실변수 함수의 극한

극한의 생각

대수와 기하는 함수가 각 점에서 갖는 값을 연구하고, 미적분학은 여기에 더해, 변수가 한 점에 가까워질 때 함수의 값에 무슨 일이 일어나는지를, 그 점에서 함수가 정의되지 않더라도 연구한다. 이 필요는 오래되었다. 곡선 위의 두 점을 잇는 직선의 기울기는 차분몫으로 계산된다. 접선의 기울기는 두 점이 겹칠 때 이 몫의 값이어야 하겠지만, 그때 몫은 $\frac{0}{0}$의 꼴이 되고, 이것은 수가 아니다. 마찬가지로, 움직이는 물체의 평균속도는 이동한 거리를 걸린 시간으로 나눈 몫이고, 한 순간의 속도는 걸린 시간이 없어질 만큼 줄어들 때 이 몫이 이르게 되는 값이다. 두 경우 모두, 함수가 정의되지 않는 점 근처에서 함수의 값을 묻는다.

간단한 예가 이 상황을 보여 준다. 아래의 함수는 $x = 1$에서 정의되지 않는데, 거기서 분모가 0이 되기 때문이다. 그러나 $1$에 가까운 점들에서의 값은 $2$에 가깝다.

그 까닭은, $x \neq 1$일 때 분자가 $(x - 1)(x + 1)$의 꼴로 인수분해되고 몫이 $x + 1$과 같아지기 때문이다. $f$의 그래프는 직선 $y = x + 1$에서 점 $(1, 2)$에 구멍이 뚫린 것이다. 이때 $f$의 극한($x$가 $1$로 갈 때의)은 $2$이라고 하고, 이렇게 쓴다.

그런데 「값이 $2$에 가까워진다」는 말은 두 가지 이유로 정의가 되지 못한다. 첫째, 가까워지는 것만으로는 충분하지 않다. $x$의 값이 $0.9$에서 $0.99$로 옮겨 갈 때, $f$의 값은 $3$에도 가까워진다. $1.99$의 값이 $3$에, $1.9$의 값보다 더 가깝기 때문이다. 그런데도 $3$의 값은 극한이 아니다. $2$의 값을 특별하게 만드는 것은, $f$의 값이 그것에 원하는 만큼 가깝게 된다는 점이지, 단지 전보다 더 가까워진다는 점이 아니다. 둘째, 표는 유한 개의 점만 살피는데, 함수는 그 점들 사이에서 다르게 행동할 수 있다. 함수 $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$의 값은 $0$이고, 이는 $x = 0.1$에서도, $x = 0.01$에서도, 그리고 꼴이 $\frac{1}{n}$인 모든 점에서도 그렇다. 그런데도 이 함수는 $0$에서 극한을 갖지 않는데, 그 점들 사이에서 $-1$에서 $1$까지 진동하기 때문이다. 연습 문제 3은 같은 논증으로 이것을 $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$에 대해 증명한다. 그렇다면 정의는 가까운 모든 점에 대해 동시에 말해야 하고, 「원하는 만큼 가깝게」가 무엇을 뜻하는지 수로 정해야 한다. 이를 위한 도구는 거리를 재는 절댓값과 삼각부등식이며, 이것들은 실수 직선에 관한 수업에서 공부했다.

집적점

극한을 정의하기 전에, 어떤 점에서 극한을 묻는 것이 의미가 있는지 분명히 해야 한다. 점 $a$의 경우 함수의 정의역에 속할 필요는 없으며, 방금 본 예가 그것을 보여 준다. 그러나 정의역의 점들이 $a$에 원하는 만큼 가까이 있어야 한다. 그렇지 않으면 관찰할 함수의 값이 없을 것이기 때문이다.

예를 들어, $1$은 $\mathbb{R} \setminus \{1\}$(예의 함수의 정의역)의 집적점이지만, 그 집합에 속하지는 않는다. 닫힌구간 $\icc{0}{1}$의 모든 점은 열린구간 $\ioo{0}{1}$의 집적점이며, 끝점도 포함된다. $0$은 수 $\frac{1}{n}$($n$은 자연수)의 집합의 집적점이다. 아르키메데스 성질에 의해, 모든 $\delta > 0$에 대해 자연수 $n$이 존재하여 $\frac{1}{n} < \delta$이 되기 때문이다. 반면에 집합 $\mathbb{N}$에는 집적점이 없다. 중심이 $a$이고 반지름이 $\frac{1}{2}$인 구간은 자연수를 많아야 하나, 곧 $m$만 포함한다. $m = a$이면 $a$와 다른 자연수를 하나도 포함하지 않고, $m \neq a$이면 반지름이 $\abs{m - a}$인 구간은 더 이상 자연수를 하나도 포함하지 않는다. 조건 $0 < \abs{x - a}$는 본질적이다. 그것이 없으면 $A$의 모든 원소가 $A$의 집적점이 될 것이다. 중심이 $a$인 모든 구간은 $a$ 자신을 포함하기 때문이다.

극한의 정의

이 개념들로 정의를 줄 수 있다. 「$f(x)$의 값이 $L$에 원하는 만큼 가깝다」는 말은 이렇게 옮겨진다. 각 거리 $\varepsilon > 0$에 대해, 아무리 작더라도, $f$의 값은 $\varepsilon$ 미만의 거리로 $L$에 가깝다. 단, $x$의 값이 $a$에 충분히 가까울 때, 곧 어떤 거리 $\delta > 0$ 미만의 거리에 있고 $a$와 같지 않을 때이다.

기하학적으로, 조건 $\abs{f(x) - L} < \varepsilon$은 그래프 위의 점 $(x, f(x))$가 직선 $y = L - \varepsilon$과 $y = L + \varepsilon$ 사이의 수평 띠에 있다는 것을 말한다. 조건 $0 < \abs{x - a} < \delta$는 $x$의 값이 중심이 $a$이고 반지름이 $\delta$인 구간에 있으며, 그 중심은 아니라는 것을 말한다. 정의는 두 사람 사이의 게임으로 읽을 수 있다. 첫 번째 사람이 $\varepsilon$을 제시하는데, 이것은 $L$ 둘레의 띠의 반지름이며, 띠는 원하는 만큼 좁아도 된다. 두 번째 사람은 $\delta$로 응해야 하는데, 그 값은 반지름이 $\delta$인 구멍 뚫린 근방 위에 있는 그래프의 부분이 띠 안에 머물게 하는 값이어야 한다. 두 번째 사람이 모든 도전에 응할 수 있으면, 극한은 $L$이다.

이 예는 염두에 둘 만한 정의의 세 가지 특징을 보여 준다. 첫째, $\delta$의 값은 $\varepsilon$에 의존하며, 일반적으로는 점 $a$에도 의존한다. 어떤 $\delta$가 한 도전에 응하면, 그보다 작은 양수는 모두 응하므로, 하나를 찾으면 충분하고 가장 큰 것은 필요하지 않다. 둘째, $a$에서의 함수의 값은, 존재하더라도 관여하지 않는다. 조건 $0 < \abs{x - a}$이 그것을 제외하며, 그래서 $g$의 $1$에서의 극한은 $1$이다. $g(1)$의 값이 $\frac{5}{2}$이더라도 그렇다. 셋째, 정의역의 $x$만 고려되고, 나머지는 살피지 않는다.

이 예의 방법이 일반적인 방법이다. $\abs{f(x) - L}$의 식을 인수 $\abs{x - a}$가 나타나도록 쓰고, 나머지를 위에서 누른다. 나머지가 상수가 아닐 때는, $\delta$의 값을 미리 고정된 값으로 제한하여 누른다. 예를 들어 $\delta \leq 1$로 한다. 이것이 아래 예의 기법이다.

이 수업 처음의 극한도 같은 방식으로 증명되며, 앞으로 자주 쓸 관찰이 함께 따른다. 정의는 점 $a$를 살피지 않으므로, $f$의 식을 간단히 해도 된다. 단, $a$와 다른 점들에서이다. $x \neq 1$일 때 몫 $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$은 $x + 1$과 같고, 따라서 $\abs{f(x) - 2} = \abs{x - 1}$이다. $\delta = \varepsilon$이 응한다. 인수 $x - 1$을 약분하는 것이 정당한 것은, 정의에서 $x$의 값이 결코 $1$이 되지 않기 때문이다.

양화사가 있는 진술로서의 정의

극한의 정의는 번갈아 나오는 세 양화사를 가진 진술이다. 모든 $\varepsilon$에 대해, 어떤 $\delta$가 존재하여, 모든 $x$에 대해, 라는 꼴이다. 그 논리 구조는 술어 논리가 연구하는 진술의 구조이며, 그것을 다룰 줄 아는 것이 극한을 다루는 일의 절반이다. 여기서 두 가지 귀결이 나온다.

첫째는 양화사의 순서가 중요하다는 것이다. 정의에서 $\delta$의 값은 $\varepsilon$의 값을 안 뒤에 택해지므로, 그것에 의존할 수 있다. 만약 먼저 $(\exists \delta > 0)$을 쓰고 그 뒤에 $(\forall \varepsilon > 0)$를 쓴다면, 같은 하나의 $\delta$가 모든 $\varepsilon$에 동시에 통해야 하며, 이것은 훨씬 강한 주장이다. 연습 문제 4는 그것의 특징을 밝히라고 요구한다.

둘째는 정의의 부정이 양화사의 부정 규칙으로 얻어진다는 것이다. 「모든」의 부정은 「어떤 …이 존재하여 … 아니다」이고, 「존재한다」의 부정은 「모든 …에 대해 … 아니다」이다. 이렇게 하여 $L$의 값이 극한이 아니라는 것이 무슨 뜻인지 얻어진다.

게임의 말로 하면, $L$의 값이 극한이 아닌 것은 첫 번째 사람이 어떤 응답도 통하지 않는 도전을 가지고 있을 때이다. 제시된 $\delta$의 값이 아무리 작아도, 구멍 뚫린 근방의 점 가운데 그 값이 띠를 벗어나는 것이 있다. 함수가 $a$에서 극한을 갖지 않음을 증명하려면, 어떤 실수 $L$도 극한이 아님을 보여야 하며, 예제 4에서 그렇게 한다.

기본 성질

기호 $\lim_{x \to a} f(x) = L$은 마치 하나뿐인 수인 것처럼 그 극한에 대해 말한다. 이것은 증명을 필요로 한다. 곧 서로 다른 두 수가 동시에 정의를 만족할 수 없다는 증명이다. 여기서 $a$의 값이 정의역의 집적점이어야 한다는 요구가 작용한다. 그렇지 않다면 어떤 $\delta_0 > 0$이 존재하여, 정의역의 어떤 $x$도 $0 < \abs{x - a} < \delta_0$를 만족하지 않을 것이다. 언제나 이 $\delta_0$으로 응하면, 정의의 함언은 모든 $L$에 대해 참이 될 것이다. 그 전건이 결코 성립하지 않기 때문이다. 그러면 모든 수가 극한이 될 것이다.

아래의 보조정리는 몫 $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$을 간단히 할 수 있게 해 준 관찰을 정식화한다. $a$에서의 극한은 $a$ 근처에서의 함수의 값에만 의존하고, $a$에서 갖는 값에도, 그 점에서 먼 값에도 의존하지 않는다.

아래의 두 성질은 극한이 그 점 근처에서 함수에 조건을 부과한다는 것을 말한다. 첫째는 함수가 유계로 남게 하고, 둘째는 극한이 0이 아닐 때 함수가 극한의 부호를 갖게 한다. 둘 다 미리 택한 $\varepsilon$으로 정의를 적용하여 얻어지며, 극한의 연산 법칙에 관한 수업에서 곱과 몫의 법칙을 증명하는 도구가 될 것이다.

정의를 이용하면 어떤 극한의 값도 증명할 수 있지만, 함수가 복잡해질수록 일이 늘어난다. 극한의 연산 법칙에 관한 수업은 이 수업을 바탕으로 합, 곱, 몫, 거듭제곱, 근호의 법칙을 증명하며, 이 법칙들을 쓰면 매번 $\delta$를 다시 찾지 않고도 대부분의 극한을 계산할 수 있다.

예제

문제들은 난이도 순으로 나아간다. 처음 셋은 다항식, 근호, 몫에 대해 $\delta$를 구성하며, 각각 $\abs{x - a}$에 딸린 인수를 위에서 누르는 자기만의 방법을 가진다. 넷째는 정의의 부정을 이용하여 극한이 존재하지 않음을 증명한다. 마지막 문제는 주어진 도전에 응하는 가장 큰 $\delta$를 찾는다.

연습 문제

문제들은 난이도 순으로 나아간다. 처음 둘은 다른 다항식으로 반지름을 제한하는 기법을 되풀이한다. 셋째는 진동하는 함수에 정의의 부정을 적용한다. 넷째는 양화사의 순서를 바꾸면 무슨 일이 일어나는지 살핀다. 마지막 문제는 단 한 점에서만 극한을 갖는 함수를 연구한다. 각 문제에는 힌트가 있으며, 스스로 시도해 본 뒤에만 여는 것이 좋다.