실계수 다항식의 대수

다항식

변수 $x$에 대한 실계수 다항식은 아래 꼴의 식이다. 여기서 $n$은 자연수 또는 영이고, 계수 $a_0, a_1, \ldots, a_n$은 실수이다:

합의 각 부분 $a_i x^i$을 항이라 하고, $a_0$을 상수항이라 한다. 각 다항식은 하나의 함수를 정의한다: 각 실수 $x$에 수 $P(x)$를 대응시키는 함수로, 이 수는 식에서 변수를 $x$로 바꾸어 얻는다. 이렇게 얻는 함수를 다항함수라 하며, 가장 간단한 대수함수로서 대수 함수에 관한 수업에서 소개하였다.

두 다항식은, 한쪽에 없는 거듭제곱을 계수 영으로 채운 뒤 거듭제곱마다 같은 계수를 가질 때 같다고 한다. 따라서 $1 + 0x + 3x^2$과 $1 + 3x^2$은 같은 다항식이다. 모든 계수가 영인 다항식을 영다항식이라 한다.

영이 아닌 다항식의 차수는 계수가 영이 아닌 지수 중 가장 큰 것이며, 그 계수를 최고차항의 계수라 한다. 예를 들어 $P(x) = 3 - x + 5x^4$의 차수는 $4$, 최고차항의 계수는 $5$이며, $\deg(P) = 4$로 쓴다. 영다항식은 차수가 없다. 영이 아닌 계수를 하나도 갖지 않기 때문이다. 차수와 최고차항의 계수는 계수에서 읽히고, 같은 두 다항식은 같은 계수를 가지므로, 둘 다 잘 정의된다.

그런데 다항식은 거의 언제나 그것이 정의하는 함수를 통해 쓰이므로, 서로 다른 두 다항식이 같은 함수를 정의할 수 있는지 묻게 된다. 만약 그렇다면 다항함수의 차수는 잘 정의되지 않을 것이다. 근의 개수를 다루는 부분에서 증명하는 항등식의 성질은 그렇지 않다고 답한다: 두 다항식이 같은 함수를 정의할 필요충분조건은 두 다항식이 같은 것이다. 그때까지는 다항식에 대해 말하는 모든 것, 특히 그 차수에 대해 말하는 것은 계수에 관한 것이므로, 이 성질보다 앞선 어떤 증명도 이 성질에 의존하지 않는다. 그 뒤로는 각 다항식을 그 함수와 동일시할 수 있으며, 다항함수 사이의 등식에서 계수를 비교하는 것이 정당화된다. 예제 5에서 그렇게 한다.

분류

다항식은 먼저 차수에 따라 분류된다:

1. 상수: 차수가 $0$인 것으로, $P(x) = c$(단, $c \neq 0$) 꼴인 것과 영다항식.
2. 일차식, 차수 $1$: $P(x) = a_0 + a_1 x$, 단 $a_1 \neq 0$.
3. 이차식은 차수 $2$, 삼차식은 차수 $3$인 것이다. 더 높은 차수의 것은 그 수로 부른다: 차수 $4$, 차수 $5$ 등.

영이 아닌 항의 개수에 따라, 다항식은 항이 하나이면 단항식, 둘이면 이항식, 셋이면 삼항식이라 한다.