليل: المعادلة $y=y_0 - f= c -\dfrac{b^2}{4a} - \dfrac{1}{4a} = c -\dfrac{1 + b^2}{4a}$
محور التماثل: المعادلة $x= x_0 = -\dfrac{b}{2a}$

ومن هنا، يتم تصنيف القطوع المكافئة كما رأينا باستخدام المعادلة العامة.

استخدام التماثل والتقاطعات مع المحور السيني

عندما يكون لدينا معادلة القطع المكافئ مكتوبة في شكلها القياسي $y=ax^2 + bx+c$ نرى أنه من السهل نسبيًا حساب التقاطعات مع المحور السيني، يكفي حل المعادلة

$ax^2 + bx + c = 0$

عندما يكون ذلك ممكنًا، نحصل على التقاطعات $x_1$ و $x_2$ المعطاة بواسطة

$x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

بما أن القطوع المكافئة متماثلة، سيكون لمحور التماثل المعادلة:

$x = x_0 = \dfrac{x_1 + x_2}{2}= -\dfrac{b}{2a}$

يمر محور التماثل بالضرورة عبر قمة القطع المكافئ، والتي ستكون إحداثياتها:

$(x_0, y_0) = (x_0, y(x_0)) = \left( -\dfrac{b}{2a}, y\left(-\dfrac{b}{2a}\right) \right)$

حيث:

$y_0 = y\left(-\dfrac{b}{2a} \right) = a\left(-\dfrac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\dfrac{b}{2a}\right) + c = \dfrac{b^2}{4a} - \dfrac{b^2}{2a} + c = c - \dfrac{b^2}{4a}$

هكذا نصل إلى إحداثيات القمة التي عرفناها بالفعل من طرق أخرى

$(x_0, y_0) = \left( -\dfrac{b}{2a},c - \dfrac{b^2}{4a} \right)$

الموقع البؤري هو كما رأينا $f=\dfrac{1}{4a},$ ومن هنا يمكننا حساب موقع الدليل، البؤرة وكل المعلومات التي كانت لدينا بالفعل من المعادلة العامة.

التصنيف التلقائي باستخدام Excel

بعد القيام بكل هذه الحسابات، أصبح من السهل الآن أتمتة تصنيف أي قطع مكافئ باستخدام Excel. يمكنك العثور على مثال هنا.