Recta realis: ordo, intervalla et valor absolvtvs

Svmmarivm

Haec lectio nvmeros reales vt pvncta rectae considerat. Ex tribvs axiomatibvs regvlas dedvcit qvibvs cvm inaeqvalitatibvs operamvr, proprietate Archimedea demonstrat rationales in recta densos esse, completvdine demonstrat omnem realem non negativvm radicem $n$ -tam habere, intervalla definit et vt copias sine lacvnis describit, valorem deniqve absolvtvm vt mensvram distantiae introdvcit, cvm lemmate eivs fvndamentali de inaeqvalitatibvs et cvm inaeqvalitate triangvlari. Problemata haec instrvmenta adhibent ad prodvcta circvmscribenda, ad aeqvationes et inaeqvationes cvm valoribvs absolvtis solvendas, ad errorem approximationis coercendvm et ad svmmam distantiarvm minimam reddendam.

Proposita discendi

Ex axiomatibvs ordinis regvlas dedvcere qvibvs inaeqvalitates addvntvr, mvltiplicantvr et invertvntvr, easqve adhibere sine mvltiplicatione per nvmeros signi ignoti.
Proprietatem Archimedeam adhibere eaqve demonstrare inter dvos reales diversos semper esse rationalem.
Copias nvmerorvm realivm per intervalla describere, cvm eis operari et agnoscere qvando copia intervallvm sit.
Valorem absolvtvm vt distantiam interpretari, condiciones cvm valoribvs absolvtis in intervalla convertere et inaeqvalitatem triangvlarem adhibere.

Recta realis

In recta dvo pvncta eligvntvr: altervm $0$ repraesentat, altervm, ad dextram eivs sitvm, $1$ . Longitvdo segmenti qvod ea ivngit pro vnitate est, et cviqve nvmero reali $x$ pvnctvm respondet: si $x$ positivvs est, id qvod ad dextram originis distantia $x$ sitvm est; si negativvs, id qvod ad sinistram distantia $-x$ sitvm est. Rationales pvncta occvpant qvae regvla et circino constrvvntvr, et eorvm expressio decimalis, in lectione de expressione decimali nvmerorvm rationalivm tractata, indicat in qvam svbdivisionem decimalem vnitatis qvisqve cadat. Iam vero in lectione de generibvs nvmerorvm visvm est rationales lacvnas relinqvere, qvalis est ea qvam $\sqrt{2}$ occvpat, et admissvm est reales corpvs ordinatvm completvm efficere, cvivs axioma completvdinis eas lacvnas explet. Qvam ob rem admittitvr correspondentiam inter reales et pvncta biiectivam esse: cviqve reali pvnctvm respondet et cviqve pvncto realis. Haec identificatio non demonstratvr, qvia recta geometriae hic non definitvr independenter a nvmeris; est lectio geometrica completvdinis, et recta realis appellatvr.

Axiomata ordinis

Relatio «ad sinistram esse» in relationem ordinis inter reales convertitvr, qvae ex copia nvmerorvm positivorvm definitvr. Inter axiomata qvae lectio de generibvs nvmerorvm pro realibvs admittit, vna cvm axiomatibvs corporis et axiomate completvdinis, axiomata ordinis ad eam copiam pertinent, eaqve in memoriam revocare ivvat:

Trichotomia: pro qvoqve reali $x$ vna tantvm ex tribvs affirmationibvs $x > 0$ , $x = 0$ vel $-x > 0$ vera est.
Svmma dvorvm positivorvm positiva est.
Prodvctvm dvorvm positivorvm positivvm est.

Realis $x$ negativvs est si $-x$ positivvs est. Scribitvr $x < y$ , sive $y > x$ , cvm differentia $y - x$ positiva est, et $x \leq y$ cvm $x < y$ vel $x = y$ . Ad $y - x$ adhibita, trichotomia dicit pro dvobvs qvibvslibet realibvs vnam tantvm ex affirmationibvs $x < y$ , $x = y$ vel $y < x$ veram esse: dvo pvncta diversa rectae semper altervm ad sinistram alterivs iacent. Praeterea in problemate solvto 5 eivsdem lectionis demonstratvm est, his solis axiomatibvs et regvla signorvm, qvadratvm omnis realis non nvlli positivvm esse; praesertim $1 = 1^2 > 0$ . Regvlae qvibvs cvm inaeqvalitatibvs operamvr ex his axiomatibvs et ex axiomatibvs corporis conseqvvntvr; lectio de generibvs nvmerorvm eas in lemmate svo de regvlis ordinis dedvxit, et hic colligvntvr et in recta interpretantvr.

TheoremaProprietates ordinis

Pro omnibvs realibvs $x$ , $y$ et $z$ : si $x < y$ et $y < z$ , tvm $x < z$ ; si $x < y$ , tvm $x + z < y + z$ ; si $x < y$ et $z > 0$ , tvm $xz < yz$ ; si $x < y$ et $z < 0$ , tvm $xz > yz$ ; si $x > 0$ , eivs inversvm positivvm est; et si $0 < x < y$ , tvm $0 < \frac{1}{y} < \frac{1}{x}$ . Qvaeqve affirmatio eo redit vt signvm differentiae decernatvr, sicvt in lectione de nvmeris integris, vbi hae regvlae pro integris demonstratae svnt; demonstratio, qvae eam lectionis de generibvs nvmerorvm repetit, ex solis axiomatibvs dedvcitvr, et regvlae igitvr pro omnibvs realibvs valent. Figvra qvamqve proprietatem in recta repraesentat: translatio ordinem dvorvm pvnctorvm servat, dilatatio ab origine item, reflexio avtem vel inversio evm invertit.

Demonstratio

$z - x = \resaltar{(z - y) + (y - x)} > 0$
Transitivitas: si $x < y$ et $y < z$ , differentiae $y - x$ et $z - y$ positivae svnt, et secvndo axiomate etiam earvm svmma, qvae est $z - x$ .
$(y + z) - (x + z) = \resaltar{y - x} > 0$
Congrventia cvm svmma: evndem nvmervm $z$ vtriqve membro addere differentiam non mvtat.
$\dato{pos}{yz - xz = \resaltar{(y - x) z} > 0}$
Prodvctvm per positivvm: si $z > 0$ , differentia $yz - xz$ prodvctvm dvorvm positivorvm est, et tertio axiomate positiva est.
$\dato{neg}{xz - yz = (y - x)\resaltar{(-z)} > 0}$
Prodvctvm per negativvm: si $z < 0$ , eivs oppositvm $-z$ positivvm est, et gradvs praecedens, ad $-z$ adhibitvs, differentiam positivam ordine contrario praebet.
$\dato{inv}{x > 0 \rightarrow \frac{1}{x} > 0}$
Signvm inversi: sit $x > 0$ . Si eivs inversvm negativvm esset, mvltiplicando $0 < x$ per id inaeqvalitas inverteretvr, et prodiret $0 > 1$ , qvod falsvm est; neqve inversvm nvllvm est, qvia eivs prodvctvm per $x$ valet $1$ .
$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \resaltar{\frac{y - x}{xy}} > 0$
Inversa: si $0 < x < y$ , differentia inversorvm est prodvctvm nvmeri $y - x$ per inversvm nvmeri $xy$ , vtroqve positivo. Inversa dvorvm positivorvm svmere eorvm ordinem invertit.

Ex his regvlis aliae conseqvvntvr qvibvs assidve vtimvr. Dvae inaeqvalitates eivsdem sensvs addi possvnt: si $a < b$ et $c < d$ , tvm $a + c < b + c < b + d$ . Dvae inaeqvalitates inter nvmeros non negativos mvltiplicari possvnt: si $0 \leq a \leq b$ et $0 \leq c \leq d$ , tvm $ac \leq bc \leq bd$ . Contra, membrvm membro svbtrahi avt dividi non possvnt, nec mvltiplicari si aliqvod membrvm negativvm est, vt problema solvtvm 1 ostendit. Deniqve inter nvmeros non negativos qvadrare ordinem servat et reddit, vt in lectione de generibvs nvmerorvm pro potentiis demonstratvm est:

0 \leq p \wedge 0 \leq q \rightarrow \left(p < q \leftrightarrow p^2 < q^2\right)

Densitas rationalivm in recta

Axioma completvdinis, in lectione de generibvs nvmerorvm envntiatvm, affirmat omnem copiam non vacvam realivm svpra circvmscriptam svpremvm habere, id est minimvm marginem svperiorem. In lectione de expressione decimali nvmerorvm rationalivm ex eo dedvcta est proprietas Archimedea: pro omni reali exsistit natvralis eo maior, ita vt pvncta $1, 2, 3, \ldots$ per rectam sine vllo margine progrediantvr. Inde seqvitvr forma qva saepe vtimvr: si $h > 0$ et $x$ qvilibet realis est, exsistit natvralis $n$ maior qvam $\frac{x}{h}$ , et mvltiplicando per $h$ , qvi positivvs est, prodit $nh > x$ . Geometrice segmentvm, qvamvis parvvm, satis saepe repetitvm qvodlibet alivd svperat; sic ea vsvs est Archimedes, a qvo nomen accipit.

h > 0 \rightarrow (\forall x \in \mathbb{R})(\exists n \in \mathbb{N})(nh > x)

In lectione de nvmeris rationalibvs demonstratvm est inter dvos rationales diversos infinitos rationales esse. Proprietate Archimedea aliqvid fortivs demonstrari potest, id qvod lectio de generibvs nvmerorvm admissvm reliqvit: rationales per totam rectam realem sparsi svnt, neqve vllvm intervallvm, qvamvis breve, exstat qvod nvllvm contineat.

TheoremaDensitas rationalivm in recta reali

Inter dvos reales diversos semper est nvmervs rationalis: si $x < y$ , exsistit rationalis $q$ talis vt $x < q < y$ . Consilivm est intervallvm inter $x$ et $y$ amplificare donec eivs longitvdo $1$ svperet, ita vt integrvm contineat, deinde id redvcere. Figvra intervallvm originale svpra et amplificatvm infra ostendit.

Demonstratio

$\dato{n}{ny > nx + 1}$
Proprietate Archimedea, ad $h = y - x > 0$ adhibita, exsistit natvralis $n$ talis vt $n(y - x) > 1$ : $n$ vicibvs amplificatvm, intervallvm plvs qvam vnitatem metitvr.
$\dato{m}{m - 1 \leq nx < m}$
Sit $m$ minimvs integer maior qvam $nx$ . Exsistit: proprietate Archimedea est natvralis $k$ cvm $k > -nx$ , ita vt $nx + k > 0$ ; copia natvralivm maiorvm qvam $nx + k$ non est vacva, rvrsvs proprietate Archimedea, et principio bonae ordinationis minimvm elementvm $j$ habet. Integer $m = j - k$ maior est qvam $nx$ , $m - 1$ vero non, qvia $j - 1$ avt nvllvs est avt natvralis qvi $nx + k$ non svperat.
$nx < m \leq \resaltar{nx + 1} < ny$
Addendo $1$ ad primam inaeqvalitatem eamqve cvm ea primi gradvs conivngendo, integer $m$ stricte inter $nx$ et $ny$ iacet.
$x < \resaltar{\frac{m}{n}} < y$
Dividendo per $n$ , qvi positivvs est, inaeqvalitates servantvr: qvotiens nvmeri $m$ per $n$ , qvi rationalis est, inter $x$ et $y$ iacet.

Rvrsvs ad intervallvm inter $x$ et rationalem inventvm adhibitvm, theorema alivm rationalem praebet, et sic deinceps: inter dvos reales diversos infiniti rationales svnt. Idem de irrationalibvs valet, vt in problemate proposito 4 demonstrandvm est. Rationales igitvr et irrationales per totam rectam permixti svnt, qvamvis eorvm expressiones decimales tam diversae natvrae sint.

Exsistentia radicvm

In lectione de generibvs nvmerorvm radix $n$ -ta principalis realis non negativi $a$ definita est vt vnicvs realis non negativvs cvivs potentia $n$ -ta est $a$ ; ibi vnicitas demonstrata est et exsistentia admissa relicta, qvia eivs demonstratio argvmentvm cvm svpremis postvlat. Completvdine et regvlis ordinis id argvmentvm nvnc dari potest. Vtimvr margine differentiae dvarvm potentiarvm: si $0 \leq c \leq b$ , prodvcto seqventi evolvto termini medii se invicem tollvnt, vt in svmma progressionis geometricae, et qvodqve ex $n$ addendis secvndi factoris est svmmvm $b^{n - 1}$ .

b^n - c^n = (b - c)\left(b^{n - 1} + b^{n - 2} c + \cdots + c^{n - 1}\right) \leq (b - c) \cdot n b^{n - 1}

TheoremaExsistentia radicis

n

-tae

Sit $n \geq 2$ natvralis. Pro omni reali $a \geq 0$ exsistit realis $s \geq 0$ talis vt $s^n = a$ . Si $a = 0$ , satis est svmere $s = 0$ ; in seqventibvs, $a > 0$ . Radix qvaesita vt svpremvm nvmerorvm non negativorvm obtinetvr qvorvm potentia $n$ -ta nvmervm $a$ non svperat, et dvae inaeqvalitates strictae seorsvm exclvdvntvr. Figvra cvrvam $y = x^n$ et rectam altitvdinis $a$ delineat: copia $S$ est intervallvm axis svb ea cvrvae portione qvae svpra rectam non ascendit, et qvaeqve svppositio falsa de $s$ pvncto refellitvr qvod in latere falso cadit.

Demonstratio

$x > 1 + a \rightarrow x^n \geq x > a$
Copia $S$ realivm non negativorvm qvorvm potentia $n$ -ta nvmervm $a$ non svperat continet $0$ . Margine $1 + a$ circvmscribitvr: si $x > 1 + a$ , tvm $x > 1$ , et eivs potentia est saltem $x$ , qvi iam $a$ svperat.
$\dato{s}{x \in S \rightarrow x \leq s}$
Completvdine $S$ svpremvm $s$ habet, qvod non negativvm est qvia $0$ ad $S$ pertinet.
$\dato{h}{h = \frac{a - s^n}{a + n(s + 1)^{n - 1}}}$
Ponamvs $s^n < a$ . Svmimvs nvmervm $h$ positivvm et minorem qvam $1$ , qvia eivs nvmerator minor est qvam denominator.
$(s + h)^n - s^n \leq h \cdot n(s + 1)^{n - 1} \leq \resaltar{a - s^n}$
Margine differentiae potentiarvm, cvm $b = s + h \leq s + 1$ et $c = s$ , potentia nvmeri $s + h$ non svperat $a$ ; itaqve $s + h$ ad $S$ pertinet et maior est qvam eivs svpremvm, qvod fieri non potest.
$\dato{k}{h = \frac{s^n - a}{n s^{n - 1}}}$
Ponamvs $s^n > a$ . Tvm $s > 0$ , et svmimvs alivm nvmervm $h$ , positivvm et minorem qvam $s$ , qvia $h \cdot n s^{n - 1} = s^n - a < s^n \leq n s^n$ .
$s^n - (s - h)^n \leq h \cdot n s^{n - 1} = \resaltar{s^n - a}$
Cvm $b = s$ et $c = s - h$ , margo praebet potentiam nvmeri $s - h$ esse saltem $a$ .
$x \in S \rightarrow x \leq s - h < s$
Si aliqvis $x$ copiae $S$ maior esset qvam $s - h$ , conservatione ordinis potentiarvm haberetvr $x^n > (s - h)^n \geq a$ , contra definitionem copiae $S$ . Ita $s - h$ esset margo svperior copiae $S$ minor qvam $s$ , qvod fieri non potest.
$s^n = a$
Trichotomia sola aeqvalitas relinqvitvr: $s$ est radix $n$ -ta principalis nvmeri $a$ , vnica ex eo qvod in lectione de generibvs nvmerorvm demonstratvm est.

Hoc theoremate et densitate rationalivm etiam ea identificatio perficitvr qvam lectio de generibvs nvmerorvm admissam reliqvit: svpremvm copiae $A$ rationalivm qvorvm qvadratvm minvs est qvam $2$ est $\sqrt{2}$ . Etenim $\sqrt{2}$ margo svperior est copiae $A$ , qvia si rationalis $x$ maior esset qvam $\sqrt{2}$ , positivvs esset et eivs qvadratvm svperaret $2$ . Neqve vllvs margo minor svfficit: si $u < \sqrt{2}$ , densitas, ad intervallvm adhibita qvod a maiore nvmerorvm $u$ et $0$ vsqve ad $\sqrt{2}$ pertinet, rationalem $q$ praebet cvm $0 < q < \sqrt{2}$ et $u < q$ ; eivs qvadratvm minvs est qvam $2$ , qvia inter non negativos potentiae ordinem servant, ita vt $q$ ad $A$ pertineat et $u$ svperet.