二直線のなす角と三角法の応用

証明

1. 1
   $$\dato{p}{O = \left( 0, 0 \right) \in r_0, \quad P(\alpha) = \left( \cos \alpha, \sin \alpha \right) \in r_0}$$

   $r$ を傾斜角 $\alpha$ の直線とし、$r_0$ を原点を通るその平行線とする。傾斜角の定義により、$r_0$ は角 $\alpha$ の動径を含み、特に点 $P(\alpha)$ を含む。$r$ が鉛直でなければ、$r_0$ は同じ傾きをもつ。コース I の直線の方程式の課によれば、平行な二直線は同じ傾きをもつからである。図では $\alpha = \frac{\pi}{3}$。

2. 2
   $$0 \leq \alpha < \pi, \quad \resaltar{\cos \alpha = 0} \leftrightarrow \alpha = \frac{\pi}{2}$$

   直線 $r_0$ が鉛直であるのは、その二点の横座標が等しいとき、すなわち $\cos \alpha = 0$ のとき、そしてそのときに限る。$\ico{0}{\pi}$ において余弦の零点は $\frac{\pi}{2}$ だけである。そして $r$ が鉛直であるのは、その平行線が鉛直であるときにちょうど一致する。

3. 3
   $$m = \frac{\sin \alpha - 0}{\cos \alpha - 0} = \dato{m}{\resaltar{\tan \alpha}}$$

   $r$ が鉛直でなければ、その傾きは $r_0$ の傾き、すなわちその二点の縦座標の差と横座標の差の比である。

4. 4
   $$\alpha = \begin{cases} \resaltar{\arctan m} & m \geq 0 \\ \resaltar{\pi + \arctan m} & m < 0 \end{cases}$$

   逆に、$m$ を $r$ の傾きとする。すぐ上で示したことにより、傾斜角 $\alpha$ は $\ico{0}{\pi}$ に属する角で、その正接は $m$ である。三角方程式の課によれば、正接が $m$ である角は数 $\arctan m + k\pi$ であり、そのうちちょうど一つが $\ico{0}{\pi}$ に属する。$\arctan m$ は $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ に属するので、その角は $\arctan m$（$m \ge 0$ のとき）、$\pi + \arctan m$（$m < 0$ のとき）である。図では直線 $y = -x$ の傾斜角は $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$ である。