Οι φυσικοί αριθμοί και τα αξιώματα του Πεάνο

Τα αξιώματα του Πεάνο για τους φυσικούς αριθμούς

Οι φυσικοί αριθμοί, που λέγονται και θετικοί ακέραιοι, είναι αυτοί που χρησιμοποιούμε για να απαριθμούμε και να μετράμε. Εμφανίζονται με τον πιο φυσικό τρόπο στην πράξη της απαρίθμησης, την απλούστερη της αριθμητικής. Ορίζονται μέσω των αξιωμάτων του Πεάνο: δεχόμαστε ότι υπάρχει ένα σύνολο, που συμβολίζεται με $\mathbb{N}$ και του οποίου τα στοιχεία λέγονται φυσικοί αριθμοί, με ένα διακεκριμένο στοιχείο, το $1$, και μια συνάρτηση $S$, που λέγεται επόμενος, η οποία αντιστοιχίζει σε κάθε φυσικό $n$ έναν άλλο φυσικό $S(n)$, και ότι ισχύουν τα πέντε αξιώματα που ακολουθούν. Οι έννοιες του συνόλου, της συνάρτησης και της ένα προς ένα συνάρτησης που εμφανίζονται σε αυτά ορίζονται στο μάθημα για τα σύνολα, τις σχέσεις και τις συναρτήσεις.

1. Το $1$ είναι φυσικός αριθμός: $1 \in \mathbb{N}$.
2. Η $S$ είναι συνάρτηση από το $\mathbb{N}$ στο $\mathbb{N}$: αν ο $n$ είναι φυσικός αριθμός, τότε και ο επόμενός του $S(n)$ είναι φυσικός αριθμός.
3. Το $1$ δεν είναι επόμενος κανενός φυσικού αριθμού: $S(n) \neq 1$ για κάθε $n$ του $\mathbb{N}$.
4. Η $S$ είναι ένα προς ένα: αν $S(n) = S(m)$, τότε $n = m$.
5. Αν ένα σύνολο $A$ φυσικών αριθμών περιέχει το $1$ και, για κάθε $k$ του $A$, περιέχει επίσης το $S(k)$, τότε το $A$ είναι το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών: $A = \mathbb{N}$.

Μελετώντας τα αξιώματα του Πεάνο παρατηρούμε ότι το σύμβολο $1$ είναι απλώς μια αναπαράσταση που δείχνει έναν συγκεκριμένο φυσικό αριθμό: εκείνον που ικανοποιεί αυτές τις ιδιότητες. Όπως το $1$ αναπαριστά τον πρώτο φυσικό, χρησιμοποιούμε οικεία σύμβολα για να αναπαραστήσουμε τους επόμενούς του:

Έτσι, τα σύμβολα $2, 3, 4, \ldots$ είναι αφηρημένες οντότητες που αναπαριστούν τους διαδοχικούς επόμενους του $1$. Η συλλογή που σχηματίζουν το $1$ και όλοι αυτοί είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών:

Λέγεται επίσης ότι οι φυσικοί αριθμοί διατάσσονται σε μια ακολουθία, την ακολουθία των φυσικών αριθμών: