Les entiers et leur représentation

Systèmes positionnels

La leçon Variables et mémoire a présenté la variable comme une case dotée d’un nom, d’un type et d’une valeur. Or la mémoire ne garde pas de chiffres décimaux : elle garde des bits, dont chacun vaut 0 ou 1, regroupés en octets de huit bits (la norme en exige au moins huit ; tous les systèmes actuels en utilisent exactement huit). Pour savoir quelles valeurs peut prendre une variable entière, il faut donc savoir comment on écrit un nombre avec deux chiffres seulement, et c’est ce que fait un système positionnel de base 2.

Dans un système positionnel de base $b$, chaque chiffre vaut selon la position qu’il occupe : le dernier multiplie $b^0 = 1$, celui d’avant $b^1$, celui d’avant encore $b^2$, et ainsi de suite. En base 10, $2026$ signifie $2 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 6 \cdot 10^0$. En base 2 les chiffres sont 0 et 1, et les poids sont les puissances de 2 : $1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, \ldots$ Il en découle la règle pour passer du binaire au décimal : on additionne les poids des positions où se trouve un 1.

Le chemin inverse, du décimal au binaire, se parcourt par divisions successives : on divise le nombre par 2, on note le reste (0 ou 1) et on recommence avec le quotient jusqu’à arriver à 0 ; les restes, lus du dernier au premier, sont les chiffres binaires. Pour 45 : $45 = 2 \cdot 22 + 1$, $22 = 2 \cdot 11 + 0$, $11 = 2 \cdot 5 + 1$, $5 = 2 \cdot 2 + 1$, $2 = 2 \cdot 1 + 0$, $1 = 2 \cdot 0 + 1$ ; lus à rebours, les restes donnent 101101, qui, avec deux zéros à gauche, est le motif de la figure. La raison en est que chaque reste est le chiffre des unités du nombre qu’on divise, et que chaque quotient est ce nombre décalé d’une position vers la droite. La même méthode vaut pour n’importe quelle base : pour la base 16 on divise par 16, et les restes de 10 à 15 s’écrivent avec les lettres a à f.

La base 16, ou hexadécimal, existe par commodité : comme $16 = 2^4$, chaque chiffre hexadécimal correspond exactement à quatre bits, et un octet s’écrit avec deux chiffres. Un nombre de 32 bits occupe trente-deux chiffres en binaire, qui se lisent mal, et seulement huit en hexadécimal, qui se convertissent en binaire sans calcul, chiffre par chiffre. C’est pourquoi les programmeurs lisent la mémoire en hexadécimal. Le fondement mathématique des systèmes positionnels s’étudie dans le cours Algèbre et géométrie I, dans la leçon « Systèmes de numération de position ».

C++ admet des entiers écrits directement dans ces bases : un littéral qui commence par 0b est en binaire, et un qui commence par 0x, en hexadécimal. À l’intérieur de tout littéral, on peut placer une apostrophe comme séparateur de chiffres, que le compilateur ignore et que le lecteur apprécie : 0b0010'1101, 1'000'000. En sortie, la spécification de format {:b} écrit un entier en binaire, {:x} en hexadécimal avec des minuscules et {:X} avec des majuscules ; le signe # ajoute le préfixe devant, et une largeur précédée d’un zéro complète avec des zéros à gauche.

#include <print>​int main(){    const int decimal{45};    const int binary{0b0010'1101};    const int hexadecimal{0x2d};    std::println("{} {} {}", decimal, binary, hexadecimal);    std::println("binaire : {:b}", decimal);    std::println("huit bits : {:08b}", decimal);    std::println("hexadécimal : {:x} {:X} {:#x}", decimal, decimal, decimal);}

45 45 45binaire : 101101huit bits : 00101101hexadécimal : 2d 2D 0x2d