1. Álgebra de Polinomios: Definiciones

Para entender el Álgebra de Polinomios, primero debemos saber qué son los polinomios. Los polinomios son funciones algebraicas. Si x es una variable real, entonces se dice que la función P(x) es un polinomio si se puede escribir de la forma:

\displaystyle P(x)= \sum_{i=0}^n a_i x^i= a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \cdots + a_nx^n,

donde n es algún entero no negativo y todos los a_i, con i\in\{1,2,3,\cdots,n\}, son coeficientes reales. Si existe un k tal que a_k\neq 0 y, cuando k\lt i, ocurre que a_i=0, entonces se dice que tal valor de k es el grado del polinomio. En otras palabras, el grado de un polinomio es la potencia más grande que acompaña a un coeficiente distinto de cero.

2. Tipos de Polinomios

Los polinomios se clasifican según su grado; por esto, cuando se menciona un polinomio, casi siempre se dice que es un polinomio de grado k, cuando k es la mayor potencia de x que acompaña al coeficiente no nulo de tal polinomio.

2.1. Los Polinomios Constantes

Es la familia que engloba a todos los polinomios de grado cero y al polinomio nulo. Decimos que un polinomio es de grado cero, si se puede escribir de la forma P(x)=c, con c\neq 0. Por otro lado, el polinomio nulo es de la forma P(x) = 0 y para este no se define un grado.

3. Álgebra de Polinomios: Operaciones

Los polinomios heredan todas sus propiedades desde el álgebra de los números reales. Son especialmente relevantes las propiedades distributivas y asociativas.

3.1. Suma y Resta

Si P y Q son dos polinomios de grado n y m, respectivamente, con

m=n+k y 0\leq k,

entonces se tendrá que:

\begin{array}{rl} \displaystyle P(x) \pm Q(x) &=\displaystyle \sum_{i=0}^n a_i x^i \pm \sum_{i=0}^m b_i x^i \\ \\ &\displaystyle = \sum_{i=0}^n a_i x^i \pm \left( \sum_{i=0}^n b_i x^i + \sum_{i=n+1}^{n+k} b_i x^i \right) \\ \\ &\displaystyle = \sum_{i=0}^n (a_i \pm b_i) x^i + \sum_{i=n+1}^m b_i x^i \end{array}

Es decir, los coeficientes que acompañan a iguales potencias de x se suman o restan, según corresponda.

EJEMPLO:
Si P(x) = 3+5x+2x^2 y Q(x) = 6x-3x^2 +23x^5, entonces:

P(x) + Q(x) = \cdots \\ = (3+5x+2x^2) + (6x-3x^2 +23x^5) \\ = 3 + (5+6)x + (2-3)x^2 + 23x^5 \\ = 3 + 11x - x^2 + 23x^5

P(x) - Q(x) = \cdots \\ = (3+5x+2x^2) - (6x-3x^2 +23x^5) \\ = 3 + (5-6)x + (2+3)x^2 - 23x^5 \\ = 3 - x + 5x^2 - 23x^5

3.2. Multiplicación

En el mismo contexto que para la suma y resta de polinomios, el producto de polinomios se desarrollará de la siguiente forma:

Primero distinguimos la multiplicación por escalar. Si c \in \mathbb{R}, entonces se tiene:

\displaystyle c P(x) = c \sum_{i=0}^n a_i x^i =\sum_{i=0}^n c a_i x^i

Y luego tenemos la multiplicación entre polinomios:

\begin{array}{rl} \displaystyle P(x) Q(x) &\displaystyle = \left( \sum_{i=0}^n a_i x^i \right) \left(\sum_{j=0}^m b_j x^j\right) \\ \\ &=\displaystyle \left[\sum_{j=0}^m \left( \sum_{i=0}^n a_i x^i \right) b_j x^j\right] \\ \\ &=\displaystyle \sum_{j=0}^m \left( \sum_{i=0}^n a_ib_j x^{i+j} \right) \\ \\ &=\displaystyle \sum_{i,j=0}^{n,m} a_ib_j x^{i+j} \end{array}

Esto es lo que resumiríamos a través de la expresión «la suma de los productos de todos con todos».

EJEMPLO:
Si P(x) = 4x+ 2x^2-x^4 y Q(x) = 5 - x + x^2-7x^3, entonces:

P(x)Q(x) =\cdots \\ {} \\= (4x+ 2x^2-x^4)(5 - x + x^2-7x^3) \\ {} \\ = 4x(5 - x + x^2-7x^3) \\ + 2x^2 (5 - x + x^2-7x^3) \\ - x^4 (5 - x + x^2-7x^3) \\ {} \\ = 20x - 4x^2 + 4x^3 - 28x^4 \\ + 10x^2 - 2x^3 + 2x^4 - 14x^5 \\ -5x^4 + x^5 - x^6 + 7x^7 \\ {} \\ = 20x + 6x^2 + 2x^3 - 31x^4 - 13x^5 - x^6 + 7x^7

4. Factorización y División de Polinomios

Cuando multiplicamos dos polinomios, lo que hacemos es pasar de dos polinomios sencillos a otro más complicado (de mayor grado). Cuando factorizamos un polinomio seguimos el proceso inverso: transformamos un polinomio complicado en el producto de dos o más polinomios de menor grado.

Para factorizar un polinomio P(x), es necesario encontrar los valores de x que anulan el polinomio; si tales valores existen, entonces el polinomio es factorizable. Hablar de existencia es asequible, pero hablar de encontrarlos es una historia diferente. Revisaremos este tema con más detalle cuando estudiemos las factorizaciones de los polinomios cuadráticos y (2n)cuadráticos.

4.1. Productos Notables

Existen, sin embargo, casos en que la factorización se obtiene de un modo sencillo,
como el de los productos notables. Algunos de estos resultados son los siguientes:

x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)

(x\pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2

(x \pm y)^3 = x^3 \pm 3x^2y + 3xy^2 \pm y^3

x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)

x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)

4.2. El Algoritmo de la división

Así como multiplicando enteros obtenemos números compuestos y la división a través del algoritmo de de la división nos permite factorizar cuando el resto es cero, parecido ocurre con los polinomios. Explicar el algoritmo de la división «en texto» puede ser un poco complicado, es mucho más fácil de entender viendo directamente cómo se hace y en qué casos el algoritmo conduce a una factorización. Para lograr esto revisaremos algunos ejemplos.

EJEMPLO: Calcular P(x):Q(x) para los siguientes casos:

1. P(x)=2 x^3 + x^2 - 2 x - 1, Q(x)=x-1 [SOLUCION]
2. P(x)=x^4+2x^3-x+1, Q(x)=x^2-4 [SOLUCION]
3. P(x)=3 x^4 - 2 x^3 - x^2 - 4 x + 1, Q(x)=x^2+x+1 [SOLUCION]
4. P(x)=x^7+5x^4+5x^2-3x+1, Q(x)=x^3-2x^2+1 [SOLUCION]