Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Αθροίσματα, πρόοδοι και επαγωγή

Περίληψη

Το μάθημα αυτό εισάγει τον συμβολισμό αθροίσματος και τις ιδιότητές του (γραμμικότητα, διάσπαση, μετατόπιση του δείκτη και αντιστροφή της σειράς των όρων) και τον εφαρμόζει στον υπολογισμό τηλεσκοπικών αθροισμάτων και των αθροισμάτων αριθμητικών και γεωμετρικών προόδων. Μελετά στη συνέχεια την ισχυρή επαγωγή και την αρχή της καλής διάταξης, αποδεικνύει ότι η επαγωγή συνεπάγεται και τις δύο, διευκρινίζει με ποια έννοια είναι ισοδύναμες με αυτήν και τις χρησιμοποιεί για να αποδείξει ότι κάθε φυσικός μεγαλύτερος από 11 είναι γινόμενο πρώτων.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να γράφει και να μετασχηματίζει αθροίσματα με τον συμβολισμό αθροίσματος, εφαρμόζοντας τις ιδιότητες της γραμμικότητας, της διάσπασης, της μετατόπισης του δείκτη και της αντιστροφής της σειράς των όρων.
  2. Να υπολογίζει τηλεσκοπικά αθροίσματα και να τα χρησιμοποιεί για να συνάγει, και όχι μόνο να επαληθεύει, τύπους αθροισμάτων.
  3. Να προσδιορίζει τον γενικό όρο και το άθροισμα των πρώτων όρων μιας αριθμητικής ή γεωμετρικής προόδου και να τα εφαρμόζει στην επίλυση προβλημάτων.
  4. Να αποδεικνύει με την ισχυρή επαγωγή και με την αρχή της καλής διάταξης, να συνάγει και τις δύο από την αρχή της μαθηματικής επαγωγής και να εξηγεί με ποια πρόσθετα γεγονότα η καλή διάταξη επιτρέπει να ανακτηθεί η επαγωγή.

Ο συμβολισμός αθροίσματος

Στο μάθημα για τα αξιώματα του Πεάνο εμφανίστηκαν αθροίσματα πολλών όρων που ακολουθούν έναν κανόνα, όπως το 1+2+⋯+n1 + 2 + \cdots + n. Τα αποσιωπητικά αφήνουν στον αναγνώστη το έργο να μαντέψει αυτόν τον κανόνα· ο συμβολισμός αθροίσματος τον δηλώνει ρητά. Αν οι am,am+1,…,ana_m, a_{m + 1}, \ldots, a_n είναι αριθμοί, με m≤nm \leq n, γράφουμε

∑k=mnak=am+am+1+⋯+an\sum_{k=m}^{n} a_k = a_m + a_{m + 1} + \cdots + a_n

και διαβάζουμε «το άθροισμα των aka_k για kk από mm έως nn». Το γράμμα kk είναι ο δείκτης του αθροίσματος· τα mm και nn είναι το κάτω και το άνω όριό του, και ο aka_k είναι ο γενικός όρος. Το άθροισμα έχει n−m+1n - m + 1 όρους. Ο δείκτης είναι βουβή μεταβλητή: η τιμή του αθροίσματος δεν εξαρτάται από το γράμμα με το οποίο τον ονομάζουμε, ώστε τα ∑k=1nk2\sum_{k=1}^{n} k^2 και ∑j=1nj2\sum_{j=1}^{n} j^2 είναι ο ίδιος αριθμός. Ο δείκτης διατρέχει φυσικούς αριθμούς· οι όροι, αντίθετα, μπορούν να είναι αριθμοί άλλου είδους. Στο μάθημα αυτό εμφανίζονται, εκτός από φυσικούς, ακέραιοι μαζί με τους αρνητικούς τους και κλάσματα, που τα κατασκευάζει η επόμενη ενότητα: εδώ χρησιμοποιούνται προκαταβολικά, και από αυτά χρησιμοποιούνται μόνο οι στοιχειώδεις κανόνες λογισμού και διάταξης (αντιμεταθετική, προσεταιριστική και επιμεριστική ιδιότητα, οι κανόνες των προσήμων, η αφαίρεση και η διαίρεση με αριθμό διάφορο του μηδενός). Οι ιδιότητες του αθροίσματος που ακολουθούν αποδεικνύονται με αυτούς τους κανόνες και ισχύουν, επομένως, για όρους οποιουδήποτε από αυτά τα είδη.

Όπως η πρόσθεση, ο πολλαπλασιασμός και η ύψωση σε δύναμη στο μάθημα για τις πράξεις με φυσικούς αριθμούς, το άθροισμα δέχεται έναν αναδρομικό ορισμό που δεν χρειάζεται αποσιωπητικά: το άθροισμα ενός μόνο όρου είναι ο όρος αυτός, και για να προσθέσουμε έναν όρο τον προσθέτουμε στο προηγούμενο αποτέλεσμα.

∑k=mmak=am,∑k=mn+1ak=∑k=mnak+an+1\sum_{k=m}^{m} a_k = a_m, \qquad \sum_{k=m}^{n + 1} a_k = \sum_{k=m}^{n} a_k + a_{n + 1}

Ο ορισμός αυτός αρχίζει από το mm, ενώ το θεώρημα της αναδρομής, όπως διατυπώθηκε, ορίζει συναρτήσεις από το 11. Αρκεί όμως να μετατοπίσουμε τον δείκτη: αντί για το άθροισμα έως το nn ορίζουμε το άθροισμα των qq πρώτων όρων αρχίζοντας από τον ama_m. Με αρχική τιμή ama_m και κανόνα gq(x)=x+am+qg_q(x) = x + a_{m + q}, το θεώρημα της αναδρομής δίνει μία μοναδική συνάρτηση FF από το N\mathbb{N} στους αριθμούς τέτοια ώστε F(1)=amF(1) = a_m και F(q+1)=F(q)+am+qF(q + 1) = F(q) + a_{m + q} για κάθε φυσικό qq. Για n≥mn \geq m ορίζουμε τότε το άθροισμα έως το nn ως την τιμή της FF στο πλήθος των όρων του, n−m+1n - m + 1, που είναι φυσικός επειδή m<n+1m < n + 1:

∑k=mnak=F(n−m+1)\sum_{k=m}^{n} a_k = F(n - m + 1)

Με n=mn = m προκύπτει F(1)=amF(1) = a_m, και με q=n−m+1q = n - m + 1, επειδή m+q=n+1m + q = n + 1, η ισότητα F(q+1)=F(q)+am+qF(q + 1) = F(q) + a_{m + q} είναι ακριβώς ο δεύτερος κανόνας του ορισμού. Επομένως, ο αναδρομικός ορισμός από το mm καθορίζει ένα μοναδικό άθροισμα για κάθε n≥mn \geq m, και αν m=1m = 1 συμπίπτει με εκείνο που δίνει απευθείας το θεώρημα της αναδρομής, επειδή τότε F(n)=∑k=1nakF(n) = \sum_{k=1}^{n} a_k.

Με αυτόν τον συμβολισμό, ο τύπος που αποδείχθηκε με επαγωγή στο μάθημα για τα αξιώματα του Πεάνο, ο τύπος του αθροίσματος των nn πρώτων φυσικών, γράφεται ως εξής:

∑k=1nk=n(n+1)2\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2}

Το άθροισμα των τετραγώνων, ∑k=1nk2\sum_{k=1}^{n} k^2, είναι το επόμενο βήμα, και το μάθημα αυτό δεν θα περιοριστεί στην επαλήθευσή του: η παράγραφος για τα τηλεσκοπικά αθροίσματα το συνάγει χωρίς να το γνωρίζει εκ των προτέρων.

Οι επαγωγές στο άνω όριο ενός αθροίσματος αρχίζουν από το κάτω όριο mm, που δεν είναι απαραίτητα ίσο με 11. Η αρχή της μαθηματικής επαγωγής των αξιωμάτων του Πεάνο, όμως, αρχίζει από το 11· για να αρχίσουμε από άλλον φυσικό χρειάζεται το ακόλουθο λήμμα.

ΛήμμαΕπαγωγή από έναν οποιονδήποτε φυσικό

Έστω n0n_0 ένας φυσικός. Αν μια ιδιότητα ισχύει για τον n0n_0 και, όταν δεχτούμε ότι ισχύει για έναν οποιονδήποτε φυσικό k≥n0k \geq n_0, ισχύει και για τον k+1k + 1, τότε η ιδιότητα αυτή ισχύει για όλους τους φυσικούς n≥n0n \geq n_0. Η ιδέα είναι να αριθμήσουμε εκ νέου τους φυσικούς από τον n0n_0 για να επιστρέψουμε στη συνήθη αρχή της επαγωγής. Χρησιμοποιούνται το λήμμα του μαθήματος για τις πράξεις με φυσικούς αριθμούς, σύμφωνα με το οποίο κάθε φυσικός διάφορος του 11 είναι επόμενος κάποιου, και η μονοτονία της πρόσθεσης. Στο σχήμα, n0=4n_0 = 4 και p=3p = 3: κάτω από κάθε φυσικό από τον n0n_0 και μετά φαίνεται ο νέος αριθμός του qq.

Απόδειξη

  1. n0=p+1,Q(q)↔P(p+q)n_0 = p + 1, \quad Q(q) \leftrightarrow P(p + q)

    Αν n0=1n_0 = 1, πρόκειται για την αρχή της επαγωγής. Αλλιώς, n0=p+1n_0 = p + 1 για κάποιον φυσικό pp, και θεωρούμε την ιδιότητα QQ που βεβαιώνει την PP για τον p+qp + q.

  2. Q(1)↔P(p+1)↔P(n0)Q(1) \leftrightarrow P(\resaltar{p + 1}) \leftrightarrow P(\resaltar{n_0})

    Η ιδιότητα QQ ισχύει για τον 11, επειδή η Q(1)Q(1) είναι η P(n0)P(n_0).

  3. P(p+q)→P((p+q)+1)=P(p+(q+1))P(p + q) \rightarrow P(\resaltar{(p + q) + 1}) = P(\resaltar{p + (q + 1)})

    Αν ισχύει η Q(q)Q(q), αφού 1≤q1 \leq q, από τη μονοτονία της πρόσθεσης είναι p+q≥p+1=n0p + q \geq p + 1 = n_0, και το δοσμένο βήμα εφαρμόζεται για k=p+qk = p + q: ισχύει η Q(q+1)Q(q + 1).

  4. n≥n0→(∃q∈N)(n=p+q)n \geq n_0 \rightarrow (\exists q \in \mathbb{N})(n = p + q)

    Από την αρχή της επαγωγής, η Q(q)Q(q) ισχύει για κάθε qq. Κάθε n≥n0n \geq n_0 είναι της μορφής p+qp + q: αν n=n0n = n_0, με q=1q = 1, και αν n=n0+ln = n_0 + l, με q=1+lq = 1 + l.

Ιδιότητες του αθροίσματος

Από τον αναδρομικό ορισμό συνάγονται, με επαγωγή στο άνω όριο, οι ακόλουθες ιδιότητες, που ισχύουν για οποιουσδήποτε όρους aka_k και bkb_k και για κάθε αριθμό cc:

  1. Γραμμικότητα: ∑k=mn(ak+bk)=∑k=mnak+∑k=mnbk\sum_{k=m}^{n} (a_k + b_k) = \sum_{k=m}^{n} a_k + \sum_{k=m}^{n} b_k και ∑k=mnc ak=c∑k=mnak\sum_{k=m}^{n} c\,a_k = c \sum_{k=m}^{n} a_k. Ειδικότερα, το να προσθέσουμε nn φορές μια σταθερά σημαίνει να την πολλαπλασιάσουμε επί nn: ∑k=1nc=nc\sum_{k=1}^{n} c = nc.
  2. Διάσπαση: αν m≤p<nm \leq p < n, τότε ∑k=mnak=∑k=mpak+∑k=p+1nak\sum_{k=m}^{n} a_k = \sum_{k=m}^{p} a_k + \sum_{k=p+1}^{n} a_k.
  3. Μετατόπιση του δείκτη: για κάθε φυσικό pp, ∑k=mnak=∑j=m+pn+paj−p\sum_{k=m}^{n} a_k = \sum_{j=m+p}^{n+p} a_{j - p}.
  4. Αντιστροφή της σειράς των όρων: ∑k=1nak=∑j=1nan+1−j\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{j=1}^{n} a_{n + 1 - j}.
ΘεώρημαΙδιότητες του αθροίσματος

Για οποιουσδήποτε όρους aka_k και bkb_k και για κάθε αριθμό cc, το άθροισμα είναι γραμμικό, διασπάται σε δύο διαδοχικά αθροίσματα, επιδέχεται μετατόπιση του δείκτη και αντιστροφή της σειράς των όρων, με τους όρους του προηγούμενου καταλόγου. Κάθε ιδιότητα αποδεικνύεται με επαγωγή στο άνω όριο, η οποία αρχίζει από το κάτω χάρη στο προηγούμενο λήμμα. Χρησιμοποιούνται μόνο ο αναδρομικός ορισμός και οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού· η αντιστροφή στηρίζεται επιπλέον στη διάσπαση και στη μετατόπιση.

Απόδειξη

  1. ∑k=mn+1(ak+bk)=∑k=mnak+∑k=mnbk+(an+1+bn+1)=∑k=mn+1ak+∑k=mn+1bk\sum_{k=m}^{n + 1} (a_k + b_k) = \resaltar{\sum_{k=m}^{n} a_k + \sum_{k=m}^{n} b_k} + (a_{n + 1} + b_{n + 1}) = \sum_{k=m}^{n + 1} a_k + \sum_{k=m}^{n + 1} b_k

    Γραμμικότητα. Για n=mn = m, και τα δύο μέλη ισούνται με am+bma_m + b_m. Αν ισχύει για nn, εφαρμόζονται ο αναδρομικός ορισμός, η επαγωγική υπόθεση και η προσεταιριστική και η αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης. Με τον ίδιο τρόπο, με την επιμεριστική ιδιότητα, αποδεικνύεται ότι ∑k=mnc ak=c∑k=mnak\sum_{k=m}^{n} c\,a_k = c \sum_{k=m}^{n} a_k, και ότι ∑k=1nc=nc\sum_{k=1}^{n} c = nc, επειδή nc+c=(n+1)cnc + c = (n + 1)c.

  2. ∑k=mp+1ak=∑k=mpak+ap+1=∑k=mpak+∑k=p+1p+1ak\sum_{k=m}^{p + 1} a_k = \sum_{k=m}^{p} a_k + \resaltar{a_{p + 1}} = \sum_{k=m}^{p} a_k + \resaltar{\sum_{k=p+1}^{p + 1} a_k}

    Διάσπαση, με σταθερό pp, με επαγωγή στο nn από το p+1p + 1. Για n=p+1n = p + 1 είναι ο αναδρομικός ορισμός, επειδή το άθροισμα ενός μόνο όρου είναι ο όρος αυτός.

  3. ∑k=mn+1ak=∑k=mpak+∑k=p+1nak+an+1=∑k=mpak+∑k=p+1n+1ak\sum_{k=m}^{n + 1} a_k = \resaltar{\sum_{k=m}^{p} a_k + \sum_{k=p+1}^{n} a_k} + a_{n + 1} = \dato{d}{\sum_{k=m}^{p} a_k + \sum_{k=p+1}^{n + 1} a_k}

    Αν η διάσπαση ισχύει για nn, προσθέτουμε τον όρο an+1a_{n + 1} και στα δύο μέλη και εφαρμόζουμε τον αναδρομικό ορισμό σε κάθε άθροισμα.

  4. ∑j=m+pn+1+paj−p=∑j=m+pn+paj−p+an+1=∑k=mnak+an+1=∑k=mn+1ak\sum_{j=m+p}^{n+1+p} a_{j - p} = \resaltar{\sum_{j=m+p}^{n+p} a_{j - p}} + a_{n + 1} = \resaltar{\sum_{k=m}^{n} a_k} + a_{n + 1} = \dato{s}{\sum_{k=m}^{n + 1} a_k}

    Μετατόπιση. Για n=mn = m, και τα δύο μέλη ισούνται με ama_m. Αν ισχύει για nn, επειδή το άνω όριο (n+p)+1(n + p) + 1 είναι (n+1)+p(n + 1) + p, εφαρμόζονται ο αναδρομικός ορισμός και η επαγωγική υπόθεση.

  5. ∑j=1n+1an+2−j=an+1+∑j=2n+1an+2−j=an+1+∑i=1nan+1−i\sum_{j=1}^{n + 1} a_{n + 2 - j} = a_{n + 1} + \resaltar{\sum_{j=2}^{n + 1} a_{n + 2 - j}} = a_{n + 1} + \resaltar{\sum_{i=1}^{n} a_{n + 1 - i}}

    Αντιστροφή, με επαγωγή στο nn. Για n=1n = 1, και τα δύο μέλη ισούνται με a1a_1. Αν ισχύει για nn, χωρίζουμε με τη διάσπαση τον πρώτο όρο του αντεστραμμένου αθροίσματος n+1n + 1 όρων και μετατοπίζουμε τον δείκτη κατά μία μονάδα, με j=i+1j = i + 1.

  6. an+1+∑i=1nan+1−i=an+1+∑k=1nak=∑k=1n+1aka_{n + 1} + \resaltar{\sum_{i=1}^{n} a_{n + 1 - i}} = a_{n + 1} + \resaltar{\sum_{k=1}^{n} a_k} = \sum_{k=1}^{n + 1} a_k

    Από την επαγωγική υπόθεση, το τελευταίο άθροισμα ισούται με ∑k=1nak\sum_{k=1}^{n} a_k· από την αντιμεταθετική ιδιότητα και τον αναδρομικό ορισμό, προκύπτει η αντιστροφή για n+1n + 1.

Η γραμμικότητα επιτρέπει να αναγάγουμε ένα περίπλοκο άθροισμα σε γνωστά αθροίσματα. Οι δύο τελευταίες ιδιότητες είναι αλλαγές μεταβλητής: η μετατόπιση θέτει k=j−pk = j - p και διατρέχει τους ίδιους όρους με άλλη αρίθμηση, και η αντιστροφή θέτει k=n+1−jk = n + 1 - j και τους διατρέχει από τον τελευταίο προς τον πρώτο. Το άθροισμα, όμως, δεν συμπεριφέρεται το ίδιο με το γινόμενο: το άθροισμα των γινομένων δεν είναι το γινόμενο των αθροισμάτων. Αρκεί ένα παράδειγμα με δύο όρους και ak=bk=ka_k = b_k = k:

∑k=12k⋅k=1+4=5≠9=(1+2)(1+2)\sum_{k=1}^{2} k \cdot k = 1 + 4 = 5 \neq 9 = (1 + 2)(1 + 2)
ΠρότασηΤο άθροισμα των πρώτων περιττών

Να αποδειχθεί ότι το άθροισμα των nn πρώτων περιττών αριθμών είναι n2n^2. Η γραμμικότητα ανάγει το άθροισμα σε δύο ήδη γνωστά, χωρίς να χρειάζεται νέα επαγωγή.

Απόδειξη

  1. 1+3+5+⋯+(2n−1)=∑k=1n(2k−1)1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = \dato{s}{\sum_{k=1}^{n} (2k - 1)}

    Ο περιττός που βρίσκεται στη θέση kk είναι ο 2k−12k - 1: ο πρώτος είναι ο 11, ο δεύτερος ο 33 και ο περιττός στη θέση nn είναι ο 2n−12n - 1. Το ζητούμενο άθροισμα γράφεται ως εξής.

  2. ∑k=1n(2k−1)=2∑k=1nk−∑k=1n1\sum_{k=1}^{n} \resaltar{(2k - 1)} = \resaltar{2 \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1}

    Από τη γραμμικότητα, το άθροισμα διασπάται σε δύο: το διπλάσιο του αθροίσματος των kk, μείον το άθροισμα nn μονάδων.

  3. 2∑k=1nk−∑k=1n1=n(n+1)−n2 \resaltar{\sum_{k=1}^{n} k} - \resaltar{\sum_{k=1}^{n} 1} = \resaltar{n(n + 1)} - \resaltar{n}

    Το πρώτο άθροισμα είναι το άθροισμα των nn πρώτων φυσικών, n(n+1)2\frac{n(n + 1)}{2}, και ο παράγοντας 22 απαλείφει τον παρονομαστή του· το δεύτερο προσθέτει nn φορές τον αριθμό 11.

  4. n(n+1)−n=n2+n−n=n2\resaltar{n(n + 1)} - n = \resaltar{n^2 + n} - n = n^2

    Αναπτύσσουμε το γινόμενο· οι όροι nn και −n-n αλληλοαναιρούνται.

  5. k2−(k−1)2=2k−1k^2 - (k - 1)^2 = 2k - 1

    Το σχήμα δείχνει το γιατί: κάθε περιττός είναι η διαφορά δύο διαδοχικών τετραγώνων, ο γνώμονας που μετατρέπει το τετράγωνο πλευράς k−1k - 1 στο τετράγωνο πλευράς kk.