Ad argvmentvm transi
Topos Uranos
Latine

Semantica logicae propositionalis

Svmmarivm

Hactenvs formvlae catenae circvlorvm et discorvm fvervnt, et dedvctiones tractationes catenarvm: de earvm veritate nihil dictvm est. Haec lectio eis significationem dat. Aestimatio cviqve variabili altervm ex dvobvs valoribvs veritatis tribvit, 11 (vervm) et 00 (falsvm), et ad omnes formvlas vno tantvm modo extenditvr, per recvrsionem in earvm complexitate, vna sola clavsvla: (φ↓ψ)(\varphi \downarrow \psi) valet 11 tvm ipsvm cvm φ\varphi et ψ\psi valent 00. Ex hac clavsvla et ex abbreviationibvs statvtis compvtantvr, nvllo alio statvto, valores negationis, disivnctionis, conivnctionis, implicationis, implicationis dvplicis et disivnctionis exclvsivae. Lemma coincidentiae, per indvctionem secvndvm complexitatem demonstratvm, praestat valorem formvlae a solis valoribvs variabilivm eivs pendere; ex eo seqvitvr tabvlam veritatis, cvm 2n2^n versibvs pro nn variabilibvs, omnia continere qvae infinitae aestimationes de formvla dicere possvnt. Hoc modo definivntvr satisfactio, validitas, satisfactibilitas, contradictio et contingentia, statvvntvr formvlae ⊤\top et ⊥\bot, et proponitvr qvaestio de validitate decernenda, qvam tabvlae solvvnt impendio qvod cvm nvmero variabilivm exponentialiter crescit.

Proposita discendi

  1. Valorem veritatis formvlae svb aestimatione per eivs extensionem recvrsivam compvtare, et ex abbreviationibvs statvtis valorem cvivsqve connectivi derivati dedvcere.
  2. Lemma coincidentiae per indvctionem secvndvm complexitatem demonstrare, et eo exponere cvr tabvla veritatis 2n2^n versvvm svfficiat ad formvlam cvm nn variabilibvs investigandam.
  3. Tabvlas veritatis colvmnam post colvmnam constrvere et formvlas in validas, contingentes vel contradictiones distribvere, classesqve formvlarvm in satisfactibiles vel insatisfactibiles, neqve ⊭φ\not\models \varphi cvm contradictione confvndere.
  4. De validitate formvlae decernere aestimationem qvaerendo qvae eam refvtet, et impendivm methodi tabvlarvm pro nvmero variabilivm metiri.

Significatio formvlarvm

Vnitas de lingva, in lectione de lingva logicae propositionalis, classem catenarvm dvorvm signorvm constrvxit, et vnitas de dedvctione docvit qvomodo catenae ex aliis catenis, axiomatibvs et regvlis adhibitis, obtinerentvr. Nevtra de veritate locvta est: systema dedvctivvm signa secvndvm formam eorvm transformat, vt machina qvae non intellegit qvid scribat. Lingva avtem ad envntiata repraesentanda constrvcta est, et lectio de formalizatione lingvae natvralis eis lectiones informales tribvit: (φ↓ψ)(\varphi \downarrow \psi) vera est cvm φ\varphi et ψ\psi ambae falsae svnt, et lectiones ceterorvm connectivorvm ex hac dedvctae svnt. Semantica has lectiones in definitiones mathematicas convertit.

Dvo decreta eam fvndant. Primvm est bivalentia: svnt exacte dvo valores veritatis, qvi scribvntvr 11 (vervm) et 00 (falsvm), et qvaeqve formvla, in qvaqve condicione, altervm eorvm habet. Altervm est fvnctionalitas veritatis: valor formvlae compositae a solis valoribvs partivm eivs pendet, non ab eivs argvmento, ita vt veritas variabilivm de veritate omnivm formvlarvm decernat. Lectio de formalizatione pretivm hvivs alterivs decreti ostendit (cavsa, modalitas et tempvs extra manent); praemivm eivs est qvod semantica totivs lingvae ex vna sola clavsvla obtinetvr, ea connectivi primitivi.

Animadvertendvm est praeterea hanc vnitatem totam in metalingva versari. Affirmationes «φ\varphi vera est svb tali aestimatione» vel «φ\varphi tavtologia est» non svnt formvlae, sed envntiata mathematica de formvlis, et ratiocinatione commvni demonstrantvr, saepe per indvctionem secvndvm complexitatem; non svnt dedvctiones in systemate cvrsvs. Relatio inter vtrvmqve mvndvm, omne dedvcibile vervm esse et omne vervm, sensv accvrato hvivs vnitatis, dedvcibile esse, est argvmentvm vnitatis de metatheoria.