Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Όριο και συνέχεια

Περίληψη

Το μάθημα αυτό οδηγεί τα όρια στην πρώτη δομική τους συνέπεια, τη συνέχεια, την οποία το μάθημα που ακολουθεί επεκτείνει σε όλες τις στοιχειώδεις συναρτήσεις. Μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο όταν η τιμή της εκεί είναι αυτή που προαναγγέλλουν οι κοντινές τιμές· με τα όρια των μαθημάτων που προηγήθηκαν, η ιδέα αυτή γράφεται ως η γνωστή πρόκληση και απόκριση, με μία μόνο διαφορά: το ίδιο το σημείο δεν εξαιρείται πια. Από αυτό έπεται ότι η συνέχεια σε ένα σημείο συσσώρευσης ισοδυναμεί με το να υπάρχει το όριο και να ισούται με την τιμή, και ότι σχεδόν όλα τα θεωρήματά της κληρονομούνται από την άλγεβρα των ορίων χωρίς νέα απόδειξη. Οι ασυνέχειες ταξινομούνται σε αιρόμενες, ασυνέχειες άλματος και ουσιώδεις, και οι αιρόμενες επιδιορθώνονται με την επέκταση κατά συνέχεια. Το μόνο νέο επιχείρημα είναι εκείνο της σύνθεσης, όπου η συνέχεια κάνει περισσότερα από το όριο: απαλείφει την παραδοχή που απαιτούσε το θεώρημα της σύνθεσης ορίων και επιτρέπει να περάσει το όριο μέσα σε μια συνεχή συνάρτηση.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να ορίζει τη συνέχεια σε ένα σημείο, από μία πλευρά και σε ένα διάστημα, και να τη συσχετίζει με το όριο.
  2. Να ταξινομεί τις ασυνέχειες σε αιρόμενες, ασυνέχειες άλματος και ουσιώδεις, και να επεκτείνει κατά συνέχεια μια συνάρτηση με αιρόμενη ασυνέχεια.
  3. Να αποδεικνύει τη συνέχεια των αθροισμάτων, των γινομένων, των πηλίκων, των ριζών και των συνθέσεων συνεχών συναρτήσεων, και να συνάγει από αυτήν τη συνέχεια των πολυωνύμων, των ρητών συναρτήσεων και των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
  4. Να υπολογίζει όρια περνώντας τα μέσα σε μια συνεχή συνάρτηση, και να μελετά συναρτήσεις συνεχείς σε ένα μόνο σημείο ή σε κανένα.

Ορισμός

Στο μάθημα για το όριο συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής, ο ορισμός απέκλειε σκόπιμα το σημείο aa: το όριο περιγράφει τι συμβαίνει κοντά στο aa, όχι στο aa, και η συνάρτηση μπορεί να μην ορίζεται εκεί. Η συνέχεια συγκρίνει τα δύο: τι συμβαίνει κοντά και τι συμβαίνει στο ίδιο το σημείο.

ΟρισμόςΣυνάρτηση συνεχής σε σημείο

Έστω ff μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα σύνολο AA και aa ένα στοιχείο του AA. Λέμε ότι η ff είναι συνεχής στο aa αν για κάθε ε>0\varepsilon > 0 υπάρχει ένα δ>0\delta > 0 τέτοιο ώστε κάθε xx του AA που ικανοποιεί την ∣x−a∣<δ\abs{x - a} < \delta να ικανοποιεί επίσης την ∣f(x)−f(a)∣<ε\abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon:

(∀ε>0)(∃δ>0)(∀x∈A)(∣x−a∣<δ→∣f(x)−f(a)∣<ε)(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon\right)

Αν η ff δεν είναι συνεχής στο aa, λέμε ότι είναι ασυνεχής στο aa. Αν είναι συνεχής σε όλα τα σημεία ενός συνόλου SS που περιέχεται στο AA, λέμε ότι είναι συνεχής στο SS· και αν είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού της, λέμε απλώς ότι είναι συνεχής.

Ο ορισμός διαφέρει από τον ορισμό του ορίου σε τρία σημεία. Ο αριθμός τον οποίο πρέπει να πλησιάζουν οι τιμές δεν είναι ένα οποιοδήποτε LL, αλλά το f(a)f(a)· γι’ αυτό το aa πρέπει να ανήκει στο πεδίο ορισμού. Η απόκριση ∣x−a∣<δ\abs{x - a} < \delta δεν αποκλείει το x=ax = a, αν και η συμπερίληψή του δεν κοστίζει τίποτα, αφού ∣f(a)−f(a)∣=0\abs{f(a) - f(a)} = 0. Και δεν απαιτείται το aa να είναι σημείο συσσώρευσης του AA. Η άρνηση προκύπτει όπως στο μάθημα για το όριο: η ff είναι ασυνεχής στο aa αν υπάρχει ένα ε>0\varepsilon > 0 τέτοιο ώστε, για κάθε δ>0\delta > 0, να υπάρχει ένα xx του AA με ∣x−a∣<δ\abs{x - a} < \delta και ∣f(x)−f(a)∣≥ε\abs{f(x) - f(a)} \geq \varepsilon.

ΠρότασηΣυνέχεια και όριο

Έστω ff μια συνάρτηση ορισμένη στο AA και aa ένα στοιχείο του AA. Αν το aa είναι σημείο συσσώρευσης του AA, τότε η ff είναι συνεχής στο aa αν και μόνο αν lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a). Αν το aa είναι μεμονωμένο σημείο του AA, τότε η ff είναι συνεχής στο aa. Οι δύο ορισμοί απαιτούν το ίδιο εκτός από το σημείο aa, όπου η συνέχεια ισχύει από μόνη της. Στο σχήμα, η λωρίδα περιβάλλει την τιμή f(a)f(a), που τώρα είναι γεμάτη κουκκίδα του γραφήματος· στο τέλος, ένα μεμονωμένο σημείο του πεδίου ορισμού.

Απόδειξη

  1. 0<∣x−a∣<δ→∣x−a∣<δ→∣f(x)−f(a)∣<ε0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{x - a} < \delta \rightarrow \resaltar{\abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon}

    Αν η ff είναι συνεχής στο aa, η απόκριση δ\delta σε κάθε πρόκληση ε\varepsilon ισχύει ειδικότερα για τα xx με 0<∣x−a∣<δ0 < \abs{x - a} < \delta: είναι απόκριση για το όριο, με L=f(a)L = f(a).

  2. x=a→∣f(a)−f(a)∣=0<εx = a \rightarrow \abs{f(a) - f(a)} = \resaltar{0} < \varepsilon

    Αντίστροφα, αν το όριο είναι f(a)f(a), η απόκριση του ορίου καλύπτει τα xx που διαφέρουν από το aa, και στο x=ax = a η συνθήκη ισχύει πάντα: είναι απόκριση για τη συνέχεια.

  3. ∣x−a∣<δ∧x∈A→x=a→∣f(x)−f(a)∣=0<ε\abs{x - a} < \delta \wedge x \in A \rightarrow x = a \rightarrow \abs{f(x) - f(a)} = 0 < \varepsilon

    Αν το aa είναι μεμονωμένο σημείο, υπάρχει ένα δ>0\delta > 0 τέτοιο ώστε το μόνο στοιχείο του AA με ∣x−a∣<δ\abs{x - a} < \delta να είναι το ίδιο το aa. Αυτό το δ\delta ανταποκρίνεται σε όλες τις προκλήσεις συγχρόνως.

Επομένως, σε ένα σημείο συσσώρευσης του πεδίου ορισμού, η συνέχεια συνίσταται σε τρία πράγματα: να είναι η ff ορισμένη στο aa, να έχει όριο στο aa και το όριο αυτό να είναι f(a)f(a). Καθένα μπορεί να αποτύχει χωριστά, και από αυτό προκύπτει η ταξινόμηση των ασυνεχειών. Για παράδειγμα, η συνάρτηση που ισούται με 11 σε κάθε x≠0x \neq 0 και με 00 στο x=0x = 0, από το αντιπαράδειγμα της σύνθεσης στο μάθημα για την άλγεβρα των ορίων, έχει όριο 11 στο 00, διαφορετικό από την τιμή της: είναι ασυνεχής στο 00.