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Topos Uranos
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복소수를 이용한 기하

요약

이 수업에서는 복소수를 평면의 좌표로 사용하여 초등 기하의 개념을 대수적 연산으로 옮긴다. 거리는 차의 절댓값이고, 중점과 무게중심은 평균이며, 평면의 운동은 짧은 식이다. R(z)=c+eiφ(z−c)R(z) = c + e^{i\varphi}(z - c) 식이 회전(중심 cc, 각 φ\varphi)임을, 원점을 지나는 직선(각 α\alpha)에 대한 대칭이동이 S(z)=e2iαz‾S(z) = e^{2i\alpha}\conj{z} 식임을, 두 대칭이동의 합성이 회전임을 증명한다. 공선과 수직을 몫으로 특징짓고, 삼각형의 향을 그 몫의 허수부분의 부호로 정의하며, 세 점이 정삼각형을 이룰 필요충분조건이 z1+ωz2+ω2z3=0z_1 + \omega z_2 + \omega^2 z_3 = 0 식(단, ω=e2πi3\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}})임을 증명하고, 두 고정점까지의 거리가 일정한 비를 유지하는 점들이 원, 곧 아폴로니오스의 원을 이룸을 증명한다. 문제들은 나폴레옹 정리로 마무리된다.

학습 목표

  1. 점, 거리, 중점, 무게중심을 복소수로 나타내고, 평행이동, 회전, 위치닮음변환, 대칭이동을 하나의 복소변수의 함수로 표현한다.
  2. 한 점을 중심으로 하는 회전의 공식과 직선에 대한 대칭이동의 공식을 증명하고, 대칭이동의 합성과 회전의 합성을 탐구한다.
  3. 두 차의 몫으로 두 선분의 공선, 수직, 사잇각을 판정하고, 그 몫의 허수부분의 부호로 삼각형의 향을 결정하며, 1의 세제곱근 ω\omega 값으로 정삼각형을 특징짓는다.
  4. 절댓값으로 원을 기술하고, 아폴로니오스의 원 정리를 증명하며, 이 도구들을 나폴레옹과 반 오벨의 문제 같은 고전적인 문제에 사용한다.

점, 거리, 중심

강좌 대수학과 기하학 I의 복소수에 관한 수업 이래로, 각 복소수 z=a+biz = a + bi 식은 평면의 점 (a,b)(a, b) 좌표와 동일시되고, 차 z−wz - w 식은 점 ww에서 점 zz까지 가는 벡터이다. 피타고라스 정리에 의해 두 점 사이의 거리는 ∣z−w∣\abs{z - w} 값이다. 이 수업에서는 관점이 뒤집힌다. 평면을 통해 수를 연구하는 것이 아니라, 수를 통해 평면을 연구한다. 도형은 그 점들의 복소수로 기술되고, 기하학적 성질은 그것들 사이의 등식으로 기술된다.

주된 도구는 복소지수함수와 오일러 공식에 관한 수업의 복소지수함수이다. 모든 실수 φ\varphi 값에 대하여, 수 eiφe^{i\varphi} 값은 반지름 11인 원 위의 점으로서 편각이 φ\varphi인 점이며, 아래의 성질들을 만족한다. 마지막 성질은 cos⁡(−φ)=cos⁡φ\cos(-\varphi) = \cos \varphi 식과 sin⁡(−φ)=−sin⁡φ\sin(-\varphi) = -\sin \varphi 식이 성립하기 때문이다.

eiφ=cos⁡φ+isin⁡φ,∣eiφ∣=1,eiαeiβ=ei(α+β),eiφ‾=e−iφe^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi, \qquad \abs{e^{i\varphi}} = 1, \qquad e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)}, \qquad \conj{e^{i\varphi}} = e^{-i\varphi}

복소수의 극형식에 관한 수업에 따르면, 0이 아닌 모든 복소수는 z=reiθz = re^{i\theta} 꼴로 쓰인다. 여기서 r=∣z∣r = \abs{z} 식이 성립하고 θ\theta 값은 zz 수의 편각 중 하나이다. 두 복소수를 곱하면 절댓값은 곱해지고 편각은 더해지며, 나누면 절댓값은 나누어지고 편각은 빼진다. 특히 zz 수에 eiφe^{i\varphi} 값을 곱하면 절댓값은 보존되고 편각은 φ\varphi만큼 커진다. 곧 점 zz 좌표를 원점을 중심으로 각 φ\varphi만큼 회전시키며, 그 방향은 φ>0\varphi > 0 식이 성립하면 시계 반대 방향이다. i=eiπ2i = e^{\frac{i\pi}{2}} 값을 곱하는 것은, 강좌 I의 복소수에 관한 수업에서 사분의 일 회전으로 다루었는데, φ=π2\varphi = \frac{\pi}{2} 식의 경우에 해당한다.

선분 위의 점들도 복소수로 기술된다. 강좌 I의 평면벡터에 관한 수업에 따르면, 직선(z1z_1 점과 z2z_2 점을 지나는 것) 위의 점들은 z1+t(z2−z1)z_1 + t(z_2 - z_1) 꼴의 점들(tt 값은 실수)이고, 그 두 점을 잇는 선분 위의 점들은 0≤t≤10 \leq t \leq 1 범위에 대응한다.

보조정리복소수로 나타낸 중점과 무게중심

선분(양 끝점 z1z_1, z2z_2)의 중점은 반합 m=z1+z22m = \frac{z_1 + z_2}{2} 값이다. 삼각형(꼭짓점 z1z_1, z2z_2, z3z_3)의 세 중선은 점 g=z1+z2+z33g = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3} 위치를 지나는데, 이 점을 무게중심이라 하며, 각 중선 위에서 꼭짓점으로부터 대변의 중점까지 가는 길의 삼분의 이 지점에 있다. 이 보조정리는 강좌 I의 평면벡터에 관한 수업에서 중선에 관한 예제로 벡터를 사용해 증명되었다. 아래의 증명은 이를 복소수로 옮긴다. 그림은 꼭짓점 z1=−2−iz_1 = -2 - i, z2=3−iz_2 = 3 - i, z3=2iz_3 = 2i 점으로 증명을 따라간다.

증명

  1. m=z1+12(z2−z1)=z1+z22\dato{m}{m = z_1 + \resaltar{\frac{1}{2}}(z_2 - z_1) = \resaltar{\frac{z_1 + z_2}{2}}}

    선분 위의 점 가운데 t=12t = \frac{1}{2} 값에 대응하는 점은 양 끝점의 반합이다.

  2. m−z1=z2−z12=z2−m→∣m−z1∣=∣z2−m∣m - z_1 = \resaltar{\frac{z_2 - z_1}{2}} = z_2 - m \rightarrow \resaltar{\abs{m - z_1} = \abs{z_2 - m}}

    이 점은 양 끝점에서 같은 거리에 있다. 이 점과 양 끝점을 잇는 두 벡터가 같기 때문이다. 이것이 중점이다.

  3. z3+23(z1+z22−z3)=z1+z2+z33z_3 + \resaltar{\frac{2}{3}} \left( \frac{z_1 + z_2}{2} - z_3 \right) = \dato{g}{\resaltar{\frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}}}

    중선(z3z_3 점과 대변의 중점을 잇는 것) 위에서 t=23t = \frac{2}{3} 값에 대응하는 점은 아래와 같다.

  4. z1+23(z2+z32−z1)=g=z2+23(z1+z32−z2)z_1 + \frac{2}{3} \left( \frac{z_2 + z_3}{2} - z_1 \right) = \resaltar{g} = z_2 + \frac{2}{3} \left( \frac{z_1 + z_3}{2} - z_2 \right)

    얻은 식은 세 꼭짓점에 대하여 대칭이다. 그렇다면 나머지 두 중선 중 어느 것으로 같은 계산을 해도 같은 점이 나오고, 세 중선 모두 gg 점을 지난다. 그림의 꼭짓점으로는 g=13g = \frac{1}{3} 값이다.

이와 같이 중점은 두 복소수의 평균이고, 무게중심은 세 복소수의 평균이다.