मूल वाले फलन: प्रांत, चिह्न और आलेख

मूल वाले फलन का प्रांत

बीजीय फलनों वाले पाठ में वे नियम स्थापित किए गए जो किसी सूत्र द्वारा परिभाषित फलन का प्रांत निर्धारित करते हैं: कोई भी हर शून्य के बराबर नहीं हो सकता, और सम घातांक वाली करणी की करणीगत राशि ऋणात्मक नहीं हो सकती। जब करणी किसी हर में हो, तो दोनों नियम एक साथ लागू होते हैं, और उसकी करणीगत राशि दृढ़तः धनात्मक होनी चाहिए; जब वह अंश में हो, तो उसका ऋणेतर होना पर्याप्त है। विषम घातांक वाली करणियाँ कोई शर्त नहीं लगातीं, सिवाय इसके कि किसी हर में होने पर वे शून्य न हों।

यदि करणीगत राशियाँ $1$ से अधिक घात के बहुपद हों, तो प्रत्येक शर्त एक बहुपद असमीकरण है, जिसे गुणनखंडन करके और एक चिह्न सारणी बनाकर हल किया जाता है, जैसा चिह्न-सारणियों और असमिकाओं वाले पाठ में किया गया। द्विघात गुणनखंड द्विघात सूत्र से प्राप्त होते हैं, और रूप $a x^{2n} + b x^n + c$ के त्रिपद चर-प्रतिस्थापन $u = x^n$ से द्विघात त्रिपदों में बदल जाते हैं, जैसा द्विघात बहुपद के गुणनखंडन वाले पाठ में किया गया। ऋणात्मक विविक्तकर वाला द्विघात गुणनखंड सदा अपने अग्रग गुणांक का चिह्न बनाए रखता है, इसलिए वह कोई क्रांतिक बिंदु नहीं देता और उसे सारणी से हटाया जा सकता है।

मूल वाले फलन का प्रांत सभी शर्तों को एक साथ मिलाकर प्राप्त होता है: अंश की सम घातांक वाली प्रत्येक करणी के लिए ऋणेतर करणीगत राशि, किसी हर की सम घातांक वाली प्रत्येक करणी के लिए धनात्मक करणीगत राशि, और शून्य से अलग हर। प्रत्येक शर्त एक चिह्न सारणी से हल की जाती है, और प्रांत प्राप्त समुच्चयों का सर्वनिष्ठ है।