極限と連続性 · Topos Uranos

要約

この課では、極限をその最初の構造的な帰結である連続性へと進める。連続性は続く課ですべての初等関数に広げられる。関数がある点で連続であるとは、その点での値が近くの値の予告するとおりの値であることをいう。これまでの課の極限を使えば、この考えはいつもの挑戦と応答として書け、違いはただ一つ、点そのものがもはや除外されないことである。したがって、集積点における連続性は極限が存在して値に等しいことと同値であり、連続性の定理のほとんどは新たな証明なしに極限の演算法則から受け継がれる。不連続は除去可能な不連続、跳躍不連続、本質的不連続に分類され、除去可能なものは連続拡張によって修復される。唯一の新しい議論は合成についてのものであり、そこでは連続性は極限以上のことをする。合成関数の極限の定理が要求していた仮定を取り除き、極限を連続関数の中に入れることを可能にするのである。

学習目標

1点における連続性、片側連続性、区間における連続性を定義し、それを極限と関係づける。
不連続を除去可能な不連続、跳躍不連続、本質的不連続に分類し、除去可能な不連続をもつ関数を連続拡張する。
連続関数の和、積、商、累乗根、合成の連続性を証明し、そこから多項式、有理関数、三角関数の連続性を導く。
極限を連続関数の中に入れて極限を計算し、ただ1点でのみ連続な関数やどの点でも連続でない関数を調べる。

定義

実変数関数の極限についての課では、定義は点 $a$ を意図的に除外していた。極限が記述するのは $a$ の近くで起こることであって、 $a$ で起こることではなく、関数はそこで定義されていなくてもよい。連続性はその両方を比べる。近くで起こることと、点そのもので起こることである。

定義1点で連続な関数

$f$ を集合 $A$ 上で定義された関数とし、 $a$ を $A$ の元とする。 $f$ が $a$ で連続であるとは、すべての $\varepsilon > 0$ に対してある $\delta > 0$ が存在して、 $x$ （ $A$ の元で $\abs{x - a} < \delta$ を満たすもの）はすべて $\abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon$ も満たすことをいう：

(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon\right)

$f$ が $a$ で連続でないとき、 $a$ で不連続であるという。それが集合 $S$ （ $A$ に含まれるもの）のすべての点で連続であるとき、 $S$ で連続であるという。定義域全体で連続であるときは、単に連続であるという。

この定義は三つの点で極限の定義と異なる。値が近づくべき数は任意の $L$ ではなく $f(a)$ であり、そのため $a$ は定義域に属さなければならない。応答 $\abs{x - a} < \delta$ は $x = a$ を除外しないが、それを含めても何の負担もない。 $\abs{f(a) - f(a)} = 0$ だからである。そして、 $a$ が $A$ の集積点であることは要求されない。否定は極限についての課と同様に得られる。 $f$ が $a$ で不連続であるのは、ある $\varepsilon > 0$ が存在して、すべての $\delta > 0$ に対して $x$ （ $A$ の元）で $\abs{x - a} < \delta$ かつ $\abs{f(x) - f(a)} \geq \varepsilon$ となるものがあるときである。

命題連続性と極限

$f$ を $A$ 上で定義された関数とし、 $a$ を $A$ の元とする。 $a$ が $A$ の集積点ならば、 $f$ が $a$ で連続であるための必要十分条件は $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ である。 $a$ が $A$ の孤立点ならば、 $f$ は $a$ で連続である。二つの定義は点 $a$ を除いて同じことを要求し、その点では連続性はおのずと成り立つ。図では、帯が値 $f(a)$ を囲み、それはいまやグラフの黒丸である。最後に、定義域の孤立点を示す。

証明

$0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{x - a} < \delta \rightarrow \resaltar{\abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon}$
$f$ が $a$ で連続ならば、応答 $\delta$ （各挑戦 $\varepsilon$ に対するもの）は特に $x$ （ $0 < \abs{x - a} < \delta$ を満たすもの）に対して有効である。それは極限に対する応答である（ただし $L = f(a)$ ）。
$x = a \rightarrow \abs{f(a) - f(a)} = \resaltar{0} < \varepsilon$
逆に、極限が $f(a)$ ならば、極限の応答は $x$ （ $a$ と異なるもの）を覆い、 $x = a$ では条件は常に成り立つ。それは連続性に対する応答である。
$\abs{x - a} < \delta \wedge x \in A \rightarrow x = a \rightarrow \abs{f(x) - f(a)} = 0 < \varepsilon$
$a$ が孤立点ならば、ある $\delta > 0$ が存在して、 $A$ の元で $\abs{x - a} < \delta$ を満たすものは $a$ 自身だけである。この $\delta$ はすべての挑戦に一度に応じる。

したがって、定義域の集積点において、連続性は三つのことからなる。 $f$ が $a$ で定義されていること、 $a$ で極限をもつこと、そしてその極限が $f(a)$ であることである。それぞれは別々に成り立たなくなりうるので、そこから不連続の分類が生じる。たとえば、値が $1$ （すべての $x \neq 0$ で）と $0$ （ $x = 0$ で）である関数、すなわち極限の演算法則についての課で合成の反例に使われた関数は、極限 $1$ （ $0$ における）をもち、それは値と異なる。この関数は $0$ で不連続である。