如何使用表格计算正态分布？
摘要
在本课中，我们将讨论正态分布，这是最常见的连续概率分布之一。我们将分析参数为 μ 和 σ 的随机变量 X 如何遵循正态分布，以及如何通过积分替代使该分布标准化。然而，尽管通过标准化简化了积分，积分的解析计算仍然是一个挑战，因为没有代数表达式可以表达其结果。为了解决这个问题，我们将展示一个用 Excel 构建的标准正态分布表，该表提供了函数值的数值近似。我们将详细解释如何使用该表，包括将累积概率解释为曲线下面积。最后，本课以一系列实际练习结束，这些练习集中在使用正态分布表和标准正态分布概念进行概率和估计的计算。
学习目标：
在本课结束时，学生将能够：
- 演示标准正态分布与参数为 \mu 和 \sigma 的正态分布之间的关系，通过积分替代。
- 解决使用标准正态分布表的实际问题。
- 构建并使用 Excel 创建的标准正态分布表。
内容索引：
正态分布的问题与解决方案
如何使用此表格？
练习
正态分布的问题与解决方案
最常用的连续概率分布之一是正态分布。随机变量 X 当满足参数为 \mu,\sigma 的正态分布时，
\displaystyle P(X\leq x) =\Phi_{\mu,\sigma}(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2}dt
我们还看到，如果在积分中做替代 \displaystyle z= \frac{t-\mu}{\sigma}, 也可以将该分布“标准化”，得到：
\displaystyle \Phi_{\mu,\sigma}(x) = \int_{-\infty}^{\frac{x-\mu}{\sigma}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2} }dt = \Phi_{0,1}\left(\frac{x-\mu}{\sigma} \right)
虽然这种标准化过程简化了积分，但仍不足以使我们能够计算该分布的任何概率。事实上，我们无法解析计算这个积分的结果，因为没有代数表达式可以表示这些积分的结果，这使我们陷入困境。然而，如果我们有一些标准正态分布函数值的数值近似，我们可以开始进行一些估计。这些值总结在我为你在 Excel 中构建的标准正态分布表中 >:D
你可以在以下链接下载此表的 Excel 格式。我建议查看该文件，因为这样你可以学习如何在找不到表时构建自己的表 🙂
如何使用此表格？
要轻松使用此表格，你必须记住，除了表示累积概率外，它还表示曲线下的面积（密度函数）。这可以在下图中看到：
理解这一点后，下一步是解释表格的实际使用方法。我们在这里看到的是，我们要评估函数 \Phi_{0,1}(z) 的值 z 分成两部分：在列中，你会找到其扩展到第一个小数位，在行中，你会找到第二个小数位；因此，例如：数字 z=1,72 可以找到类似于“坐标”的形式：垂直是 1,7, 水平是 0,02. 最后，\Phi_{0,1}(1,72) 的数值近似将在“1,7”和“0,02”的坐标块中显示，显示值为 0,957284.
练习
- 估计 \Phi_{0,1}(2,93) 的值
- 估计 \Phi_{\mu=12,\sigma=3}(11,5) 的值
- 随机变量 X 具有正态分布 N(\mu=37,\sigma=9). 计算 P(35 \lt X \lt 43).
- 一个摊贩每天腐烂的西红柿数量的平均值为 \mu=50，标准差为 \sigma=15. 如果摊贩每周带西红柿 3 次，估计在一个月中每天腐烂超过 60 个西红柿的天数。
- 假设 X \sim N(\mu,\sigma) 计算以下概率：
- P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma)
- P(X \leq \mu - \sigma \vee \mu + \sigma \leq X)
- P(X \leq \mu - n\sigma \vee \mu + n\sigma \leq X)