Semantica: introdvctio

Antequam vnitatem incipias, pvnctvm vnde proficisceris metire. Brevis est sui ipsivs probatio: non aestimatvr, et eivs exitvs in solo tvo navigatro servatvr.

1. Qvaestio 1Ex vnitatibvs prioribvsFvnctio in formvlis definitvr valore eivs in qvaqve variabili dato et regvla qvae valorem formvlae $\sigI\varphi\psi$ ex $\varphi$, ex $\psi$ et ex valoribvs vtrivsqve compvtat. Qvid praestat vt ita vna fvnctio et vna sola definiatvr?

   Legibilitas vnica: qvaeqve formvla composita vno tantvm modo in discvm svvm initialem et dvas svas partes resolvitvr.

   Qvod regvla semper $0$ vel $1$ reddit.

   Nihil: valor formvla post formvlam comprobandvs esset, et cvm infinitae sint, id fieri non potest.

   Qvod abbreviationes $\neg$, $\vee$ et $\wedge$ qvoqve legibilitatem vnicam habent.

2. Qvaestio 2Ex vnitatibvs prioribvsAbbreviationibvs statvtis cvrsvs adhibitis, qvae formvla est $(\varphi \vee \varphi)$?

   Eadem catena ac $\neg\neg\varphi$.

   Ipsa $\varphi$, per idempotentiam.

   $(\varphi \downarrow \varphi)$.

   Nvlla: disivnctio dvas formvlas diversas postvlat.

3. Qvaestio 3Ex vnitatibvs prioribvsAd demonstrandvm per indvctionem secvndvm complexitatem omnes formvlas proprietatem qvandam habere, qvi casvs tractandi svnt?

   Variabiles et vnica regvla formationis, $\sigI\varphi\psi$, id est $(\varphi \downarrow \psi)$.

   Variabiles, negatio, conivnctio et disivnctio.

   Sola regvla $(\varphi \downarrow \psi)$: variabiles casvs particvlaris svnt.

   Variabiles et sex connectiva $\neg$, $\vee$, $\wedge$, $\rightarrow$, $\leftrightarrow$ et $\veebar$.

4. Qvaestio 4Ex vnitatibvs prioribvsCvm formvla $\alpha$ per formvlam $\beta$ in $\varphi$ svbstitvitvr, secvndvm definitionem lectionis de indvctione, qvae occvrrentiae formvlae $\alpha$ mvtantvr?

   Omnes eivs occvrrentiae vt svbformvlae, simvl.

   Prima sola, catena a sinistra ad dextram lecta.

   Eae solae qvae in scriptvra abbreviata videntvr.

   Eae formvlae $\alpha$ et, deinde, eae qvae in exemplis formvlae $\beta$ apparent.

5. Qvaestio 5Aestimatio variabili $p$ valorem $0$ dat et variabili $q$ valorem $1$. Si $(\varphi \downarrow \psi)$ valet $1$ exacte cvm $\varphi$ et $\psi$ valent $0$, qvem valorem capit formvla $(p \downarrow (q \downarrow p))$?

   $1$.

   $0$, qvia $q$ valet $1$.

   Compvtari non potest nisi valores ceterarvm variabilivm noti sint.

   Pendet ex modo qvo partes consocientvr.

6. Qvaestio 6Qvid significat $\not\models \varphi$?

   Aliqvam aestimationem formvlae $\varphi$ valorem $0$ dare: $\varphi$ valida non est.

   Formvlam $\varphi$ contradictionem esse.

   Nvllam aestimationem formvlae $\varphi$ satisfacere.

   Formvlam $\varphi$ in systemate cvrsvs non dedvci.

7. Qvaestio 7Constat $\Gamma \cup \{\varphi\} \models \psi$: omnis aestimatio qvae $\Gamma$ et $\varphi$ satisfacit, $\psi$ satisfacit. Qvid seqvitvr?

   $\Gamma \models (\varphi \rightarrow \psi)$.

   $\Gamma \models \psi$.

   $\Gamma \models (\psi \rightarrow \varphi)$.

   $\models (\varphi \rightarrow \psi)$.

8. Qvaestio 8Formvla $(v_{1} \vee \neg v_{1})$ valida est. Qvae ex formvlis seqventibvs valida est per theorema svbstitvtionis vniformis?

   $(\neg v_{2} \vee \neg\neg v_{2})$.

   $(v_{1} \vee \neg v_{2})$.

   $(\neg v_{2} \vee \neg v_{3})$.

   Nvlla: svbstitvtio vniformis solvm sinit variabiles in alias variabiles mvtari.

9. Qvaestio 9Secvndvm conventionem cvrsvs, qvam formvlam designat locvtio $v_{1} \wedge v_{2} \wedge v_{3}$, sine parenthesibvs scripta?

   $((v_{1} \wedge v_{2}) \wedge v_{3})$.

   $(v_{1} \wedge (v_{2} \wedge v_{3}))$.

   Ambae consociationes, qvia eadem catena svnt.

   Nvlla: sine parenthesibvs locvtio nihil designat.

10. Qvaestio 10Fvnctio veritatis dvorvm argvmentorvm valorem, $0$ vel $1$, singvlis qvattvor versibvs $(1, 1)$, $(1, 0)$, $(0, 1)$ et $(0, 0)$ tribvit. Qvot svnt fvnctiones veritatis dvorvm argvmentorvm?

11. Qvaestio 11Potestne formvla solis $\wedge$ et $\vee$ ex variabilibvs scripta valere $0$ in aestimatione qvae $1$ omnibvs variabilibvs dat?

    Non: omnis formvla solis $\wedge$ et $\vee$ scripta valet $1$ in ea aestimatione.

    Ita, si satis mvltae conivnctiones et disivnctiones inservntvr.

    Ita: cvm negatio conivncta sola svfficiat, conivnctio qvoqve et disivnctio svfficivnt.

    Sciri non potest nisi tabvla cvivsqve formvlae scripta.

12. Qvaestio 12Litterale est variabilis vel negatio variabilis. Qvae ex formvlis seqventibvs litterale est?

    $\neg v_{2}$.

    $\neg\neg v_{1}$.

    $(v_{1} \wedge v_{2})$.

    $\top$.

13. Qvaestio 13Estne valida forma normalis conivnctiva $(\neg v_{1} \vee v_{2} \vee v_{1}) \wedge (v_{3} \vee \neg v_{2})$?

    Non: secvnda clavsvla nvllvm par complementarivm continet, et aestimatio qvae $0$ dat variabili $v_{3}$ et $1$ variabili $v_{2}$ eam refvtat.

    Ita: prima clavsvla par complementarivm continet, et vna satis est.

    Ita, qvia satisfactibilis est.

    Decerni non potest sine tabvla octo versvvm.

14. Qvaestio 14Vt formvla ad formam normalem disivnctivam dvcatvr, conivnctio svper disivnctionem distribvitvr. Qvae est regvla recta?

    $(\varphi \wedge (\psi \vee \chi)) \longmapsto ((\varphi \wedge \psi) \vee (\varphi \wedge \chi))$.

    $(\varphi \wedge (\psi \vee \chi)) \longmapsto ((\varphi \wedge \psi) \vee (\varphi \vee \chi))$.

    $(\varphi \wedge (\psi \vee \chi)) \longmapsto ((\varphi \vee \psi) \wedge (\varphi \vee \chi))$.

    $(\varphi \wedge (\psi \vee \chi)) \longmapsto ((\varphi \wedge \psi) \vee \chi)$.

15. Qvaestio 15Circvitvs dvos interrvptores directos habet, vectivm $p$ et $q$, in serie ivnctos, et hoc membrvm in parallelo est cvm interrvptore directo vectis $r$. Qvae formvla dicit qvando condvcat?

    $((p \wedge q) \vee r)$.

    $((p \vee q) \wedge r)$.

    $((p \wedge q) \wedge r)$.

    $((p \vee q) \vee r)$.