三角関数の基本恒等式

証明

1. 1
   $$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \quad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}, \quad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \quad \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$$

   逆数の関係と商の関係は、正接、余接、正割、余割の定義そのものである：それぞれ分母が零にならないところで定義され、その定義域で、関数とその逆数との積は $1$ に等しい。図では、正弦と余弦は $P(\theta)$ の座標である。

2. 2
   $$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \rightarrow \frac{\resaltar{\sin^2 \theta}}{\cos^2 \theta} + 1 = \frac{1}{\resaltar{\cos^2 \theta}}, \quad 1 + \frac{\resaltar{\cos^2 \theta}}{\sin^2 \theta} = \frac{1}{\resaltar{\sin^2 \theta}}$$

   点 $P(\theta)$ は原点から距離 $1$ にある：これが第一のピタゴラスの恒等式であり、三角比の課で証明した。$\cos \theta \neq 0$ となるところではその両辺を $\cos^2 \theta$ で割り、$\sin \theta \neq 0$ となるところでは $\sin^2 \theta$ で割る；上で得た恒等式によって、残りの二つが得られる。

3. 3
   $$\dato{i}{P(-\theta) = \left( \cos \theta, \resaltar{-\sin \theta} \right)}$$

   $P(\theta)$ の $x$ 軸に関する鏡映は $P(-\theta)$ である：対称性の定理により、余弦は偶関数で正弦は奇関数である。特に、$-\theta$ が各関数の定義域に属するのは、$\theta$ が属するときにちょうど限る。正弦と余弦の零点は対称に並んでいるからである。

4. 4
   $$\sec(-\theta) = \frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta, \quad \csc(-\theta) = \frac{1}{\resaltar{-\sin \theta}} = -\csc \theta, \quad \cot(-\theta) = \frac{\cos \theta}{\resaltar{-\sin \theta}} = -\cot \theta$$

   逆数と商をとると、式に正弦をちょうど一度だけ含む関数に負号が現れる：正割は偶関数であり、余割、正接、余接は奇関数である。

5. 5
   $$\dato{c}{P\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \left( \resaltar{\sin \theta}, \resaltar{\cos \theta} \right)}$$

   $P(\theta)$ の直線 $y = x$ に関する鏡映は $P\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$ である：対称性の定理により、この鏡映は正弦と余弦を入れ換える。

6. 6
   $$\sec\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\resaltar{\sin \theta}} = \csc \theta, \quad \csc\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\resaltar{\cos \theta}} = \sec \theta, \quad \cot\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{\resaltar{\sin \theta}}{\resaltar{\cos \theta}} = \tan \theta$$

   逆数と商をとると、正割と余割、正接と余接も入れ換わる。定義域は対応する：$\frac{\pi}{2} - \theta$ が正割の定義域に属するのは、$\theta$ が余割の定義域に属するときであり、そのときに限る。$\cos\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin \theta$ だからであり、ほかの関数についても同様である。

証明

1. 1
   $$P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right), \quad Q = \left( \cos \theta, 0 \right)$$

   定義により、$P$ の座標は余弦と正弦である；$O$ から $Q$ までの水平な線分の長さは横座標であり、$Q$ から $P$ までの鉛直な線分の長さは縦座標である。どちらも第一象限では正である。

2. 2
   $$\dato{t}{T = \left( 1, \tan \theta \right)}$$

   円の $A$ における接線は直線 $x = 1$ である。動径の方程式に $x = 1$ を代入すると $T$ が得られる：$A$ から $T$ までの線分は接線の上にあり、その長さは $\tan \theta$ である。

3. 3
   $$T = \resaltar{\sec \theta} \cdot \left( \cos \theta, \sin \theta \right)$$

   点 $T$ は点 $P(\theta)$ を $\sec \theta$ 倍したものである。$\sec \theta \cos \theta = 1$ だからである。$P(\theta)$ は原点から距離 $1$ にあるので、$T$ は距離 $\sec \theta$ にある：$O$ から $T$ までの線分は割線の上にあり、その長さは正割である。

4. 4
   $$\resaltar{1^2} + \resaltar{\tan^2 \theta} = \resaltar{\sec^2 \theta}$$

   頂点が $O$、$A$、$T$ の三角形は $A$ で直角であり、直角をはさむ辺は $1$ と $\tan \theta$、斜辺は $\sec \theta$ である。この三角形における三平方の定理が、第二のピタゴラスの恒等式である。

5. 5
   $$\dato{s}{S = \left( \cot \theta, 1 \right) = \csc \theta \cdot \left( \cos \theta, \sin \theta \right)}$$

   $B$ における接線は直線 $y = 1$ である。$y = 1$ を $y = x \tan \theta$ に代入すると $x = \cot \theta$ となる；また $\csc \theta \sin \theta = 1$ なので、点 $S$ は $P(\theta)$ を $\csc \theta$ 倍したものである。したがって、$B$ から $S$ までの線分の長さは余接であり、$O$ から $S$ までの線分の長さは余割である。

6. 6
   $$\resaltar{1^2} + \resaltar{\cot^2 \theta} = \resaltar{\csc^2 \theta}$$

   頂点が $O$、$B$、$S$ の三角形は $B$ で直角であり、直角をはさむ辺は $1$ と $\cot \theta$、斜辺は $\csc \theta$ である：この三角形から第三のピタゴラスの恒等式が従う。その $O$ における角の大きさは $\frac{\pi}{2} - \theta$ であり、この角に対して $\theta$ の余接は対辺である：余角の正接なのである。