गणितीय तर्कशास्त्र क्या है

सारांश

यह पाठ गणितीय तर्कशास्त्र के विषय की सीमा तय करता है: उसका विषय अलग-अलग कथनों की सत्यता नहीं है, जो प्रत्येक विज्ञान का क्षेत्र है, बल्कि युक्तियों का रूप और वैधता है, अर्थात् आधार-वाक्यों और निष्कर्ष के बीच का वह संबंध जो यह सुनिश्चित करता है कि पहले की सत्यता दूसरे तक पहुँचे। यह प्रस्ताव, युक्ति, आधार-वाक्य, निष्कर्ष, रूप और प्रत्युदाहरण को परिभाषित करता है; असत्य निष्कर्ष वाली वैध युक्तियों और सत्य निष्कर्ष वाली अवैध युक्तियों के द्वारा वैधता को सत्यता से अलग करता है; दिखाता है कि प्राकृतिक भाषा, जो संदिग्धार्थी है और अपने बारे में बोल सकती है, वैधता के कठोर अध्ययन के लिए पर्याप्त क्यों नहीं है, और वस्तु-भाषा तथा अधिभाषा के बीच वह भेद स्थापित करता है जो पूरे पाठ्यक्रम को संचालित करता है। इसके बाद यह स्पष्ट परिकल्पनाओं और उपपत्तियों के साथ मिथ्यावादी विरोधाभास, बेरी विरोधाभास और नाई के विरोधाभास को, तथा रसेल विरोधाभास को, जिसका पूर्वाभास नाई का विरोधाभास देता है, प्रस्तुत करता है, और समझाता है कि एक औपचारिक भाषा उनसे कैसे बचती है या उन्हें प्रमेयों में बदल देती है। अंत में यह गणितीय तर्कशास्त्र के चार स्तंभ और पाठ्यक्रम का मानचित्र देता है।

अधिगम उद्देश्य

किसी युक्ति की वैधता को उसके आधार-वाक्यों और निष्कर्ष की सत्यता से अलग पहचानना, और प्रत्युदाहरण रचकर किसी अवैध रूप का खंडन करना।
प्राकृतिक भाषा की संदिग्धार्थता को पहचानना और किसी संदिग्धार्थी कथन के प्रत्येक पठन को स्पष्ट करना।
वस्तु-भाषा और अधिभाषा में, तथा किसी अभिव्यक्ति के प्रयोग और उसके उल्लेख में भेद करना।
किसी विरोधाभास का विश्लेषण करना: उसकी परिकल्पनाओं को अलग करना, व्याघात निगमित करना और तय करना कि कौन-सी परिकल्पना छोड़नी चाहिए।

तर्कशास्त्र क्या अध्ययन करता है

जो ज्ञान सीधे प्रेक्षण से प्राप्त नहीं होता, वह युक्ति से प्राप्त होता है: कुछ स्वीकृत कथनों से हम ऐसे दूसरे कथन पर पहुँचते हैं जो उनसे निकलता है। ज्यामिति में, यह जानकर कि त्रिभुज के कोणों का योग दो समकोण होता है, यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि किसी त्रिभुज में दो अधिक कोण नहीं होते; चिकित्सा में, यह जानकर कि अमुक रोग से ज्वर होता है, और यह भी कि जाँचे जा रहे व्यक्ति को ज्वर नहीं है, उस रोग को खारिज कर दिया जाता है। तर्कशास्त्र वह अनुशासन है जो अध्ययन करता है कि यह संक्रमण कब उचित है, और गणितीय तर्कशास्त्र वह है जो इसका अध्ययन गणित की विधियों से करता है: अपने विषयों, अर्थात् भाषाओं, सूत्रों और निगमनों, को सटीक रूप से परिभाषित करके और उनके बारे में प्रमेय सिद्ध करके।

यह सटीक रूप से कहने के लिए कि यह क्या अध्ययन करता है, पहले शब्दावली तय कर लेना उचित है। प्रस्ताव वह विधानात्मक वाक्य है जिसके बारे में यह कहना सार्थक हो कि वह सत्य है या असत्य: “ $7$ एक अभाज्य संख्या है” एक सत्य प्रस्ताव है; “प्रत्येक सम संख्या $5$ से बड़ी है” एक असत्य प्रस्ताव। इसके विपरीत, प्रश्न (“कितने बजे हैं?”), आदेश (“दरवाज़ा बंद करो”) और मुक्त चरों वाली अभिव्यक्तियाँ, जैसे “ $x$ सम है”, जिनका मान इस पर निर्भर करता है कि $x$ क्या निर्दिष्ट करता है, प्रस्ताव नहीं हैं।

युक्ति प्रस्तावों की एक सूची है, जिन्हें आधार-वाक्य कहते हैं, और उसके साथ एक और प्रस्ताव, जिसे निष्कर्ष कहते हैं, जो उनके परिणाम के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। आधार-वाक्य कोई भी प्रस्ताव हो सकते हैं: सत्य, असत्य, ज्ञात या केवल मान्यताएँ; उन्हें केवल वह स्थान अलग करता है जो वे युक्ति में घेरते हैं। हम युक्तियों को इस प्रकार लिखेंगे: आधार-वाक्य क्रमागत पंक्तियों में, और निष्कर्ष से पहले “अतः”:

उदाहरणएक युक्ति

यदि कोई संख्या $4$ का गुणज है, तो वह सम है। संख्या $28$ , $4$ का गुणज है। अतः $28$ सम है।

इसके आधार-वाक्य हैं “यदि कोई संख्या $4$ का गुणज है, तो वह सम है” और “ $28$ , $4$ का गुणज है”; इसका निष्कर्ष है “ $28$ सम है”।

तर्कशास्त्र सत्य का सिद्धांत नहीं है

यदि ऐसा है, तो तर्कशास्त्र का काम यह पता लगाना नहीं है कि किसी युक्ति के आधार-वाक्य सत्य हैं या नहीं। $28$ , $4$ का गुणज है या नहीं, यह अंकगणित तय करता है; किसी व्यक्ति को ज्वर है या नहीं, यह तापमापी; कोई युद्ध किसी वर्ष में हुआ था या नहीं, यह इतिहास। सत्य क्या है, इसे परिभाषित करना भी इसका काम नहीं है; वह प्रश्न दर्शनशास्त्र का है। तर्कशास्त्र मान लेता है कि प्रस्तावों का कोई सत्यता मान होता है, चाहे वह जो भी हो, और अध्ययन करता है कि ये मान आपस में कैसे संबंधित हैं: विशेष रूप से, कब कुछ प्रस्तावों की सत्यता किसी दूसरे प्रस्ताव की सत्यता को अनिवार्य बना देती है। दूसरे शब्दों में, तर्कशास्त्र सत्य का सिद्धांत नहीं, बल्कि सत्य के संचरण का सिद्धांत है।

किंतु जो सत्य का संचरण करता है, वह युक्ति के विषय पर नहीं, बल्कि उसकी संरचना पर निर्भर करता है। पिछली युक्ति की तुलना इस युक्ति से कीजिए: “यदि कोई प्राणी स्तनधारी है, तो वह वायु में साँस लेता है; व्हेल स्तनधारी है; अतः व्हेल वायु में साँस लेती है”। दोनों का रूप एक ही है: “यदि कोई वस्तु $A$ है, तो वह $B$ है; $c$ , $A$ है; अतः $c$ , $B$ है”। किसी युक्ति का रूप वह है जो उसके अतार्किक पदों (संख्याओं, प्राणियों, गुणों) को अक्षरों से बदलने पर, तार्किक शब्दों को बनाए रखते हुए, शेष रहता है; तार्किक शब्द हैं “नहीं”, “और”, “या”, “यदि… तो”, “प्रत्येक”, “कोई”। किसी रूप के अक्षरों को विषय-वस्तु देकर जो भी युक्ति प्राप्त होती है, वह उस रूप का एक दृष्टांत है।

कोई रूप वैध है जब उसके किसी भी दृष्टांत के सभी आधार-वाक्य सत्य और निष्कर्ष असत्य न हों; कोई युक्ति वैध है जब उसका रूप वैध हो। सत्य आधार-वाक्यों और असत्य निष्कर्ष वाला दृष्टांत उस रूप का प्रत्युदाहरण कहलाता है: अतः कोई रूप ठीक तब अवैध है जब उसका कोई प्रत्युदाहरण हो।

इस पाठ की उपपत्तियों में हम हिंदी का एक आशुलेखन प्रयोग करेंगे: $V(A)$ , “ $A$ सत्य है” का संक्षेपण है और $F(A)$ , “ $A$ असत्य है” का; $\neg$ , “नहीं” का संक्षेपण है, $\wedge$ , “और” का, $\vee$ , “या” का, $\Rightarrow$ , “यदि… तो” का और $\Leftrightarrow$ , “यदि और केवल यदि” का; $\forall$ को “प्रत्येक के लिए” और $\exists$ को “अस्तित्व है” पढ़ा जाता है। ये प्रतीक यहाँ अधिभाषा के शब्दों के संक्षेपण मात्र हैं, और दोहरे बाण पूरे पाठ्यक्रम में इसी प्रयोग के लिए सुरक्षित रखे गए हैं। अगले पाठ में एकल रेखा वाले प्रतीक, $\rightarrow$ और $\leftrightarrow$ , $\neg$ , $\wedge$ और $\vee$ के साथ, एक औपचारिक भाषा के संक्षेपणों के रूप में आएँगे, जिनका अर्थ पाठ्यक्रम सटीक रूप से तय करेगा; बाणों की रेखा का अंतर याद दिलाएगा कि हम किस स्तर पर बोल रहे हैं।

साध्यवैधता क्या सुनिश्चित करती है

यदि कोई युक्ति वैध है और उसके सभी आधार-वाक्य सत्य हैं, तो उसका निष्कर्ष सत्य है। फलस्वरूप, यदि किसी वैध युक्ति का निष्कर्ष असत्य है, तो उसका कोई आधार-वाक्य असत्य है।

प्रमाण

$\dato{p}{V(A_1) \wedge \cdots \wedge V(A_n)}$
मान लीजिए एक वैध युक्ति है जिसके आधार-वाक्य $A_1, \ldots, A_n$ हैं और निष्कर्ष $C$ है, और मान लीजिए कि सभी आधार-वाक्य सत्य हैं।
$\resaltar{A_1, \ldots, A_n, C}$
प्रत्येक युक्ति अपने ही रूप का दृष्टांत है: रूप के अक्षरों को वही विषय-वस्तु देना पर्याप्त है जो युक्ति में उनकी थी।
$\dato{v}{\neg\left( V(A_1) \wedge \cdots \wedge V(A_n) \wedge \resaltar{\neg V(C)} \right)}$
वैधता की परिभाषा से, इस रूप के किसी भी दृष्टांत में आधार-वाक्य सत्य और निष्कर्ष असत्य नहीं होता; विशेष रूप से, स्वयं युक्ति में भी नहीं।
$\resaltar{V(C)}$
चूँकि आधार-वाक्य सत्य हैं, निषेधित संयोजन में जो एकमात्र चीज़ विफल हो सकती है वह निष्कर्ष की असत्यता है: अतः निष्कर्ष सत्य है।
$\neg V(C) \Rightarrow \neg\left( V(A_1) \wedge \cdots \wedge V(A_n) \right)$
इसके विपरीत, यदि निष्कर्ष असत्य है, तो सभी आधार-वाक्य सत्य नहीं हो सकते, क्योंकि तब निष्कर्ष भी सत्य होता।

यह साध्य बताता है कि वैधता क्या सुनिश्चित करती है; उतनी ही स्पष्टता से यह देखना उचित है कि वह क्या सुनिश्चित नहीं करती। यदि युक्ति की वैधता, उसके सभी आधार-वाक्यों की सत्यता और उसके निष्कर्ष की सत्यता को मिलाया जाए, तो आठ संभव संयोगों में से केवल एक वर्जित है, सत्य आधार-वाक्यों और असत्य निष्कर्ष वाली वैध युक्ति का; शेष सभी घटित होते हैं।

उदाहरणवैध, असत्य निष्कर्ष के साथ

प्रत्येक अभाज्य संख्या विषम है। संख्या $2$ अभाज्य है। अतः $2$ विषम है।

इसका रूप वही है जो इस पाठ की पहली युक्ति का, इसलिए यह युक्ति वैध है; फिर भी इसका निष्कर्ष असत्य है। पिछला साध्य दिखाता है कि दोष कहाँ है: कोई आधार-वाक्य असत्य है, और वास्तव में पहला है, क्योंकि $2$ अभाज्य और सम है। वैध युक्ति सत्य उत्पन्न नहीं करती; वह केवल उन्हें सुरक्षित रखती है जो उसे मिलते हैं।

उदाहरणअवैध, सत्य निष्कर्ष के साथ

यदि कोई संख्या $4$ का गुणज है, तो वह सम है। संख्या $8$ सम है। अतः $8$ , $4$ का गुणज है।

आधार-वाक्य और निष्कर्ष सत्य हैं, फिर भी युक्ति अवैध है। इसके रूप, “यदि कोई वस्तु $A$ है, तो वह $B$ है; $c$ , $B$ है; अतः $c$ , $A$ है”, का एक प्रत्युदाहरण है: संख्या $6$ को $8$ के स्थान पर रखने पर आधार-वाक्य सत्य बने रहते हैं (“यदि कोई संख्या $4$ का गुणज है, तो वह सम है”; “ $6$ सम है”) और निष्कर्ष, “ $6$ , $4$ का गुणज है”, असत्य है। मूल निष्कर्ष की सत्यता आधार-वाक्यों से नहीं, बल्कि अंकगणित से आती है: $8 = 4 \cdot 2$ । यह अवैध रूप, जो दैनिक युक्तियों में अक्सर मिलता है, उत्तरपद का स्वीकार कहलाता है।

इससे वह व्यावहारिक नियम निकलता है जिसका यह पाठ अभ्यास कराएगा: यह दिखाने के लिए कि कोई युक्ति अवैध है, यह बताना पर्याप्त नहीं कि कोई आधार-वाक्य या निष्कर्ष असत्य है, और यह दिखाने के लिए कि वह वैध है, यह पर्याप्त नहीं कि उसमें सब कुछ सत्य हो; पहले के लिए उसके रूप का प्रत्युदाहरण प्रस्तुत करना आवश्यक है, और दूसरे के लिए ऐसी युक्ति जो सभी दृष्टांतों पर लागू हो।

प्राकृतिक भाषा और औपचारिक भाषा

वैधता की परिभाषा दो क्रियाओं पर टिकी है: किसी युक्ति का रूप पहचानना और यह तय करना कि कोई प्रस्ताव सत्य है या असत्य। दोनों मान लेती हैं कि प्रत्येक वाक्य का एक ही पठन है। प्राकृतिक भाषा, जैसे हिंदी, चीनी या अरबी, जिसे मनुष्य बिना औपचारिक शिक्षा के सीखते हैं और संवाद के लिए प्रयोग करते हैं, यह शर्त पूरी नहीं करती: उसका लचीलापन, जो उसे कविता, बातचीत और सूक्ष्म अर्थछटाओं के योग्य बनाता है, उसे संदिग्धार्थी भी बनाता है।

शाब्दिक संदिग्धार्थता: एक शब्द के कई अर्थ होते हैं। “उसे सोना पसंद है” का अर्थ यह भी हो सकता है कि उसे स्वर्ण पसंद है, और यह भी कि उसे नींद लेना पसंद है।
वाक्यविन्यासी संदिग्धार्थता: एक वाक्य कई संरचनाएँ स्वीकार करता है। “दो गुणा तीन जमा चार” का अर्थ $2 \cdot 3 + 4 = 10$ भी हो सकता है और $2 \cdot (3 + 4) = 14$ भी।
व्याप्ति की संदिग्धार्थता: यह स्पष्ट नहीं होता कि कोई तार्किक शब्द वाक्य के किस भाग पर लागू होता है। “सभी छात्र पास नहीं हुए” का अर्थ यह हो सकता है कि कोई पास नहीं हुआ, या यह कि सभी पास नहीं हुए, कुछ ही हुए।
असटीक संयोजक: “या” कभी दोनों विकल्पों के एक साथ पूरा होने की अनुमति देता है (“डिग्री या अनुभव आवश्यक है”) और कभी इसे वर्जित करता है (“चाय या कॉफ़ी”); “यदि… तो” कभी कारण व्यक्त करता है, कभी नियम, कभी केवल क्रम।

संदिग्धार्थता के साथ एक और गहरा लक्षण जुड़ता है: प्राकृतिक भाषा अपने बारे में बोल सकती है। उसमें “वाक्य”, “सत्य” और “परिभाषित करना” जैसे शब्द हैं, और उनसे वह ऐसे वाक्य बना सकती है जो अपने ही बारे में हों, जैसे “इस वाक्य में छह शब्द हैं”। यह स्व-संदर्भ सामान्यतः हानिरहित है; किंतु, जैसा आगे दिखेगा, सत्य की अवधारणा के साथ मिलकर यह ऐसे वाक्य उत्पन्न करता है जो न सत्य हो सकते हैं न असत्य।

औपचारिक भाषा इन दोनों कठिनाइयों के स्रोतों को समाप्त करने के लिए रची जाती है। एक वर्णमाला, अर्थात् प्रतीकों का एक संग्रह, और कुछ निर्माण नियम तय किए जाते हैं, जो व्याख्या की कोई गुंजाइश छोड़े बिना बताते हैं कि प्रतीकों के कौन-से अनुक्रम सुनिर्मित अभिव्यक्तियाँ हैं; प्रत्येक अभिव्यक्ति का अर्थ बाद में उतनी ही सटीक परिभाषाओं से तय किया जाता है। इस प्रकार, यह प्रश्न कि प्रतीकों का कोई अनुक्रम भाषा का है या नहीं, यांत्रिक रूप से, नियमों की जाँच करके, हल होता है, और प्रत्येक अभिव्यक्ति एक ही प्रकार से पढ़ी जाती है। इस पाठ्यक्रम की भाषा, जिसे प्रस्तावात्मक तर्क की भाषा वाला पाठ रचता है, की वर्णमाला में केवल दो प्रतीक हैं, वृत्त $\sigO$ और चक्रिका $\sigI$ , और उसका एक ही निर्माण नियम है।

इसकी कीमत लचीलापन है: औपचारिक भाषा बातचीत के काम नहीं आती, और प्रत्येक औपचारिक भाषा केवल वही व्यक्त करती है जो उसके नियम अनुमति देते हैं। फिर भी यह सत्य नहीं कि सारी अभिव्यक्ति-शक्ति त्याग दी जाती है: प्रथम-कोटि तर्क की औपचारिक भाषाएँ लगभग पूरा गणित लिखने के लिए पर्याप्त हैं। त्याग संदिग्धार्थता और अनियंत्रित स्व-संदर्भ का होता है; लाभ स्वयं भाषा के बारे में प्रमेय सिद्ध करने की संभावना का होता है।

वस्तु-भाषा और अधिभाषा

किसी भाषा का अध्ययन करने के लिए उसके बारे में बोलना पड़ता है, और उसके बारे में बोलने के लिए एक दूसरी भाषा चाहिए। वस्तु-भाषा वह भाषा है जिसका अध्ययन किया जाता है; अधिभाषा वह भाषा है जिसमें उसका अध्ययन किया जाता है। हिंदी में लिखे गए लैटिन व्याकरण में लैटिन वस्तु-भाषा है और हिंदी अधिभाषा। इस पाठ्यक्रम में वस्तु-भाषा वृत्तों और चक्रिकाओं की औपचारिक भाषा होगी, और अधिभाषा हिंदी होगी, जो गणितीय प्रतीकों और यूनानी अक्षरों, $\varphi$ , $\psi$ , से समृद्ध होगी; ये अक्षर वस्तु-भाषा के किन्हीं भी सूत्रों को निर्दिष्ट करेंगे, पर स्वयं उसके अंग नहीं होंगे।

यह भेद एक सटीक कारण से केंद्रीय है: पाठ्यक्रम औपचारिक भाषा के बारे में जो कथन सिद्ध करेगा (कि प्रत्येक सूत्र एक ही प्रकार से पढ़ा जाता है, कि जो कुछ निगम्य है वह सत्य है) वे औपचारिक भाषा के सूत्र नहीं, बल्कि अधिभाषा के वाक्य हैं। इसीलिए उन्हें अधिप्रमेय कहा जाएगा, ताकि वे उन प्रमेयों से अलग रहें जिन्हें निगमन प्रणाली वस्तु-भाषा के भीतर उत्पन्न करती है।

इस भेद का एक प्रारंभिक रूप वह है जो किसी अभिव्यक्ति के प्रयोग को उसके उल्लेख से अलग करता है। “रोम एक नगर है” में शब्द का प्रयोग नगर के बारे में बोलने के लिए हुआ है; “‘रोम’ में दो अक्षर हैं” में शब्द का उल्लेख हुआ है, और उद्धरण-चिह्न यह दिखाते हैं: वाक्य शब्द के बारे में है, नगर के बारे में नहीं। दोनों को मिला देने से बेतुके कथन बनते हैं, जैसे “रोम में दो अक्षर हैं”, या भ्रामक युक्तियाँ, जैसे “रोम एक नगर है; ‘रोम’ दो अक्षरों का शब्द है; अतः एक नगर दो अक्षरों का शब्द है”।

उदाहरणतीन स्तर

लैटिन को वस्तु-भाषा मानें। वाक्य “Roma aeterna est” वस्तु-भाषा का है। वाक्य “‘Roma aeterna est’ में तीन शब्द हैं” अधिभाषा, अर्थात् हिंदी, का है, और सत्य है। वाक्य “पिछला वाक्य हिंदी में लिखा है” अधिभाषा के एक वाक्य के बारे में बोलता है: वह एक तीसरे स्तर का है, अधिभाषा की अधिभाषा का, यद्यपि वह उसी भाषा में लिखा है। कोई चीज़ एक ही भाषा को कई स्तरों पर काम करने से नहीं रोकती; महत्त्वपूर्ण यह है कि यह ध्यान से न छूटे कि हम किसके बारे में बोल रहे हैं।

भाषा के विरोधाभास

व्याघात कोई कथन और उसका निषेध एक साथ है, जैसे $V(A) \wedge \neg V(A)$ । विरोधाभास वह युक्ति है जो स्वीकार्य लगने वाली परिकल्पनाओं से आरंभ करके और वैध लगने वाले चरणों से आगे बढ़कर व्याघात तक पहुँचती है। साध्य “वैधता क्या सुनिश्चित करती है” के अनुसार, यदि चरण सचमुच वैध हैं, तो कोई परिकल्पना असत्य है: किसी विरोधाभास को सुलझाने का अर्थ है यह खोजना कि कौन-सी। विरोधाभास को संदिग्धार्थता से नहीं मिलाना चाहिए, जो केवल पठनों की बहुलता है, न ही उससे जो केवल आश्चर्यजनक है।

मिथ्यावादी

इस प्रकार का सबसे प्राचीन विरोधाभास ईसा पूर्व चौथी शताब्दी के मिलेटस के यूबुलिडीज़ को श्रेय दिया जाता है। अपने सटीक रूप में यह झूठ बोलने की बात नहीं करता, जिसमें धोखा देने का अभिप्राय निहित है, बल्कि असत्यता की: मान लीजिए $m$ वाक्य “वाक्य $m$ असत्य है” है। व्याघात तक पहुँचने के लिए दो परिकल्पनाएँ पर्याप्त हैं, जिन्हें स्पष्ट रूप से लिख लेना उचित है।

द्वि-मानता (B): प्रत्येक प्रस्ताव सत्य या असत्य है, और दोनों नहीं; असत्य होना सत्य न होने के तुल्य है।
सत्य-योजना (T): कोई वाक्य सत्य है यदि और केवल यदि जो वह कहता है वह वस्तुतः है। उदाहरण के लिए, “बर्फ़ सफ़ेद है” सत्य है यदि और केवल यदि बर्फ़ सफ़ेद है।

प्रमेयमिथ्यावादी विरोधाभास

द्वि-मानता और सत्य-योजना की परिकल्पनाएँ, वाक्य $m$ पर लागू होकर, व्याघात तक ले जाती हैं: $m$ को ऐसा सत्यता मान देने का कोई तरीका नहीं जो दोनों का पालन करे। आकृति में वाक्य $m$ अपनी ही ओर संकेत करता है, और बाण दोनों संभावनाओं से होकर गुज़रते हैं।

प्रमाण

$\dato{B}{F(m) \Leftrightarrow \neg V(m)}$
द्वि-मानता से, $m$ सत्य या असत्य है, और दोनों नहीं: असत्य होना सत्य न होना है।
$\dato{T}{V(m) \Leftrightarrow \resaltar{F(m)}}$
$m$ जो कहता है वह यह है कि $m$ असत्य है। सत्य-योजना से, $m$ ठीक तब सत्य है जब जो वह कहता है वह वस्तुतः है।
$V(m) \Leftrightarrow \resaltar{\neg V(m)}$
दोनों तुल्यताओं को जोड़ने पर, $m$ की सत्यता अपने ही निषेध के तुल्य हो जाती है।
$V(m) \Rightarrow \neg V(m), \quad \resaltar{\neg V(m)}$
यदि $m$ सत्य होता, तो बाएँ से दाएँ पढ़ी गई तुल्यता से वह सत्य न होता: यह मान्यता स्वयं अपना खंडन करती है, और $m$ सत्य नहीं है।
$\resaltar{V(m) \wedge \neg V(m)}$
परंतु तब, दाएँ से बाएँ पढ़ी गई तुल्यता से, $m$ सत्य है: हमें एक साथ एक कथन और उसका निषेध प्राप्त होते हैं।

प्रमेय यह नहीं कहता कि तर्कशास्त्र व्याघाती है, बल्कि यह कि वाक्य $m$ वाली भाषा के लिए दोनों परिकल्पनाएँ एक साथ नहीं टिक सकतीं। अतः तीन मार्ग हैं: द्वि-मानता छोड़ देना और सत्यता मान से रहित वाक्यों को स्वीकार करना; सत्य-योजना को सीमित करना; या भाषा को वाक्य $m$ बनाने से रोकना। तीसरा मार्ग 1933 में अल्फ्रेड टार्स्की का है: किसी भाषा का विधेय “सत्य है” उस भाषा का नहीं, बल्कि उसकी अधिभाषा का है। ऐसी भाषा में $m$ सुनिर्मित वाक्य नहीं है, और विरोधाभास का कथन ही नहीं किया जा सकता।

बेरी विरोधाभास

बर्ट्रेंड रसेल ने 1906 में प्रकाशित किया और ऑक्सफ़ोर्ड के पुस्तकालयाध्यक्ष जॉर्ज बेरी को इसका श्रेय दिया; यह विरोधाभास “सत्य” शब्द का नहीं, बल्कि “परिभाषित करना” का प्रयोग करता है। कहा जाता है कि हिंदी का कोई वाक्यांश किसी प्राकृत संख्या को परिभाषित करता है जब वह उसका ऐसा वर्णन करता है कि उसे बिना संदिग्धार्थता के पहचाना जा सके: “दस से बड़ी सबसे छोटी अभाज्य संख्या” $11$ को परिभाषित करता है। वाक्यांश “सबसे छोटी प्राकृत संख्या जो बीस से कम शब्दों में परिभाष्य नहीं है” पर विचार करें, जिसे ठीक वैसे ही पढ़ना है जैसा वह लिखा है, और उस संख्या को $b$ कहें जिसे वह परिभाषित करने का दावा करता है। इस पाठ्यक्रम में प्राकृत संख्याएँ $1, 2, 3, \ldots$ हैं।

प्रमेयबेरी विरोधाभास

यदि हिंदी की शब्दावली परिमित है और संबंध “वाक्यांश उस संख्या को परिभाषित करता है” पूर्णतः निर्धारित है, तो व्याघात प्राप्त होता है: संख्या $b$ का अस्तित्व है, और वह एक साथ बीस से कम शब्दों में परिभाषित की जा सकती है और नहीं भी की जा सकती। आकृति में छोटे वाक्यांश उन संख्याओं की ओर भेजे जाते हैं जिन्हें वे परिभाषित करते हैं, और वे संख्याएँ थोड़ी हैं; पहली संख्या जो खाली रह जाती है, वह $b$ है।

प्रमाण

$\dato{N}{N \leq k + k^2 + \cdots + k^{19}}$
मान लीजिए $k$ शब्दकोश के शब्दों की संख्या है। एक शब्द वाले वाक्यांश अधिक से अधिक $k$ हैं; दो शब्दों वाले, अधिक से अधिक $k^2$ ; और इसी प्रकार उन्नीस शब्दों वाले वाक्यांशों तक। अतः बीस से कम शब्दों वाले वाक्यांशों की संख्या एक परिमित संख्या $N$ है।
$\dato{D}{D = \{ d_1, \ldots, d_r \}, \quad r \leq N}$
प्रत्येक वाक्यांश अधिक से अधिक एक संख्या को परिभाषित करता है। मान लीजिए $D$ उन प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है जिन्हें बीस से कम शब्दों वाला कोई वाक्यांश परिभाषित करता है: इसमें अधिक से अधिक $N$ अवयव हैं।
$(\exists n \leq N + 1)\,(n \notin D), \quad \resaltar{b \notin D}$
$N + 1$ संख्याओं $1, 2, \ldots, N + 1$ में कोई ऐसी है जो $D$ में नहीं है। उन्हें क्रम से देखने पर, पहली संख्या जो $D$ में नहीं है, वही सबसे छोटी प्राकृत संख्या है जो बीस से कम शब्दों में परिभाषित नहीं की जा सकती: उससे पहले की सभी संख्याएँ $D$ में हैं।
$13 < 20, \quad \resaltar{b \in D}$
परंतु वाक्यांश “सबसे छोटी प्राकृत संख्या जो बीस से कम शब्दों में परिभाष्य नहीं है” में तेरह शब्द हैं, और वह ठीक $b$ को परिभाषित करता है।
$\resaltar{b \in D \wedge b \notin D}$
हमें एक साथ एक कथन और उसका निषेध प्राप्त होते हैं।

सामान्य प्रस्तुति, जो केवल यह देखती है कि वाक्यांश में बीस से कम शब्द हैं, आधी युक्ति छोड़ देती है: यह कि संख्या $b$ का अस्तित्व है, जिसके लिए शब्दावली की परिमितता और पहली छूटी हुई संख्या का चयन आवश्यक है। जो परिकल्पना विफल होती है वह दूसरी है: “परिभाषित करना” हिंदी का कोई सटीक संबंध नहीं है, क्योंकि $b$ को परिभाषित करने वाला वाक्यांश स्वयं “परिभाषित करना” से बने शब्द का प्रयोग करता है, और उसका अर्थ इस पर निर्भर करता है कि कौन-से वाक्यांश परिभाषाएँ गिने जाते हैं। किसी औपचारिक भाषा $L$ में यह सटीक किया जा सकता है कि “ $L$ में परिभाष्य” का क्या अर्थ है, परंतु यह अवधारणा केवल अधिभाषा में व्यक्त होती है; $b$ को परिभाषित करने वाला वाक्यांश $L$ का नहीं है, और व्याघात मिट जाता है: $b$ , $L$ में थोड़े प्रतीकों से परिभाष्य नहीं है, यद्यपि अधिभाषा में परिभाष्य है।

नाई और रसेल समुच्चय

नाई का विरोधाभास प्रायः इस प्रकार सुनाया जाता है: किसी गाँव में एक नाई है, जो उसी गाँव का पुरुष है, और जो गाँव के उन सभी पुरुषों की हजामत बनाता है जो अपनी हजामत स्वयं नहीं बनाते, और केवल उन्हीं की। क्या नाई अपनी हजामत स्वयं बनाता है? “केवल उन्हीं की” शब्द अनिवार्य हैं: जो नाई उन सभी की हजामत बनाता जो अपनी हजामत स्वयं नहीं बनाते, इस प्रतिबंध के बिना, वह बिना किसी व्याघात के अपनी हजामत भी बना सकता था। यह विरोधाभास विकर्ण रूप वाली एक सामान्य प्रमेयिका का विशेष मामला है, जिसे एक ही बार सिद्ध कर लेना उचित है।

उपप्रमेयविकर्ण प्रमेयिका

मान लीजिए $D$ वस्तुओं का एक संग्रह है और $R$ उनके बीच एक संबंध, ऐसा कि वस्तुओं के प्रत्येक युग्म $x$ , $y$ के लिए, जब वे $D$ की वस्तुएँ हों, कथन $R(x, y)$ सत्य या असत्य है। तब ऐसी कोई वस्तु $b$ नहीं है जो $D$ में हो और जिसके लिए, प्रत्येक $x$ के लिए जो $D$ में है, $R(b, x)$ तभी और केवल तभी लागू हो जब $R(x, x)$ लागू न हो। आकृति में प्रत्येक पंक्ति एक वस्तु $x$ है और प्रत्येक स्तंभ एक वस्तु $y$ , और कोई खाना तब भरा होता है जब $R(x, y)$ लागू होता है; $b$ के लिए जिस पंक्ति की हम खोज करते हैं उसे विकर्ण को उलटना होगा, और इसीलिए वह प्रत्येक पंक्ति से उस पंक्ति के विकर्ण खाने में भिन्न है।

प्रमाण

$\dato{b}{(\forall x \in D)\,\left( R(b, x) \Leftrightarrow \neg R(x, x) \right)}$
मान लीजिए ऐसा कोई $b$ , $D$ में है।
$R(b, \resaltar{b}) \Leftrightarrow \neg R(\resaltar{b}, \resaltar{b})$
शर्त प्रत्येक $x$ के लिए लागू होती है जो $D$ में है, और $b$ उनमें से एक है: हम $x = b$ ले सकते हैं।
$R(b, b) \Rightarrow \resaltar{\neg R(b, b)}$
यदि $R(b, b)$ लागू होता है, तो तुल्यता से वह लागू नहीं होता: व्याघात।
$\neg R(b, b) \Rightarrow \resaltar{R(b, b)}$
यदि $R(b, b)$ लागू नहीं होता, तो तुल्यता से वह लागू होता है: यह भी व्याघात।
$\neg (\exists b \in D)\,(\forall x \in D)\,\left( R(b, x) \Leftrightarrow \neg R(x, x) \right)$
चूँकि दोनों में से एक स्थिति घटित होनी ही है, मान्यता टिक नहीं सकती: ऐसा कोई $b$ नहीं है।

उपसिद्धांतनाई का अस्तित्व नहीं है

किसी भी गाँव में उस गाँव का ऐसा कोई पुरुष नहीं है जो गाँव के उन सभी पुरुषों की हजामत बनाए जो अपनी हजामत स्वयं नहीं बनाते, और केवल उन्हीं की।

प्रमाण

$(\forall x \in D)\,\left( R(b, x) \Leftrightarrow \neg R(x, x) \right)$
मान लीजिए $D$ गाँव के पुरुषों का संग्रह है और $R(x, y)$ संबंध “ $x$ , $y$ की हजामत बनाता है”। नाई $b$ गाँव का पुरुष है, इसलिए वह $D$ में है; उसके वर्णित प्रकार का नाई होने का अर्थ है कि वह गाँव के प्रत्येक पुरुष की हजामत ठीक तब बनाता है जब वह पुरुष अपनी हजामत स्वयं नहीं बनाता।
$\resaltar{\neg (\exists b \in D)}\,(\forall x \in D)\,\left( R(b, x) \Leftrightarrow \neg R(x, x) \right)$
विकर्ण प्रमेयिका से, गाँव का कोई भी पुरुष यह शर्त पूरी नहीं करता: वर्णित नाई का अस्तित्व नहीं है। यह कहानी विरोधाभास नहीं, बल्कि इस बात की उपपत्ति है कि उसका नायक असंभव है।

नाई का निष्कर्ष हानिरहित है: किसी ने यह दावा नहीं किया था कि ऐसा नाई है। समुच्चय सिद्धांत में उसके रूपांतर के साथ ऐसा नहीं है। 1902 में रसेल ने गॉटलॉब फ्रेगे को लिखा कि उनकी प्रणाली, जो अंकगणित को तर्कशास्त्र पर आधारित करना चाहती थी, निम्नलिखित गुण-कथन सिद्धांत को स्वीकार करती है: प्रत्येक गुण के लिए एक समुच्चय है जिसके अवयव ठीक वे वस्तुएँ हैं जिनमें वह गुण है। स्वयं का अवयव न होने के गुण पर लागू करने पर यह सिद्धांत दावा करता है कि यह समुच्चय है

Z = \{ x : x \notin x \}

उपसिद्धांतरसेल विरोधाभास

बिना प्रतिबंध के गुण-कथन सिद्धांत व्याघाती है।

प्रमाण

$\dato{Z}{(\forall x \in D)\,\left( x \in Z \Leftrightarrow x \notin x \right)}$
मान लीजिए $D$ सभी समुच्चयों का संग्रह है और $R(x, y)$ संबंध “ $y$ , $x$ का अवयव है”। गुण-कथन सिद्धांत, गुण $x \notin x$ पर लागू होकर, दावा करता है कि एक समुच्चय $Z$ है जिसके अवयव वे समुच्चय हैं जो स्वयं के अवयव नहीं हैं।
$(\forall x \in D)\,\left( \resaltar{R(Z, x)} \Leftrightarrow \resaltar{\neg R(x, x)} \right)$
चुने गए संबंध के साथ, $Z$ की शर्त ठीक विकर्ण प्रमेयिका की शर्त है, जिसमें $Z$ , $b$ के स्थान पर है: $x \in Z$ ही $R(Z, x)$ है, और $x \notin x$ ही $\neg R(x, x)$ है।
$\resaltar{Z \in Z \Leftrightarrow Z \notin Z}$
समुच्चय $Z$ एक समुच्चय है, इसलिए वह $D$ में है; विकर्ण प्रमेयिका से ऐसा $Z$ नहीं है, और $x = Z$ लेने पर असंभव तुल्यता प्राप्त होती है। परंतु सिद्धांत दावा करता है कि वह है। अतः यह सिद्धांत व्याघात को निहित करता है।

नाई के विपरीत, यहाँ $Z$ का अस्तित्व किसी कहानी की मान्यता नहीं, बल्कि सिद्धांत का एक मूल नियम था। रसेल विरोधाभास यह घोषित करके नहीं सुलझता कि $Z$ का अस्तित्व नहीं है, बल्कि सिद्धांत को सुधारकर: ज़र्मेलो का 1908 का अभिगृहीतीय समुच्चय सिद्धांत किसी गुण से केवल पहले से दिए गए किसी समुच्चय के उपसमुच्चय बनाने देता है, और इस प्रतिबंध के साथ व्याघात निगमित नहीं होता।

जो विरोधाभास नहीं है

कभी-कभी इस प्रेक्षण को “रिक्त समुच्चय का विरोधाभास” कहा गया है कि रिक्त समुच्चय का अस्तित्व है यद्यपि उसमें कोई अवयव नहीं, मानो किसी विद्यमान वस्तु को विद्यमान वस्तुओं से बना होना ही चाहिए। इसमें कोई व्याघात नहीं है: समुच्चय अपने अवयवों से उस तरह नहीं बना होता जैसे दीवार अपनी ईंटों से, बल्कि उनसे निर्धारित होता है, और किसी समुच्चय के अवयवों के संग्रह में एक भी अवयव न हो, यह संभव है, जैसे खाली डिब्बा भी डिब्बा ही रहता है। कोई तथ्य आश्चर्यजनक हो, इससे वह विरोधाभासी नहीं हो जाता; विरोधाभास के लिए व्याघात का निगमन आवश्यक है, और यहाँ कोई व्याघात निगमित नहीं होता।

औपचारिक भाषा उनसे कैसे निपटती है

पूर्वोक्त से यह निकलता है कि औपचारिक भाषा विरोधाभासों से किसी जादू से नहीं, बल्कि दो सटीक तरीकों से बचती है। पहला यह कि उसमें उन्हें उत्पन्न करने वाले साधन न हों। प्रस्तावात्मक तर्क की भाषा, जिसे यह पाठ्यक्रम रचता है, में न तो अपने बारे में बोलने वाले वाक्य हैं और न सत्यता का विधेय: उसमें मिथ्यावादी का वाक्य लिखा ही नहीं जा सकता, और उसका अर्थविज्ञान चरों के प्रत्येक मान-नियतन में प्रत्येक सूत्र को एक अद्वितीय सत्यता मान देता है। दूसरा यह कि अधिक समृद्ध भाषाओं में विरोधाभास प्रमेय बन जाता है: मिथ्यावादी की युक्ति, कठोरता से की जाए तो, सिद्ध करती है कि पर्याप्त अभिव्यंजक भाषा की सत्यता उसी भाषा में परिभाष्य नहीं है (टार्स्की); नाई और रसेल की युक्ति सिद्ध करती है कि कुछ संग्रह समुच्चय नहीं हैं; और बेरी की युक्ति से संबंधित युक्तियाँ कुर्ट गोडेल के 1931 के अपूर्णता प्रमेयों के मूल में हैं। इस प्रकार, जो प्राकृतिक भाषा में उलझन है, वह औपचारिक भाषा में सूचना है।

गणितीय तर्कशास्त्र के चार स्तंभ

गणितीय तर्कशास्त्र का जन्म उन्नीसवीं शताब्दी के अंत और बीसवीं के आरंभ में, फ्रेगे, पेआनो, रसेल और डेविड हिल्बर्ट के साथ, एक सटीक प्रश्न के उत्तर के रूप में हुआ: गणित किन आधारों पर टिका है, और क्या वे आधार व्याघात से मुक्त हैं। आज इसे चार बड़ी शाखाओं में बाँटा जाता है, जो निरंतर एक-दूसरे में गुँथी रहती हैं।

उपपत्ति सिद्धांत: औपचारिक उपपत्तियों का गणितीय वस्तुओं के रूप में, अर्थात् स्पष्ट नियमों का पालन करने वाले सूत्रों के परिमित अनुक्रमों के रूप में, अध्ययन करता है; यह पूछता है कि किसी प्रणाली में क्या सिद्ध किया जा सकता है, क्या कोई प्रणाली संगत है, और उपपत्तियाँ एक-दूसरे में कैसे रूपांतरित होती हैं। इस पाठ्यक्रम की इकाई “निगमन” इससे पहला परिचय है।
मॉडल सिद्धांत: किसी औपचारिक भाषा और उसकी व्याख्या करने वाली संरचनाओं, अर्थात् उसके मॉडलों, के बीच संबंध का अध्ययन करता है; यह पूछता है कि कौन-सी संरचनाएँ सूत्रों के किसी समुच्चय को संतुष्ट करती हैं और संरचनाओं के कौन-से गुण किसी दी गई भाषा में व्यक्त किए जा सकते हैं। इकाई “अर्थविज्ञान”, अपने सत्यता मानों के मूल्यांकनों के साथ, इसका सबसे प्रारंभिक रूप है।
समुच्चय सिद्धांत: समुच्चयों का सटीक अभिगृहीतों के साथ अध्ययन करता है, जैसे ज़र्मेलो और फ्रेंकेल के अभिगृहीत, जिनमें लगभग पूरा गणित लिखा जा सकता है; इसका जन्म बहुत हद तक रसेल विरोधाभास से बचने की आवश्यकता से हुआ।
संगणनीयता सिद्धांत: अध्ययन करता है कि कौन-सी समस्याएँ किसी यांत्रिक प्रक्रिया से हल हो सकती हैं और कौन-सी नहीं। प्रस्तावात्मक तर्क निर्णेय है, जैसा पाठ्यक्रम दिखाएगा: एक ऐसी प्रक्रिया है जो परिमित चरणों में तय करती है कि कोई सूत्र वैध है या नहीं; विधेय तर्क, इसके विपरीत, निर्णेय नहीं है।

किसी भी स्तंभ का गहन अध्ययन दूसरों को छुए बिना नहीं होता: पूर्णता, जो इस पाठ्यक्रम का केंद्रीय परिणाम है, एक साथ उपपत्ति सिद्धांत का और मॉडल सिद्धांत का प्रमेय है, और उससे प्राप्त होने वाली निर्णेयता संगणनीयता सिद्धांत का विषय है।

पाठ्यक्रम का मानचित्र

यह पाठ्यक्रम तर्क की सबसे सरल भाषा, प्रस्तावात्मक भाषा, के लिए किसी तार्किक सिद्धांत का पूरा मार्ग चार इकाइयों में तय करता है।

भाषा: वाक्यविन्यास। दो प्रतीकों की वर्णमाला और निर्माण नियम के साथ वस्तु-भाषा रची जाती है, सिद्ध किया जाता है कि प्रत्येक सूत्र एक ही प्रकार से पढ़ा जाता है, आगमन द्वारा सिद्ध करना सीखा जाता है, और प्राकृतिक भाषा के कथनों और युक्तियों का औपचारिक भाषा में अनुवाद किया जाता है, यह बताते हुए कि अनुवाद क्या सुरक्षित रखता है और क्या खो देता है।
निगमन: अभिगृहीतों और अनुमान नियमों की एक प्रणाली तय की जाती है, और परिभाषित किया जाता है कि किसी सूत्र $\varphi$ के सूत्रों के समुच्चय $\Gamma$ से निगमित होने का क्या अर्थ है, जिसे $\Gamma \vdash \varphi$ लिखा जाता है। यह वैधता का वाक्यविन्यासी पक्ष है: प्रतीकों का नियमों के अनुसार, उनके अर्थ पर ध्यान दिए बिना, संचालन।
अर्थविज्ञान: प्रत्येक मान-नियतन में प्रत्येक सूत्र को एक सत्यता मान दिया जाता है, और परिभाषित किया जाता है कि $\varphi$ के $\Gamma$ का परिणाम होने का क्या अर्थ है, जिसे $\Gamma \models \varphi$ लिखा जाता है: प्रत्येक मान-नियतन जो $\Gamma$ के सूत्रों को सत्य बनाता है, $\varphi$ को भी सत्य बनाता है। यह वैधता का अर्थविज्ञानी पक्ष है, इस पाठ की परिभाषा को सटीक रूप देकर।
अधिसिद्धांत: सिद्ध किया जाता है कि दोनों पक्ष संपाती हैं। सुदृढ़ता कहती है कि जो कुछ निगम्य है वह परिणाम है, और पूर्णता कि प्रत्येक परिणाम निगम्य है। इसके बाद संहतता का, और यह तय करने की एक यांत्रिक विधि, विभेदन, का अध्ययन किया जाता है कि सूत्रों का कोई समुच्चय संतुष्ट किया जा सकता है या नहीं।

यदि ऐसा है, तो यह पाठ्यक्रम ऐसे गणितीय सिद्धांत का पहला पूर्ण उदाहरण है जिसका विषय स्वयं युक्ति है; और औपचारिक भाषा के बारे में उसके सभी कथन, जैसा इस पाठ में देखा गया, गणित की कठोरता से सिद्ध किए गए अधिभाषा के वाक्य होंगे।

हल प्रश्न

आगे के प्रश्न, बढ़ती कठिनाई के क्रम में, इस पाठ के भेदों का अभ्यास कराते हैं: ऐसी युक्ति का खंडन करना जिसके सभी वाक्य सत्य हैं, किसी संदिग्धार्थी कथन के पठनों को अलग करना, वस्तु-भाषा और अधिभाषा की अभिव्यक्तियों का वर्गीकरण करना, और विरोधाभास जैसी दिखने वाली दो युक्तियों का विश्लेषण करके तय करना कि वे विरोधाभास हैं या नहीं।

हल किया गया प्रश्न 1सब सत्य, फिर भी अवैध

दिखाइए कि निम्नलिखित युक्ति अवैध है, यद्यपि उसके आधार-वाक्य और निष्कर्ष सत्य हैं: “ $6$ का प्रत्येक गुणज सम है; संख्या $12$ सम है; अतः $12$ , $6$ का गुणज है”।

हल

$(\forall x)\,(S(x) \Rightarrow P(x)), \quad P(12), \quad S(12)$
“ $x$ , $6$ का गुणज है” को $S(x)$ से और “ $x$ सम है” को $P(x)$ से संक्षिप्त करते हैं। आधार-वाक्य और निष्कर्ष सत्य हैं, क्योंकि $12 = 6 \cdot 2$ ।
$(\forall x)\,(S(x) \Rightarrow P(x)), \quad P(\resaltar{c}), \quad S(\resaltar{c})$
नाम $12$ को अक्षर $c$ से बदलने पर रूप प्राप्त होता है: दो आधार-वाक्य और एक निष्कर्ष।
$(\forall x)\,(S(x) \Rightarrow P(x)), \quad P(\resaltar{4})$
हम सत्य आधार-वाक्यों वाला दृष्टांत खोजते हैं: पहला $c$ पर निर्भर नहीं करता, और दूसरा एक सम संख्या माँगता है। हम $c = 4$ लेते हैं।
$\neg S(\resaltar{4})$
इस दृष्टांत का निष्कर्ष असत्य है, क्योंकि $4$ , $6$ का गुणज नहीं है।
$\resaltar{12 = 6 \cdot 2}$
रूप का एक प्रत्युदाहरण है: वह अवैध है, और युक्ति भी। उसके निष्कर्ष की सत्यता अंकगणित से आती है, आधार-वाक्यों से नहीं।

हल किया गया प्रश्न 2व्याप्ति की एक संदिग्धार्थता

मान लीजिए $L$ संख्याओं $4$ , $6$ , $7$ की सूची है। दिखाइए कि वाक्य “ $L$ की सभी संख्याएँ अभाज्य नहीं हैं” के दो पठन हैं, और इस सूची के साथ एक सत्य है और दूसरा असत्य।

हल

$\dato{a}{\neg Q(4) \wedge \neg Q(6) \wedge \neg Q(7)}$
“ $x$ अभाज्य है” को $Q(x)$ से संक्षिप्त करते हैं। पहला पठन: निषेध प्रत्येक संख्या पर लागू होता है, और वाक्य कहता है कि कोई भी अभाज्य नहीं है।
$\dato{n}{\neg\left( Q(4) \wedge Q(6) \wedge Q(7) \right)}$
दूसरा पठन: निषेध पूरे कथन पर लागू होता है, और वाक्य कहता है कि सभी अभाज्य नहीं हैं।
$Q(7), \quad \neg\left( \neg Q(4) \wedge \neg Q(6) \wedge \resaltar{\neg Q(7)} \right)$
चूँकि $7$ अभाज्य है, पहले पठन का अंतिम पद असत्य है, और उसके साथ पूरा संयोजन: पहला पठन असत्य है।
$\neg Q(4), \quad \neg\left( \resaltar{Q(4)} \wedge Q(6) \wedge Q(7) \right)$
चूँकि $4$ अभाज्य नहीं है, दूसरे पठन का संयोजन असत्य है, और उसका निषेध सत्य: दूसरा पठन सत्य है।
$\resaltar{\neg Q(4) \wedge \neg Q(6) \wedge \neg Q(7)} \Rightarrow \neg\left( Q(4) \wedge Q(6) \wedge Q(7) \right)$
दोनों पठन तुल्य नहीं हैं: पहला दूसरे को निहित करता है, पर इसका उलटा नहीं, और यह सूची यही दिखाती है। गणित में दूसरा पठन “यह सत्य नहीं कि $L$ की सभी संख्याएँ अभाज्य हैं” लिखा जाता है, और पहला “ $L$ की कोई भी संख्या अभाज्य नहीं है”।

हल किया गया प्रश्न 3वस्तु-भाषा और अधिभाषा

प्रतीकों $\sigO$ और $\sigI$ के अनुक्रमों को वस्तु-भाषा मानें, और हिंदी को अधिभाषा, जिसमें यूनानी अक्षर किन्हीं भी अनुक्रमों को निर्दिष्ट करते हैं। निम्नलिखित प्रत्येक अभिव्यक्ति का वर्गीकरण कीजिए और, जहाँ सार्थक हो, तय कीजिए कि वह सत्य है या नहीं: (क) $\sigO\sigO\sigI$ ; (ख) “ $\sigO\sigO\sigI$ में तीन प्रतीक हैं”; (ग) “प्रत्येक अनुक्रम $\varphi$ के लिए, अनुक्रम $\sigI\varphi$ एक चक्रिका से आरंभ होता है”; (घ) “ $\sigO\sigO\sigI$ सत्य है”।

हल

$\resaltar{\sigO\sigO\sigI}$
अभिव्यक्ति (क) वस्तु-भाषा की है: वह प्रतीकों का अनुक्रम है, हिंदी का वाक्य नहीं, और न सत्य है न असत्य; उसके बारे में बोला जाता है, पर वह स्वयं कुछ दावा नहीं करती।
$\sigO \; \sigO \; \sigI \quad (3)$
अभिव्यक्ति (ख) अधिभाषा का वाक्य है जो अनुक्रम (क) का उल्लेख करता है और उसके प्रतीक गिनता है: वह सत्य है।
$\resaltar{\sigI}\varphi$
अभिव्यक्ति (ग) अधिभाषा का वाक्य है। अक्षर $\varphi$ वस्तु-भाषा का प्रतीक नहीं, बल्कि अधिभाषा का चर है जो उसके अनुक्रमों पर विचरता है; वाक्य सत्य है, क्योंकि $\sigI\varphi$ रचना से ही चक्रिका से आरंभ होता है।
$v_2 = \sigO\sigO\sigI$
अभिव्यक्ति (घ) अधिभाषा की है, पर उसका अभी कोई सत्यता मान नहीं है: अनुक्रम $\sigO\sigO\sigI$ पाठ्यक्रम की भाषा का एक चर होगा, और चर अपने आप में न सत्य होता है न असत्य, बल्कि तभी जब इकाई “अर्थविज्ञान” में कोई मान-नियतन उसे मान दे। अगले पाठ में इसे $v_2$ कहा जाएगा।

हल किया गया प्रश्न 4एपिमेनिडीज़ मिथ्यावादी नहीं है

एक श्यामपट्ट पर वाक्य $e$ लिखा है, संभवतः दूसरे वाक्यों के साथ: “इस श्यामपट्ट पर लिखा प्रत्येक वाक्य असत्य है”। द्वि-मानता और सत्य-योजना को स्वीकार करते हुए सिद्ध कीजिए कि $e$ असत्य है और श्यामपट्ट पर कोई दूसरा वाक्य सत्य है; और निगमित कीजिए कि विरोधाभास ठीक तब है जब श्यामपट्ट का कोई दूसरा वाक्य सत्य न हो, जैसा तब होता है जब $e$ एकमात्र वाक्य हो।

हल

$\dato{T}{V(e) \Leftrightarrow (\forall x \in O)\,F(x)}$
मान लीजिए $O$ श्यामपट्ट के वाक्यों का समुच्चय है; $e$ उनमें से एक है। सत्य-योजना से, $e$ सत्य है यदि और केवल यदि $O$ के सभी वाक्य असत्य हैं।
$V(e) \Rightarrow \resaltar{F(e)} \Rightarrow \neg V(e)$
यदि $e$ सत्य होता, तो $O$ के सभी वाक्य असत्य होते, और $e$ , $O$ में है: $e$ असत्य होता, और द्वि-मानता से सत्य न होता। यह मान्यता स्वयं अपना खंडन करती है।
$\resaltar{F(e)}$
अतः $e$ सत्य नहीं है; द्वि-मानता से, वह असत्य है।
$(\exists x \in O)\,\left( x \neq e \wedge V(x) \right)$
सत्य-योजना से, $e$ के असत्य होने का अर्थ है कि $O$ के सभी वाक्य असत्य नहीं हैं: कोई सत्य है, और वह $e$ नहीं है, जो असत्य है।
$\neg (\exists x \in O)\,\left( x \neq e \wedge V(x) \right) \Rightarrow \resaltar{V(e) \wedge \neg V(e)}$
यदि श्यामपट्ट पर कोई दूसरा सत्य वाक्य है, तो सब कुछ संगत है: $e$ केवल असत्य है। इसके विपरीत, यदि कोई दूसरा वाक्य सत्य नहीं है, तो ऐसा कोई $x$ नहीं जो $e$ से भिन्न हो, $O$ में हो और सत्य हो, और मिथ्यावादी की तरह व्याघात प्राप्त होता है; विशेष रूप से ऐसा तब होता है जब $e$ श्यामपट्ट का एकमात्र वाक्य हो। अतः विरोधाभास का प्रकट होना एक अनुभवजन्य तथ्य पर निर्भर करता है: श्यामपट्ट पर क्या लिखा है।

हल किया गया प्रश्न 5पर-वर्णनात्मक

कोई विशेषण स्व-वर्णनात्मक है यदि वह स्वयं पर लागू होता है (“हिंदी” एक हिंदी शब्द है; “छोटा” एक छोटा शब्द है) और पर-वर्णनात्मक यदि नहीं (“लंबा” लंबा शब्द नहीं है; “अंग्रेज़ी” अंग्रेज़ी शब्द नहीं है)। सिद्ध कीजिए कि यदि “पर-वर्णनात्मक” एक विशेषण है और संबंध “पर लागू होता है” सभी विशेषणों के लिए पूर्णतः निर्धारित है, तो व्याघात प्राप्त होता है; और तय कीजिए कि कौन-सी परिकल्पना छोड़नी चाहिए।

हल

$\dato{R}{R(x, x)}$
मान लीजिए $D$ हिंदी के विशेषणों का संग्रह है और $R(x, y)$ संबंध “विशेषण $x$ , शब्द $y$ पर लागू होता है”। कोई विशेषण $x$ स्व-वर्णनात्मक है यदि $R(x, x)$ , और पर-वर्णनात्मक यदि $\neg R(x, x)$ ।
$\dato{h}{(\forall x \in D)\,\left( R(h, x) \Leftrightarrow \neg R(x, x) \right)}$
मान लीजिए $h$ विशेषण “पर-वर्णनात्मक” है। अपनी परिभाषा से, यह किसी विशेषण पर ठीक तब लागू होता है जब वह विशेषण स्वयं पर लागू नहीं होता।
$R(\resaltar{h}, \resaltar{h}) \Leftrightarrow \neg R(\resaltar{h}, \resaltar{h})$
यदि $h$ एक विशेषण है, तो वह $D$ में है, और उसकी शर्त विकर्ण प्रमेयिका की शर्त है। $x = h$ लेने पर असंभव तुल्यता प्राप्त होती है।
$h \in D \Rightarrow \resaltar{h \notin D}$
विकर्ण प्रमेयिका से, $D$ की कोई भी वस्तु $h$ की शर्त पूरी नहीं करती। यदि $h$ , $D$ में है, तो व्याघात है।
$\resaltar{h \notin D}$
जो परिकल्पना विफल होती है वह दूसरी है: “पर लागू होता है” उन विशेषणों के लिए सटीक संबंध नहीं है जो, “पर-वर्णनात्मक” की तरह, स्वयं इसी संबंध के द्वारा परिभाषित होते हैं। किसी औपचारिक भाषा में संबंध $R$ अधिभाषा में परिभाषित होता, और विशेषण $h$ वस्तु-भाषा का न होता, इसलिए शर्त $h \in D$ असत्य होती और कोई व्याघात न होता।

अभ्यास प्रश्न

पहले दो प्रश्न वैधता और संदिग्धार्थता का अभ्यास कराते हैं; तीसरा, प्रयोग और उल्लेख का; अंतिम दो एक नए विरोधाभास का विश्लेषण करने और भाषाविज्ञान से बाहर विकर्ण प्रमेयिका लागू करने को कहते हैं। प्रत्येक के साथ एक संकेत है, जिसे स्वयं प्रयास करने के बाद ही खोलना उचित है।

अभ्यास प्रश्न 1दो मिलते-जुलते रूप

निम्नलिखित दो रूपों पर विचार कीजिए: (क) “यदि $p$ , तो $q$ ; $q$ नहीं; अतः $p$ नहीं”; (ख) “यदि $p$ , तो $q$ ; $p$ नहीं; अतः $q$ नहीं”। तय कीजिए कि कौन-सा वैध है और कौन-सा नहीं; अवैध रूप के लिए संख्याओं के बारे में कथनों से एक प्रत्युदाहरण रचिए, और वैध रूप के लिए समझाइए कि उसका कोई भी दृष्टांत प्रत्युदाहरण क्यों नहीं हो सकता।

संकेत

रूप (ख) के लिए, संख्याओं के गुणों के बीच कोई सत्य सोपाधिक खोजिए, जैसे “यदि $n$ , $4$ का गुणज है, तो वह सम है”, और ऐसी संख्या जिसमें पहला गुण न हो पर दूसरा हो। रूप (क) के लिए, मान लीजिए कि आधार-वाक्य सत्य हैं और स्वयं से पूछिए कि यदि $p$ सत्य होता तो क्या होता।

उत्तर

रूप (क), जिसे मोडस टोलेंस (उत्तरपद का निषेध) कहते हैं, वैध है: यदि आधार-वाक्य सत्य हों और $p$ सत्य होता, तो $q$ भी सत्य होता, जो दूसरे आधार-वाक्य के विरुद्ध है। रूप (ख), पूर्वपद का निषेध, अवैध है: “यदि $6$ , $4$ का गुणज है, तो $6$ सम है; $6$ , $4$ का गुणज नहीं है; अतः $6$ सम नहीं है” के आधार-वाक्य सत्य हैं और निष्कर्ष असत्य।

अभ्यास प्रश्न 2पासपोर्ट, पहचान-पत्र और वीज़ा

एक सूचना कहती है: “प्रवेश के लिए पासपोर्ट या राष्ट्रीय पहचान-पत्र और वीज़ा आवश्यक है”। अक्षरों $p$ (पासपोर्ट), $d$ (राष्ट्रीय पहचान-पत्र) और $v$ (वीज़ा) से इसके दो पठन लिखिए, और ऐसे व्यक्ति का वर्णन कीजिए जिसे एक पठन प्रवेश देता है और दूसरा नहीं।

संकेत

प्रश्न यह है कि वीज़ा केवल राष्ट्रीय पहचान-पत्र के साथ आवश्यक है या दोनों में से किसी भी दस्तावेज़ के साथ। ऐसे व्यक्ति को आज़माइए जिसके पास केवल एक दस्तावेज़ हो।

उत्तर

पठन हैं $p \vee (d \wedge v)$ और $(p \vee d) \wedge v$ । पासपोर्ट हो और वीज़ा न हो, तो पहले पठन के अनुसार प्रवेश संभव है और दूसरे के अनुसार नहीं।

अभ्यास प्रश्न 3उद्धरण-चिह्न

तय कीजिए कि प्रत्येक वाक्य नगर के बारे में है या शब्द के बारे में, और वह सत्य है या असत्य: (क) “रोम में दो अक्षर हैं”; (ख) “‘रोम’ में दो अक्षर हैं”; (ग) “‘रोम’ इटली की राजधानी है”; (घ) “वाक्य ‘रोम इटली की राजधानी है’ में शब्द ‘रोम’ है”।

संकेत

उद्धरण-चिह्न किसी अभिव्यक्ति को उस अभिव्यक्ति के नाम में बदल देते हैं। प्रत्येक स्थिति में स्वयं से पूछिए कि वाक्य का कर्ता किस वस्तु को निर्दिष्ट करता है: किसी नगर को, किसी शब्द को या किसी वाक्य को।

उत्तर

(क) नगर के बारे में है और असत्य है, क्योंकि नगर में अक्षर नहीं होते। (ख) शब्द के बारे में है और सत्य है। (ग) शब्द के बारे में है और असत्य है, क्योंकि कोई शब्द राजधानी नहीं होता। (घ) एक वाक्य और एक शब्द के बारे में है, और सत्य है।

अभ्यास प्रश्न 4एक कार्ड के दो पहलू

एक कार्ड के एक पहलू पर वाक्य $A$ लिखा है: “वाक्य $B$ सत्य है”; दूसरे पहलू पर वाक्य $B$ : “वाक्य $A$ असत्य है”। द्वि-मानता और सत्य-योजना को स्वीकार करते हुए सिद्ध कीजिए कि $A$ और $B$ को सत्यता मान देने का कोई तरीका नहीं है। यदि $B$ इसके बजाय कहे “वाक्य $A$ सत्य है”, तो क्या होता है?

संकेत

प्रत्येक वाक्य के लिए सत्य-योजना लिखिए, और तुल्यताओं को तब तक जोड़िए जब तक ऐसी तुल्यता न मिले जो $V(A)$ को स्वयं से जोड़े। विकल्प में भी यही कीजिए और जाँचिए कि कौन-से मान-निर्धारण उसे संतुष्ट करते हैं।

उत्तर

पहले रूप में $V(A) \Leftrightarrow \neg V(A)$ प्राप्त होता है, मिथ्यावादी की तरह, यद्यपि कोई वाक्य अपने बारे में नहीं बोलता। विकल्प में $V(A) \Leftrightarrow V(B)$ दो मान-निर्धारणों की अनुमति देता है, दोनों सत्य या दोनों असत्य: कोई व्याघात नहीं, पर उनके बीच कुछ भी निर्णय नहीं करता।

विस्तृत हल

हल

$\dato{A}{V(A) \Leftrightarrow V(B)}$
सत्य-योजना से, $A$ ठीक तब सत्य है जब $B$ सत्य है।
$\dato{B}{V(B) \Leftrightarrow F(A) \Leftrightarrow \neg V(A)}$
सत्य-योजना से, $B$ ठीक तब सत्य है जब $A$ असत्य है; द्वि-मानता से, असत्य होना सत्य न होना है।
$V(A) \Leftrightarrow \resaltar{\neg V(A)}$
दोनों तुल्यताओं को जोड़ने पर, $A$ की सत्यता अपने ही निषेध के तुल्य हो जाती है, और मिथ्यावादी की तरह युक्ति चलती है: यदि $A$ सत्य है, तो वह सत्य नहीं, और यदि सत्य नहीं, तो सत्य है।
$V(A) \Leftrightarrow V(B) \Leftrightarrow V(A)$
विकल्प में, $B$ की सत्य-योजना $V(B) \Leftrightarrow V(A)$ देती है, जो पहली तुल्यता के साथ केवल यह माँगती है कि दोनों का मान एक ही हो: दो संगत मान-निर्धारण हैं और कोई व्याघात नहीं।

अभ्यास प्रश्न 5कैंटर का विकर्ण

मान लीजिए $s_1, s_2, s_3, \ldots$ शून्यों और इकाइयों के अनंत अनुक्रमों की कोई भी सूची है, और $s_x(y)$ लिखें $y$ -वें पद के लिए, जो अनुक्रम $s_x$ का है। विकर्ण प्रमेयिका से सिद्ध कीजिए कि अनुक्रम $d$ , जो $d(y) = 1$ से (जब $s_y(y) = 0$ ) और $d(y) = 0$ से (जब $s_y(y) = 1$ ) परिभाषित है, सूची में नहीं है। निगमित कीजिए कि कोई भी क्रमांकित सूची शून्यों और इकाइयों के सभी अनुक्रमों को समाविष्ट नहीं करती।

संकेत

संग्रह $D$ के रूप में प्राकृत संख्याएँ और संबंध $R(x, y)$ के रूप में कथन $s_x(y) = 1$ लीजिए। कोई संख्या $b$ , जिसके लिए $s_b = d$ हो, कौन-सी शर्त पूरी करेगी?

उत्तर

यदि $d = s_b$ होता, तो संख्या $b$ शर्त $R(b, y) \Leftrightarrow \neg R(y, y)$ को प्रत्येक $y$ के लिए पूरा करती, जिसका विकर्ण प्रमेयिका निषेध करती है। अतः $d$ प्रत्येक $s_b$ से कम से कम $b$ -वें पद में भिन्न है, और कोई भी सूची सभी अनुक्रमों को समाविष्ट नहीं करती।

विस्तृत हल

हल

$\dato{R}{R(x, y) \Leftrightarrow s_x(y) = 1}$
मान लीजिए $D$ प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है और $R(x, y)$ यह कथन कि $y$ -वाँ पद (अनुक्रम $s_x$ का) $1$ के बराबर है।
$\dato{d}{d(y) = 1 \Leftrightarrow \neg\left( s_y(y) = 1 \right)}$
अपनी परिभाषा से, $d(y)$ ठीक तब $1$ के बराबर है जब $s_y(y)$ , $1$ के बराबर नहीं है।
$(\forall y \in D)\,\left( R(\resaltar{b}, y) \Leftrightarrow \neg R(y, y) \right)$
मान लीजिए $d$ सूची में स्थान $b$ पर आता है, अर्थात् $d = s_b$ । तब प्रत्येक $y$ के लिए $R(b, y)$ , $d(y) = 1$ के तुल्य है, जो $\neg R(y, y)$ के तुल्य है।
$d(b) \neq s_b(b)$
विकर्ण प्रमेयिका से, कोई भी $b$ इस शर्त को पूरा नहीं करता: अनुक्रम $d$ सूची में नहीं है। ठीक-ठीक कहें तो, यह $s_b$ से $b$ -वें पद में भिन्न है।
$(\forall b \in \mathbb{N})\,(d \neq s_b)$
चूँकि सूची कोई भी थी, कोई भी क्रमांकित सूची शून्यों और इकाइयों के सभी अनुक्रमों को समाविष्ट नहीं करती: प्रत्येक सूची में कम से कम उसका अपना विकर्ण अनुक्रम नहीं होता।