एक वास्तविक चर के फलनों की सीमा

सीमा का विचार

बीजगणित और ज्यामिति यह अध्ययन करते हैं कि फलन प्रत्येक बिंदु पर क्या मान लेता है; कलन, इसके अतिरिक्त, यह अध्ययन करता है कि जब चर किसी बिंदु के निकट आता है तो उसके मानों के साथ क्या होता है, भले ही उस बिंदु पर फलन परिभाषित न हो। यह आवश्यकता पुरानी है। किसी वक्र के दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा की प्रवणता एक अंतर भागफल से परिकलित की जाती है; स्पर्श रेखा की प्रवणता वह मान होना चाहिए जो यह भागफल तब लेता है जब दोनों बिंदु एक हो जाते हैं, परंतु तब भागफल $\frac{0}{0}$ होता है, जो कोई संख्या नहीं है। इसी प्रकार, किसी गतिमान वस्तु का औसत वेग तय की गई दूरी और लगे समय का भागफल है, और किसी क्षण पर वेग वह मान है जिस तक यह भागफल तब पहुँचता है जब लगा समय घटते-घटते कुछ भी नहीं रह जाता। दोनों स्थितियों में फलन के मानों के बारे में पूछा जाता है, किसी ऐसे बिंदु के निकट जहाँ वह परिभाषित नहीं है।

एक सरल उदाहरण स्थिति को दिखाता है। निम्नलिखित फलन $x = 1$ पर परिभाषित नहीं है, क्योंकि वहाँ उसका हर शून्य हो जाता है; फिर भी, $1$ के निकट के बिंदुओं पर उसके मान $2$ के निकट हैं:

कारण यह है कि $x \neq 1$ के लिए अंश का गुणनखंडन $(x - 1)(x + 1)$ के रूप में होता है और भागफल $x + 1$ के बराबर होता है; $f$ का आलेख रेखा $y = x + 1$ है, जिसमें बिंदु $(1, 2)$ पर एक छेद है। तब कहा जाता है कि $f$ की सीमा, जब $x$, $1$ की ओर अग्रसर होता है, $2$ है, और लिखा जाता है:

अब, वाक्यांश “मान $2$ के निकट आते हैं” परिभाषा के रूप में काम नहीं आता, दो कारणों से। पहला कारण यह है कि निकट आना पर्याप्त नहीं है: जब $x$, $0.9$ से $0.99$ पर जाता है, तो $f$ का मान $3$ के भी निकट आता है, क्योंकि $1.99$ की $3$ से दूरी $1.9$ की दूरी से कम है, और फिर भी $3$ सीमा नहीं है। $2$ को जो बात अलग करती है वह यह है कि $f$ के मान उसके जितना चाहें उतना निकट पहुँच जाते हैं, न कि केवल पहले से अधिक निकट। दूसरा कारण यह है कि कोई तालिका सीमित संख्या में बिंदुओं की जाँच करती है, और फलन उनके बीच किसी और प्रकार से व्यवहार कर सकता है: फलन $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ का मान $0$ है, $x = 0.1$ पर, $x = 0.01$ पर और $\frac{1}{n}$ के रूप वाले सभी बिंदुओं पर, और फिर भी $0$ पर उसकी कोई सीमा नहीं है, क्योंकि उन बिंदुओं के बीच वह $-1$ और $1$ के बीच दोलन करता है; अभ्यास प्रश्न 3 यही बात $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ के लिए उसी युक्ति से सिद्ध करता है। यदि ऐसा है, तो परिभाषा को सभी निकटवर्ती बिंदुओं के बारे में एक साथ बात करनी चाहिए और संख्याओं से तय करना चाहिए कि “जितना चाहें उतना निकट” का अर्थ क्या है। इसके साधन निरपेक्ष मान, जो दूरियाँ मापता है, और त्रिभुज असमिका हैं, जिनका अध्ययन वास्तविक रेखा पर पाठ में किया गया है।

संचय बिंदु

सीमा को परिभाषित करने से पहले यह स्पष्ट करना होगा कि किन बिंदुओं पर उसके बारे में पूछना सार्थक है। बिंदु $a$ का फलन के प्रांत में होना आवश्यक नहीं है, जैसा कि ऊपर का उदाहरण दिखाता है; परंतु प्रांत के ऐसे बिंदु होने चाहिए जो $a$ के जितना चाहें उतना निकट हों, क्योंकि अन्यथा फलन के कोई मान देखने के लिए नहीं होंगे।

उदाहरण के लिए, $1$, $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ का संचय बिंदु है, जो उदाहरण वाले फलन का प्रांत है, यद्यपि वह उसका अवयव नहीं है। संवृत अंतराल $\icc{0}{1}$ का प्रत्येक बिंदु विवृत अंतराल $\ioo{0}{1}$ का संचय बिंदु है, अंत्य बिंदुओं सहित। $0$ संख्याओं $\frac{1}{n}$ के समुच्चय का संचय बिंदु है, जहाँ $n$ प्राकृत संख्या है, क्योंकि आर्किमिडीज़ गुण के अनुसार प्रत्येक $\delta > 0$ के लिए एक प्राकृत संख्या $n$ है जिसके लिए $\frac{1}{n} < \delta$। इसके विपरीत, समुच्चय $\mathbb{N}$ का कोई संचय बिंदु नहीं है: केंद्र $a$ और त्रिज्या $\frac{1}{2}$ वाले अंतराल में अधिक से अधिक एक प्राकृत संख्या $m$ होती है; यदि $m = a$, तो उसमें $a$ से अलग कोई प्राकृत संख्या नहीं है, और यदि $m \neq a$, तो त्रिज्या $\abs{m - a}$ वाले अंतराल में अब कोई भी नहीं है। शर्त $0 < \abs{x - a}$ अनिवार्य है; उसके बिना, $A$ का प्रत्येक अवयव $A$ का संचय बिंदु होता, क्योंकि $a$ पर केंद्रित प्रत्येक अंतराल में स्वयं $a$ होता है।

सीमा की परिभाषा

इन धारणाओं के साथ परिभाषा दी जा सकती है। वाक्यांश “$f(x)$, $L$ के जितना चाहें उतना निकट है” का अनुवाद इस प्रकार होता है: प्रत्येक दूरी $\varepsilon > 0$ के लिए, चाहे वह कितनी भी छोटी हो, $f$ के मान $\varepsilon$ से कम दूरी पर रहते हैं ($L$ से मापी गई), बशर्ते $x$ पर्याप्त रूप से $a$ के निकट हो, अर्थात् किसी दूरी $\delta > 0$ से कम पर, और $a$ के बराबर न हो।

ज्यामितीय रूप से, शर्त $\abs{f(x) - L} < \varepsilon$ कहती है कि आलेख का बिंदु $(x, f(x))$ रेखाओं $y = L - \varepsilon$ और $y = L + \varepsilon$ के बीच स्थित क्षैतिज पट्टी में है; शर्त $0 < \abs{x - a} < \delta$ कहती है कि $x$ केंद्र $a$ और त्रिज्या $\delta$ वाले अंतराल में है, परंतु उसका केंद्र नहीं है। परिभाषा को दो व्यक्तियों के बीच एक खेल के रूप में पढ़ा जा सकता है: पहले व्यक्ति द्वारा एक $\varepsilon$ प्रस्तावित किया जाता है, जो $L$ के चारों ओर की एक पट्टी की त्रिज्या है, और पट्टी जितनी चाहे उतनी संकरी हो; दूसरे व्यक्ति को एक ऐसे $\delta$ से प्रत्युत्तर देना होता है कि त्रिज्या $\delta$ वाले छिद्रित सामीप्य के ऊपर स्थित आलेख का भाग पट्टी के भीतर रहे। सीमा $L$ है यदि दूसरा व्यक्ति सभी चुनौतियों का प्रत्युत्तर दे सके।

उदाहरण परिभाषा की तीन विशेषताएँ दिखाता है जिन्हें ध्यान में रखना उचित है। पहली, $\delta$, $\varepsilon$ पर निर्भर करता है, और सामान्यतः बिंदु $a$ पर भी; यदि कोई $\delta$ किसी चुनौती का प्रत्युत्तर देता है, तो उससे छोटी कोई भी धनात्मक संख्या भी प्रत्युत्तर देती है, इसलिए एक ढूँढ लेना पर्याप्त है, और सबसे बड़े की आवश्यकता नहीं है। दूसरी, $a$ पर फलन का मान, यदि उसका अस्तित्व हो, कोई भूमिका नहीं निभाता: शर्त $0 < \abs{x - a}$ उसे बाहर रखती है, और इसीलिए $g$ की सीमा $1$ पर $1$ है, यद्यपि $g(1)$ का मान $\frac{5}{2}$ है। तीसरी, केवल वे $x$ गिने जाते हैं जो प्रांत में हैं; शेष की जाँच नहीं की जाती।

उदाहरण की विधि ही सामान्य विधि है: $\abs{f(x) - L}$ को इस प्रकार लिखा जाता है कि गुणनखंड $\abs{x - a}$ प्रकट हो, और शेष को परिबद्ध किया जाता है। जब शेष अचर नहीं होता, तो उसे परिबद्ध करने के लिए $\delta$ को पहले से किसी नियत मान तक सीमित किया जाता है, उदाहरण के लिए $\delta \leq 1$; यही निम्नलिखित उदाहरण की तकनीक है।

पाठ के आरंभ वाली सीमा इसी प्रकार सिद्ध होती है, और एक ऐसे प्रेक्षण के साथ जिसका प्रयोग अक्सर होगा: चूँकि परिभाषा बिंदु $a$ की जाँच नहीं करती, इसलिए $f$ के व्यंजक को उन बिंदुओं पर सरल किया जा सकता है जो $a$ से अलग हैं। $x \neq 1$ के लिए भागफल $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ का मान $x + 1$ है, और तब $\abs{f(x) - 2} = \abs{x - 1}$; $\delta = \varepsilon$ प्रत्युत्तर देता है। गुणनखंड $x - 1$ को हटाकर सरल करना ठीक इसलिए वैध है कि परिभाषा में $x$ का मान कभी $1$ नहीं होता।

परिमाणकों वाले कथन के रूप में परिभाषा

सीमा की परिभाषा बारी-बारी से आने वाले तीन परिमाणकों वाला एक कथन है: प्रत्येक $\varepsilon$ के लिए, $\delta$ विद्यमान है, प्रत्येक $x$ के लिए। इसकी तार्किक संरचना उन कथनों की है जिनका अध्ययन विधेय तर्क करता है, और इसे संभालना जानना सीमाओं के साथ काम का आधा भाग है। इससे दो परिणाम निकलते हैं।

पहला यह कि परिमाणकों का क्रम महत्त्वपूर्ण है। परिभाषा में $\delta$ को $\varepsilon$ जानने के बाद चुना जाता है, और इसीलिए वह उस पर निर्भर कर सकता है। यदि पहले $(\exists \delta > 0)$ और बाद में $(\forall \varepsilon > 0)$ लिखा जाता, तो एक ही $\delta$ को सभी $\varepsilon$ के लिए एक साथ काम आना पड़ता, जो कहीं अधिक प्रबल दावा है, जिसका अभिलक्षण अभ्यास प्रश्न 4 में माँगा गया है।

दूसरा यह कि परिभाषा का निषेध परिमाणकों के निषेध के नियमों से प्राप्त होता है: “प्रत्येक के लिए” का निषेध “कोई ऐसा... विद्यमान है जिसके लिए नहीं” है, और “विद्यमान है” का निषेध “प्रत्येक के लिए... नहीं” है। इस प्रकार प्राप्त होता है कि $L$ के सीमा न होने का क्या अर्थ है।

खेल की भाषा में, $L$ सीमा नहीं है यदि पहले व्यक्ति के पास कोई ऐसी चुनौती हो जिसका कोई भी प्रत्युत्तर काम न आए: प्रस्तावित $\delta$ कितना भी छोटा हो, छिद्रित सामीप्य में कोई ऐसा बिंदु है जिसका मान पट्टी से बाहर निकल जाता है। यह सिद्ध करने के लिए कि किसी फलन की $a$ पर कोई सीमा नहीं है, दिखाना होता है कि कोई भी वास्तविक संख्या $L$ सीमा नहीं है, जैसा कि हल किए गए प्रश्न 4 में किया गया है।

आधारभूत गुण

संकेतन $\lim_{x \to a} f(x) = L$ उस सीमा की बात करता है, मानो वह एक ही संख्या हो। इसके लिए एक प्रमाण चाहिए: कि दो अलग संख्याएँ एक साथ परिभाषा को संतुष्ट नहीं कर सकतीं। यहाँ यह माँग भूमिका निभाती है कि $a$ प्रांत का संचय बिंदु हो। यदि ऐसा न होता, तो एक ऐसा $\delta_0 > 0$ विद्यमान होता कि प्रांत का कोई भी $x$, $0 < \abs{x - a} < \delta_0$ को संतुष्ट न करता; सदा उसी $\delta_0$ से प्रत्युत्तर देने पर, परिभाषा का सप्रतिबंध प्रत्येक $L$ के लिए सत्य होता, क्योंकि उसका पूर्वपद कभी पूरा न होता, और प्रत्येक संख्या सीमा होती।

निम्नलिखित प्रमेयिका उस प्रेक्षण को औपचारिक रूप देती है जिसने भागफल $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ को सरल करने की अनुमति दी: $a$ पर सीमा केवल $a$ के निकट फलन के मानों पर निर्भर करती है, न कि उन मानों पर जो वह $a$ पर या उससे दूर लेता है।

निम्नलिखित दो गुण बताते हैं कि सीमा बिंदु के निकट फलन पर शर्तें लगाती है। पहला उसे परिबद्ध रहने के लिए बाध्य करता है; दूसरा, सीमा के शून्य न होने पर, सीमा का चिह्न रखने के लिए। दोनों पहले से चुने गए एक $\varepsilon$ के साथ परिभाषा लागू करके प्राप्त होते हैं, और सीमाओं का बीजगणित पर पाठ में गुणनफल और भागफल के नियमों को सिद्ध करने के साधन होंगे।

परिभाषा से किसी भी सीमा का मान सिद्ध किया जा सकता है, परंतु फलन की जटिलता के साथ काम बढ़ता जाता है। सीमाओं के बीजगणित पर पाठ, इससे आरंभ करके, योग, गुणनफल, भागफल, घातों और मूलों के नियम सिद्ध करता है, जो अधिकांश सीमाओं की गणना हर बार फिर से कोई $\delta$ खोजे बिना करने देते हैं।

हल किए गए प्रश्न

प्रश्न कठिनाई में आगे बढ़ते हैं: पहले तीन एक बहुपद, एक वर्गमूल और एक भागफल के लिए $\delta$ का निर्माण करते हैं, प्रत्येक $\abs{x - a}$ के साथ आने वाले गुणनखंड को परिबद्ध करने के अपने तरीके से; चौथा परिभाषा के निषेध से सिद्ध करता है कि एक सीमा का अस्तित्व नहीं है; और अंतिम वह सबसे बड़ा $\delta$ खोजता है जो दी गई चुनौती का प्रत्युत्तर देता है।

अभ्यास प्रश्न

प्रश्न कठिनाई में आगे बढ़ते हैं: पहले दो, अन्य बहुपदों के साथ, त्रिज्या को सीमित करने की तकनीक दोहराते हैं; तीसरा दोलन करने वाले एक फलन पर परिभाषा का निषेध लागू करता है; चौथा जाँचता है कि परिमाणकों का क्रम उलटने पर क्या होता है; और अंतिम एक ऐसे फलन का अध्ययन करता है जिसकी सीमा केवल एक बिंदु पर है। प्रत्येक के साथ एक संकेत है, जिसे प्रश्न का प्रयास करने के बाद ही खोलना उचित है।