Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Βασικές πράξεις με φυσικούς αριθμούς και σχέσεις διάταξης

Περίληψη

Αυτό το μάθημα ορίζει την πρόσθεση, τον πολλαπλασιασμό και την ύψωση σε δύναμη των φυσικών αριθμών με αφετηρία τον επόμενο των αξιωμάτων του Πεάνο, μέσω του θεωρήματος της αναδρομής, το οποίο εγγυάται ότι οι αναδρομικοί ορισμοί καθορίζουν μία μοναδική πράξη· δέχεται το μέρος του που αφορά την ύπαρξη, αποδεικνύει με επαγωγή το μέρος που αφορά τη μοναδικότητα και συνάγει τις ιδιότητες των πράξεων: την αντιμεταθετική, την προσεταιριστική και την επιμεριστική ιδιότητα και τον νόμο της διαγραφής. Ορίζει έπειτα τη σχέση διάταξης μέσω της πρόσθεσης, με τις ιδιότητες της τριχοτομίας, της μεταβατικότητας και της μονοτονίας, καθώς και τις αντίστροφες πράξεις, την αφαίρεση και τη διαίρεση, μαζί με τις συνθήκες υπό τις οποίες υπάρχουν. Η αρχή της μαθηματικής επαγωγής είναι το εργαλείο όλων των αποδείξεων.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να διατυπώνει το θεώρημα της αναδρομής και να γράφει με αυτό τους αναδρομικούς ορισμούς της πρόσθεσης, του πολλαπλασιασμού και της ύψωσης σε δύναμη των φυσικών αριθμών.
  2. Να αποδεικνύει με επαγωγή ιδιότητες των πράξεων με αφετηρία τους ορισμούς τους.
  3. Να ορίζει τη διάταξη των φυσικών μέσω της πρόσθεσης και να εφαρμόζει τις ιδιότητές της: την τριχοτομία, τη μεταβατικότητα και τη μονοτονία.
  4. Να αναγνωρίζει πότε υπάρχουν η αφαίρεση και η διαίρεση δύο φυσικών και να εκτελεί πράξεις με αυτές χωρίς να βγαίνει από τους φυσικούς.

Η πρόσθεση

Οι πράξεις με φυσικούς αριθμούς είναι γνωστές από το σχολείο· εδώ πρόκειται να θεμελιωθούν με μαθηματική ακρίβεια. Στο μάθημα για τα αξιώματα του Πεάνο οι φυσικοί ορίστηκαν με αφετηρία το 11 και την πράξη του επόμενου, η οποία αντιστοιχίζει σε κάθε φυσικό nn τον αμέσως επόμενο, S(n)S(n). Η πρόσθεση ορίζεται μέσω του επόμενου με δύο κανόνες: η πρόσθεση του 11 είναι η λήψη του επόμενου, και η πρόσθεση του επόμενου του mm είναι η λήψη του επόμενου του αθροίσματος με τον mm.

n+1=S(n),n+S(m)=S(n+m)n + 1 = S(n), \qquad n + S(m) = S(n + m)

Ένας ορισμός αυτού του είδους ονομάζεται αναδρομικός: ο πρώτος κανόνας καθορίζει την τιμή για το 11 και ο δεύτερος ανάγει κάθε περίπτωση στην προηγούμενη. Ωστόσο, το ότι δύο τέτοιοι κανόνες ορίζουν πράγματι μια πράξη περιέχει δύο διαφορετικούς ισχυρισμούς: ότι υπάρχει μια συνάρτηση που τους ικανοποιεί για όλους τους φυσικούς (ύπαρξη) και ότι δεν υπάρχουν δύο διαφορετικές συναρτήσεις που να τους ικανοποιούν (μοναδικότητα). Οι δύο μαζί αποτελούν το θεώρημα της αναδρομής, που οφείλεται στον Ντέντεκιντ: ο κύκλος μαθημάτων δέχεται το μέρος της ύπαρξης, όπως εξηγείται μετά το πλαίσιο, και αποδεικνύει το μέρος της μοναδικότητας. Διατυπώνεται σε γενική μορφή, ώστε να χρησιμεύσει και για τον πολλαπλασιασμό, για την ύψωση σε δύναμη και για τους αναδρομικούς ορισμούς των επόμενων μαθημάτων.

Γεγονός που δεχόμαστε χωρίς απόδειξη (θεώρημα της αναδρομής). Έστω XX ένα σύνολο και cc ένα στοιχείο του XX, και ας υποθέσουμε ότι δίνεται, για κάθε φυσικό nn, ένας κανόνας gng_n που αντιστοιχίζει σε κάθε στοιχείο του XX ένα άλλο στοιχείο του XX. Τότε υπάρχει μια συνάρτηση ff από το N\mathbb{N} στο XX τέτοια ώστε f(1)=cf(1) = c και f(S(n))=gn(f(n))f(S(n)) = g_n(f(n)) για κάθε φυσικό nn, και η συνάρτηση αυτή είναι μοναδική.

Η ύπαρξη γίνεται δεκτή σε αυτόν τον κύκλο μαθημάτων χωρίς απόδειξη. Η απόδειξή της απαιτεί να κατασκευαστεί η συνάρτηση ff ως σύνολο ζευγών: το μικρότερο σύνολο ζευγών που περιέχει το (1,c)(1, c) και που, μαζί με κάθε ζεύγος (n,x)(n, x), περιέχει το (S(n),gn(x))(S(n), g_n(x))· και να επαληθευτεί έπειτα, με επαγωγή, ότι σε κάθε φυσικό αντιστοιχεί σε αυτό ένα μοναδικό δεύτερο στοιχείο. Η κατασκευή αυτή ανήκει στη θεωρία συνόλων και δεν προσφέρει τίποτα στην αριθμητική που ακολουθεί. Η μοναδικότητα, αντίθετα, είναι άμεση συνέπεια του πέμπτου αξιώματος του Πεάνο.

ΛήμμαΜοναδικότητα της συνάρτησης που ορίζεται αναδρομικά

Αν δύο συναρτήσεις ff και hh από το N\mathbb{N} στο XX ικανοποιούν τις δύο συνθήκες του θεωρήματος της αναδρομής, τότε είναι ίσες. Το σχήμα αναπαριστά τις τιμές και των δύο στους πρώτους φυσικούς.

Απόδειξη

  1. A={n∈N:f(n)=h(n)}\dato{A}{A = \{ n \in \mathbb{N} : f(n) = h(n) \}}

    Έστω AA το σύνολο των φυσικών στους οποίους οι δύο συναρτήσεις συμπίπτουν. Αρκεί να αποδειχθεί ότι το AA είναι το σύνολο όλων των φυσικών.

  2. f(1)=c=h(1)f(1) = \resaltar{c} = h(1)

    Το 11 ανήκει στο AA, επειδή και οι δύο συναρτήσεις παίρνουν την τιμή cc στο 11.

  3. f(S(k))=gk(f(k))=gk(h(k))=h(S(k))f(S(k)) = g_k(\resaltar{f(k)}) = g_k(\resaltar{h(k)}) = h(S(k))

    Αν ο kk ανήκει στο AA, ανήκει και ο S(k)S(k): και οι δύο συναρτήσεις εφαρμόζουν τον ίδιο κανόνα gkg_k στην ίδια τιμή.

  4. A=N,(∀n∈N) (f(n)=h(n))A = \mathbb{N}, \quad (\forall n \in \mathbb{N})\,(f(n) = h(n))

    Από το πέμπτο αξίωμα του Πεάνο, το AA είναι το σύνολο όλων των φυσικών: οι δύο συναρτήσεις είναι ίσες.

Η πρόσθεση προκύπτει από το θεώρημα αν σταθεροποιήσουμε τον πρώτο προσθετέο nn και πάρουμε X=NX = \mathbb{N}, c=S(n)c = S(n) και, για κάθε mm, τον κανόνα gmg_m που αντιστοιχίζει σε κάθε φυσικό τον επόμενό του: η συνάρτηση ff που δίνει το θεώρημα είναι εκείνη που αντιστοιχίζει σε κάθε mm τον αριθμό n+mn + m, και οι δύο κανόνες της πρόσθεσης είναι οι δύο συνθήκες του θεωρήματος. Με τον ίδιο τρόπο, με c=nc = n και τον κανόνα που προσθέτει τον nn, προκύπτει ο πολλαπλασιασμός, και με c=bc = b και τον κανόνα που πολλαπλασιάζει επί bb, η ύψωση σε δύναμη. Η πρόσθεση του mm ισοδυναμεί, τελικά, με την εφαρμογή του επόμενου mm φορές.

ΠαράδειγμαΔύο και δύο κάνουν τέσσερα

Ο πιο γνωστός ισχυρισμός της αριθμητικής είναι ένα θεώρημα που αποδεικνύεται με τους δύο κανόνες της πρόσθεσης και τα ονόματα 2=S(1)2 = S(1), 3=S(2)3 = S(2) και 4=S(3)4 = S(3).

Απόδειξη

  1. 2+2=2+S(1)2 + 2 = 2 + S(1)

    Γράφουμε τον δεύτερο προσθετέο ως επόμενο του 11.

  2. 2+S(1)=S(2+1)2 + S(1) = S(2 + 1)

    Από τον δεύτερο κανόνα, η πρόσθεση ενός επόμενου είναι η λήψη του επόμενου του αθροίσματος.

  3. S(2+1)=S(S(2))S(2 + 1) = S(S(2))

    Από τον πρώτο κανόνα, η πρόσθεση του 11 είναι η λήψη του επόμενου.

  4. S(S(2))=S(3)=4S(S(2)) = S(3) = 4

    Επειδή S(2)=3S(2) = 3 και S(3)=4S(3) = 4, προκύπτει το αποτέλεσμα.

Από τους κανόνες της πρόσθεσης συνάγονται, με επαγωγή, οι ιδιότητές της. Για όλους τους φυσικούς aa, bb και cc:

  1. Αντιμεταθετική ιδιότητα: a+b=b+aa + b = b + a.
  2. Προσεταιριστική ιδιότητα: (a+b)+c=a+(b+c)(a + b) + c = a + (b + c). Γι’ αυτό μπορεί να γράφεται a+b+ca + b + c χωρίς παρενθέσεις.
  3. Νόμος της διαγραφής: αν a+c=b+ca + c = b + c, τότε a=ba = b.

Η αντιμεταθετική ιδιότητα αποδείχθηκε στο λυμένο πρόβλημα 5 του μαθήματος για τα αξιώματα του Πεάνο, και η προσεταιριστική είναι εκεί ένα από τα προτεινόμενα προβλήματα. Ο νόμος της διαγραφής αποδεικνύεται στο λυμένο πρόβλημα 1 αυτού του μαθήματος.