代数的構造：群・環・体

二項演算

このコースと代数と幾何 Iのコースを通じて、自然数、整数、有理数、実数、複素数を足し、掛けてきた。関数を合成し、行列を掛け、平面の回転を続けて行ってきた。これらの演算はどれも、ある集合の二つの対象をとり、同じ集合の三つめの対象を返す。そしてそのすべてにおいて、似た性質がくり返し証明されてきた。この課はそれらの性質を取り出し、対象の正体が何であれ、そこから何が導かれるかを調べる。

集合 $A$ 上の二項演算とは、元の順序対（$a$ と $b$、ともに $A$ の元）のそれぞれに $A$ のただ一つの元を対応させる規則であり、その元を $a \cdot b$、あるいは単に $ab$ と書く。結果が $A$ に属することを、$A$ はその演算について閉じているという。

ここでの点は、必ずしも数の積を表すわけではない。それは演算の一般的な名前であり、場合に応じて和、積、合成、あるいはほかのどんな演算にもなる。演算が和のときは、慣習により記号 $+$ を用いる。関心のある性質は四つある。演算が結合的であるとは、$(ab)c = a(bc)$ がすべての $a$、$b$、$c$（$A$ の元）について成り立つことであり、可換であるとは、$ab = ba$ がすべての $a$ と $b$ について成り立つことである。元 $e$（$A$ の元）が単位元であるとは、$ea = ae = a$ がすべての $a$ について成り立つことである。また、単位元があるとき、元 $b$ が $a$ の逆元であるとは、$ab = ba = e$ となることである。

四つの性質のどれも自動的には成り立たない。引き算は $\mathbb{Z}$ 上の二項演算であるが、結合的でも可換でもなく、単位元ももたない。$0$ は $a - 0 = a$ を満たすが、$0 - a = a$ は満たさない。割り算は $\mathbb{Q}$ 上の二項演算ではない。$1$ と $0$ からなる組に何も対応させないからである。$\mathbb{N}$ における足し算は結合的かつ可換であるが、単位元をもたない。コース I では自然数は $1$ から始まるからである。関数の合成は結合的であるが可換ではない。これはコース I の関数の演算の課で証明した。同じ次数の正方行列の積についても同じことが起こる。これは行列と行列の演算の課で調べたものであり、その単位元は単位行列 $I$ である。