극한과 연속성 · Topos Uranos

요약

이 수업은 극한을 그 첫 구조적 귀결인 연속성으로 이끌며, 이어지는 수업은 이를 모든 초등함수로 넓힌다. 함수가 한 점에서 연속이라는 것은 그 점에서의 값이 가까운 값들이 예고하는 값이라는 뜻이다. 앞 수업들의 극한으로 이 생각은 늘 하던 도전과 응답으로 쓰이며, 차이는 단 하나, 점 자체가 더 이상 제외되지 않는다는 것이다. 이로부터 집적점에서의 연속성은 극한이 존재하고 함숫값과 같다는 것과 동치이고, 연속성의 정리 거의 전부가 새로운 증명 없이 극한의 연산 법칙에서 물려받아진다. 불연속은 제거 가능한 불연속, 도약 불연속, 본질적 불연속으로 분류되고, 제거 가능한 불연속은 연속 확장으로 고친다. 유일하게 새로운 논증은 합성에 관한 것으로, 여기서 연속성은 극한보다 더 많은 일을 한다. 합성함수의 극한 정리가 요구하던 가정을 없애고, 극한을 연속함수 안으로 들여보낼 수 있게 해 준다.

학습 목표

한 점에서의 연속, 한쪽 연속, 구간에서의 연속을 정의하고, 이를 극한과 관련짓는다.
불연속을 제거 가능한 불연속, 도약 불연속, 본질적 불연속으로 분류하고, 제거 가능한 불연속을 가진 함수를 연속 확장한다.
연속함수의 합, 곱, 몫, 거듭제곱근, 합성의 연속성을 증명하고, 이로부터 다항식, 유리함수, 삼각함수의 연속성을 이끌어 낸다.
극한을 연속함수 안으로 들여보내 극한을 계산하고, 단 한 점에서만 연속이거나 어떤 점에서도 연속이 아닌 함수를 조사한다.

정의

실변수 함수의 극한에 관한 수업에서 정의는 점 $a$ 를 일부러 제외했다. 극한은 $a$ 근처에서 일어나는 일을 기술할 뿐 $a$ 에서 일어나는 일을 기술하지 않으며, 함수는 거기서 정의되지 않아도 된다. 연속성은 그 둘을 비교한다. 가까이에서 일어나는 일과 그 점 자체에서 일어나는 일이다.

정의한 점에서 연속인 함수

$f$ 를 집합 $A$ 에서 정의된 함수라 하고, $a$ 를 $A$ 의 원소라 하자. $f$ 가 $a$ 에서 연속이라는 것은, 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대하여 어떤 $\delta > 0$ 이 존재하여 $x$ ( $A$ 의 원소로서 $\abs{x - a} < \delta$ 를 만족하는 것)가 모두 $\abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon$ 도 만족한다는 것이다:

(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon\right)

$f$ 가 $a$ 에서 연속이 아니면, $a$ 에서 불연속이라고 한다. 집합 $S$ ( $A$ 에 포함되는 것)의 모든 점에서 연속이면 $S$ 에서 연속이라고 하고, 정의역 전체에서 연속이면 단순히 연속이라고 한다.

이 정의는 세 가지 점에서 극한의 정의와 다르다. 값들이 가까워져야 할 수는 임의의 $L$ 이 아니라 $f(a)$ 이며, 그래서 $a$ 는 정의역에 속해야 한다. 응답 $\abs{x - a} < \delta$ 는 $x = a$ 를 제외하지 않지만, 그것을 포함해도 아무 부담이 없다. 그 이유는 등식 $\abs{f(a) - f(a)} = 0$ 에 있다. 그리고 $a$ 가 $A$ 의 집적점일 것은 요구되지 않는다. 부정은 극한에 관한 수업에서와 같이 얻는다. $f$ 가 $a$ 에서 불연속인 것은, 어떤 $\varepsilon > 0$ 이 존재하여 모든 $\delta > 0$ 에 대하여 $x$ ( $A$ 의 원소로서 $\abs{x - a} < \delta$ 와 $\abs{f(x) - f(a)} \geq \varepsilon$ 을 만족하는 것)가 있을 때이다.

명제연속성과 극한

$f$ 를 $A$ 에서 정의된 함수라 하고, $a$ 를 $A$ 의 원소라 하자. $a$ 가 $A$ 의 집적점이면, $f$ 가 $a$ 에서 연속일 필요충분조건은 등식 $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ 가 성립하는 것이다. $a$ 가 $A$ 의 고립점이면, $f$ 는 $a$ 에서 연속이다. 두 정의는 점 $a$ 를 제외하면 같은 것을 요구하며, 그 점에서 연속성은 저절로 성립한다. 그림에서 띠는 값 $f(a)$ 를 둘러싸고, 이 값은 이제 그래프 위의 속이 찬 점이다. 끝으로 정의역의 고립점을 보인다.

증명

$0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{x - a} < \delta \rightarrow \resaltar{\abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon}$
$f$ 가 $a$ 에서 연속이면, 응답 $\delta$ (각 도전 $\varepsilon$ 에 대한 것)는 특히 $x$ ( $0 < \abs{x - a} < \delta$ 를 만족하는 것)에 대해서도 유효하다. 이는 $L = f(a)$ 로 둔 극한에 대한 응답이다.
$x = a \rightarrow \abs{f(a) - f(a)} = \resaltar{0} < \varepsilon$
거꾸로, 극한이 $f(a)$ 와 같으면, 극한의 응답은 $x$ ( $a$ 와 다른 것)를 덮고, $x = a$ 에서는 조건이 항상 성립한다. 이는 연속성에 대한 응답이다.
$\abs{x - a} < \delta \wedge x \in A \rightarrow x = a \rightarrow \abs{f(x) - f(a)} = 0 < \varepsilon$
$a$ 가 고립점이면, 어떤 $\delta > 0$ 가 존재하여 $A$ 의 원소 중 $\abs{x - a} < \delta$ 를 만족하는 것은 $a$ 자신뿐이다. 이 $\delta$ 는 모든 도전에 한꺼번에 응한다.

따라서 정의역의 집적점에서 연속성은 세 가지로 이루어진다. $f$ 가 $a$ 에서 정의되어 있을 것, $a$ 에서 극한을 가질 것, 그리고 그 극한이 $f(a)$ 와 같을 것이다. 각각은 따로따로 성립하지 않을 수 있으며, 여기서 불연속의 분류가 나온다. 예를 들어, 값이 $1$ (모든 $x \neq 0$ 에서)과 $0$ ( $x = 0$ 에서)인 함수, 곧 극한의 연산 법칙에 관한 수업에서 합성의 반례에 쓰인 함수는 극한 $1$ ( $0$ 에서)을 가지며, 이는 함숫값과 다르다. 이 함수는 $0$ 에서 불연속이다.