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Topos Uranos
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삼각비와 단위원

요약

이 수업에서는 각의 사인, 코사인, 탄젠트를 두 가지 방식으로 정의한다. 첫째는 직각삼각형의 변의 비로서의 정의로, 예각에 대하여 성립하며, 택한 삼각형에 의존하지 않음을 닮음으로 증명한다. 둘째는 각의 동경이 단위원과 만나는 점의 좌표로서의 정의로, 모든 실수에 대하여 성립하며, 예각에서는 첫째 정의와 일치한다. 둘째 정의로부터 각 사분면에서의 부호, 피타고라스 항등식, π6\frac{\pi}{6}, π4\frac{\pi}{4}, π3\frac{\pi}{3}이라는 특수각의 값(정삼각형의 절반과 정사각형의 절반에서 얻는다), 그리고 사인과 코사인의 대칭성(원 위에서 점을 대칭이동하여 증명하며, 임의의 각의 삼각비를 그 기준각을 통해 계산할 수 있게 한다)이 유도된다.

학습 목표

  1. 직각삼각형에서 예각의 여섯 가지 삼각비를 정의하고, 그것들이 삼각형에 의존하지 않음을 닮음으로 증명한다.
  2. 단위원을 이용하여 임의의 각의 사인, 코사인과 나머지 삼각비를 정의하고, 탄젠트를 동경의 기울기로 인식하며, 두 정의가 예각에서 일치함을 증명한다.
  3. 피타고라스 항등식, 특수각의 값, 사인과 코사인의 대칭성을 증명하고, 이것들을 이용하여 기준각 방법으로 임의의 각의 삼각비를 계산한다.
  4. 하나의 삼각비와 사분면으로부터 각의 모든 삼각비를 구하고, 삼각비를 높이, 거리, 넓이의 문제에 응용한다.

예각의 삼각비

직각삼각형에서 직각과 마주 보는 변을 빗변이라 하고, 나머지 두 변을 직각을 낀 변이라 한다. 삼각형의 내각의 합은 하나의 평각이며, 그 크기는 π\pi이다. 이 초등기하학의 사실은 각과 그 측정에 관한 수업에서 받아들였다. 그렇다면 직각삼각형에서 직각이 아닌 두 각의 합은 π2\frac{\pi}{2}이고, 그 각각은 예각, 즉 크기가 00과 π2\frac{\pi}{2} 사이에 있는 각이다. 이 예각들 중 하나(크기 α\alpha)에 대하여, 직각을 낀 변의 한쪽은 대변으로 그 꼭짓점을 지나지 않고, 다른 쪽은 이웃변으로 빗변과 함께 그 각의 두 변을 이룬다.

α\alpha가 빗변이 cc인 직각삼각형의 예각이고, α\alpha의 대변의 길이가 aa, 이웃변의 길이가 bb라 하자. α\alpha의 사인, 코사인, 탄젠트는 각각 대변과 빗변의 비, 이웃변과 빗변의 비, 대변과 이웃변의 비이다.
sin⁡α=ac,cos⁡α=bc,tan⁡α=ab\sin \alpha = \frac{a}{c}, \qquad \cos \alpha = \frac{b}{c}, \qquad \tan \alpha = \frac{a}{b}

이것들의 역수를 코시컨트, 시컨트, 코탄젠트라 한다: csc⁡α=ca\csc \alpha = \frac{c}{a}, sec⁡α=cb\sec \alpha = \frac{c}{b}, cot⁡α=ba\cot \alpha = \frac{b}{a}. 이 여섯 가지를 삼각비라 한다. 삼각형의 변 사이의 비, 즉 몫이기 때문이다. 그런데 이 정의에는 한 가지 의문이 생긴다. 크기가 α\alpha인 예각을 가진 직각삼각형은 크고 작은 것이 무수히 많으며, 만약 각각이 서로 다른 몫을 준다면 “α\alpha의 사인”이라는 말은 어떤 수도 나타내지 못할 것이다. 이어지는 정리가 이 의문을 해소한다.

정리삼각비는 삼각형에 의존하지 않는다

두 직각삼각형이 같은 크기 α\alpha의 예각을 가지면, 첫째 삼각형의 임의의 두 변의 비는 둘째 삼각형의 대응하는 두 변의 비와 같다. 따라서 α\alpha의 사인, 코사인, 탄젠트와 그 역수들은 α\alpha에만 의존한다. 또한 0<sin⁡α<10 < \sin \alpha < 1이고 0<cos⁡α<10 < \cos \alpha < 1이다.

예각 α\alpha를 가진 두 직각삼각형을 생각하자. 첫째는 직각을 낀 변이 a1a_1과 b1b_1, 빗변이 c1c_1이고, 둘째는 직각을 낀 변이 a2a_2와 b2b_2, 빗변이 c2c_2이며, 여기서 a1a_1과 a2a_2는 α\alpha의 대변이다. 초등기하학의 삼각형의 닮음 조건을 받아들인다. 이는 강좌 I의 직선의 방정식에 관한 수업에서 기울기가 택한 점에 의존하지 않음을 보장한 것과 같은 조건이다.

증명

  1. a2=ka1,b2=kb1,c2=kc1\dato{k}{a_2 = k a_1, \quad b_2 = k b_1, \quad c_2 = k c_1}

    두 삼각형은 두 각, 즉 직각과 크기 α\alpha의 각이 같다. 두 각에 의한 닮음 조건에 따라 두 삼각형은 닮음이고, 대응하는 변은 비례한다: 어떤 수 k>0k > 0가 존재하여, 둘째 삼각형의 각 변은 첫째 삼각형의 대응하는 변의 kk배이다.

  2. a2c2=ka1kc1=a1c1\frac{a_2}{c_2} = \frac{\resaltar{k a_1}}{\resaltar{k c_1}} = \resaltar{\frac{a_1}{c_1}}

    대변과 빗변의 비는 두 삼각형에서 같다. 인수 kk가 약분되기 때문이다.

  3. b2c2=kb1kc1=b1c1\frac{b_2}{c_2} = \frac{\resaltar{k b_1}}{\resaltar{k c_1}} = \resaltar{\frac{b_1}{c_1}}

    이웃변과 빗변의 비도 마찬가지이다.

  4. a2b2=ka1kb1=a1b1\frac{a_2}{b_2} = \frac{\resaltar{k a_1}}{\resaltar{k b_1}} = \resaltar{\frac{a_1}{b_1}}

    직각을 낀 두 변의 비도 마찬가지이다. 따라서 사인, 코사인, 탄젠트, 그리고 그와 함께 그 역수들은 두 삼각형에서 같은 값을 갖는다: 그것들은 α\alpha에만 의존한다.

  5. c2=a2+b2→0<ac<1,0<bc<1c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow 0 < \frac{a}{c} < 1, \quad 0 < \frac{b}{c} < 1

    피타고라스 정리에 의해 빗변의 제곱은 직각을 낀 두 변의 제곱의 합이고, 그 각각보다 크다: 빗변은 직각을 낀 각 변보다 길며, 빗변에 대한 두 비는 00과 11 사이에 있다.

이 정리에 의해 각의 삼각비는 그 각을 포함하는 어떤 직각삼각형으로도 계산할 수 있고, 가장 편리한 것을 고를 수 있다. 특히 한 예각의 대변은 다른 예각의 이웃변이며, 이로부터 합이 π2\frac{\pi}{2}인 두 각(서로 여각이라 한다)의 삼각비 사이의 관계가 나온다.

예시두 예각의 삼각비

직각을 낀 변이 33과 44인 직각삼각형에서, α\alpha를 변 33에 마주 보는 각, β\beta를 변 44에 마주 보는 각이라 하자. 그 삼각비를 구하고 비교하여라.

증명

  1. c=32+42=25=5c = \sqrt{\resaltar{3^2 + 4^2}} = \sqrt{25} = \resaltar{5}

    피타고라스 정리에 의해 빗변의 길이는 55이다.

  2. sin⁡α=35,cos⁡α=45,tan⁡α=34\dato{a}{\sin \alpha = \frac{3}{5}, \quad \cos \alpha = \frac{4}{5}, \quad \tan \alpha = \frac{3}{4}}

    α\alpha에 대하여 대변은 33, 이웃변은 44이다.

  3. sin⁡β=45,cos⁡β=35,tan⁡β=43\dato{b}{\sin \beta = \frac{4}{5}, \quad \cos \beta = \frac{3}{5}, \quad \tan \beta = \frac{4}{3}}

    β\beta에 대하여 두 변의 역할이 바뀐다: 대변은 44, 이웃변은 33이다.

  4. sin⁡β=cos⁡α,cos⁡β=sin⁡α,tan⁡β=1tan⁡α=cot⁡α\sin \beta = \cos \alpha, \quad \cos \beta = \sin \alpha, \quad \tan \beta = \frac{1}{\tan \alpha} = \cot \alpha

    α+β=π2\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}이므로 각 각의 사인은 다른 각의 코사인이고, 각 각의 탄젠트는 다른 각의 코탄젠트이다. 모든 직각삼각형에서 마찬가지이다. 변의 역할이 바뀌는 것은 그 길이에 의존하지 않기 때문이다.

이름은 여기서 유래한다: 코사인은 여각의 사인, 코탄젠트는 여각의 탄젠트, 코시컨트는 여각의 시컨트이다.