Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Μαθηματικά και λογική: σύνθεση και προκλήσεις

Περίληψη

Το μάθημα αυτό κλείνει την τέταρτη ενότητα του μαθήματος, που είναι αφιερωμένη στα μαθηματικά και στη λογική. Ανασυνθέτει την αλυσίδα αρχών και μηχανισμών που οδηγεί από τη μαθηματική κατάσταση στα δένδρα παραγωγής, δείχνοντας σε κάθε κρίκο ποια αρχή χρησιμοποιείται και σε ποιο μάθημα θεμελιώνεται· τοποθετεί όσα επιτεύχθηκαν απέναντι στο σχέδιο του μαθήματος και διευκρινίζει ποια ζητήματα, μόλις προαναγγελμένα, μένουν για τις επόμενες ενότητες· επαναλαμβάνει στην τελική αξιολόγηση τις δεξιότητες της αρχικής· και τελειώνει με έξι προκλήσεις, δυσκολότερες από τα προβλήματα των μαθημάτων, που απαιτούν να συνδυαστούν πολλά από αυτά για να συνταχθούν σημειώσεις με προτάσεις, απόδειξη και παραπομπές, να διαγνωστούν έγγραφα που μεταγλωττίζονται με ελαττώματα που τίποτε δεν καταγγέλλει, να μεταφερθεί ένας λογικός συμβολισμός από μια παράδοση σε άλλη, να κατασκευαστεί και να διορθωθεί μια παραγωγή με πολλούς κλάδους, να προβλεφθούν η αρίθμηση και τα μεγέθη μιας εργασίας φυσικής, και να ενωθούν δύο ασύμβατα προοίμια.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να ανασυνθέτει τη σειρά των μηχανισμών της ενότητας, αναγνωρίζοντας την αρχή στην οποία στηρίζεται ο καθένας.
  2. Να εξηγεί γιατί τόσα ελαττώματα της μαθηματικής γραφής μεταγλωττίζονται χωρίς προειδοποίηση, και πού να αναζητά το ίχνος τους στο αποτέλεσμα ή στο αρχείο καταγραφής.
  3. Να διακρίνει όσα θεμελίωσε η ενότητα από όσα μόνο προανήγγειλε και θα αναπτύξουν οι επόμενες ενότητες.
  4. Να προβλέπει τους αριθμούς, τις παραπομπές και τα μεγέθη που παράγει ένας πηγαίος κώδικας με εξισώσεις, προτάσεις και μονάδες, και να τον διορθώνει.
  5. Να σχεδιάζει ένα προοίμιο που ορίζει τον συμβολισμό, τις προτάσεις και τη σειρά φόρτωσης των πακέτων μιας εργασίας, και που επιτρέπει να αλλάξει η σύμβαση χωρίς να αγγιχτεί το σώμα.

Όσα πέτυχε η ενότητα

Η ενότητα έθεσε ως σκοπό να στοιχειοθετείται κάθε σύμβολο ενός τύπου σύμφωνα με αυτό που σημαίνει, και να είναι ο συμβολισμός μιας εργασίας ο ίδιος σε όλες τις σελίδες της. Ο σκοπός εκπληρώθηκε στηριγμένος σε όσα η εισαγωγή δήλωσε γνωστά από τις προηγούμενες ενότητες: τις παραπομπές, που εξαρτώνται από ό,τι καταγράφει μια ετικέτα· τις δικές μας εντολές, που συγκεντρώνουν στο προοίμιο τις αποφάσεις μορφής· και την ανάγνωση του αρχείου καταγραφής. Έτσι, ο δρόμος που διανύθηκε μπορεί να διαβαστεί ως μία αλυσίδα σε πέντε τμήματα.

Τύποι μέσα στη γραμμή και σε ξεχωριστή γραμμή

Το μάθημα για τους τύπους μέσα στη γραμμή και σε ξεχωριστή γραμμή θεμελίωσε την αρχή από την οποία εξαρτώνται σχεδόν όλες οι άλλες: στη μαθηματική κατάσταση τα κενά του πηγαίου κώδικα δεν μετρούν, και η μηχανή χωρίζει κάθε σύμβολο ανάλογα με την κατηγορία του, συνηθισμένο, δυαδική πράξη, σχέση, στίξη, άνοιγμα ή κλείσιμο. Από αυτήν συνήγαγε γιατί μια μεταβλητή δεν γράφεται με \textit, γιατί το $3,5$ δίνει «3, 5» και γιατί η στίξη της πρότασης μπαίνει έξω από τον τύπο μέσα στη γραμμή. Έδειξε ότι στο LuaLaTeX ένα ελληνικό γράμμα έξω από την κατάστασή του δεν προκαλεί σφάλμα, αλλά εξαφανίζεται ή εμφανίζεται ανεξέλεγκτα, με μία μόνο γραμμή «Missing character» στο αρχείο καταγραφής· έστιξε τον τύπο σε ξεχωριστή γραμμή ως μέρος της πρότασης, χωρίς κενές γραμμές και χωρίς $$· αρίθμησε με equation, \eqref, \numberwithin και \tag· διέκρινε το \text από το \mathrm· και μελέτησε την υποδιαστολή, που το babel στα ελληνικά δεν βάζει (αντίθετα από την ισπανική ενότητα, που κάνει κόμμα την τελεία μπροστά σε ψηφίο), τη μορφή {,}, το πακέτο icomma και το πακέτο siunitx, που χρειάζεται δική του δήλωση του διαχωριστικού.

Σύμβολα και συμβολισμός

Το μάθημα για τα σύμβολα και τον συμβολισμό ξεκίνησε από έναν κανόνα ομαδοποίησης: τα ^ και _ δρουν σε ένα μόνο στοιχείο ή σε μια ομάδα μέσα σε άγκιστρα. Διέτρεξε κλάσματα, ρίζες, ελληνικά γράμματα και αλφάβητα, ανάμεσά τους τους συνδυασμούς που με το fontspec χάνονται χωρίς σφάλμα, όπως το \mathbf{\Gamma}· τους τελεστές με όνομα, που το babel στα ελληνικά αφήνει όπως είναι (τα σχολικά ημ, συν και εφ δηλώνονται με \DeclareMathOperator), και όσα αλλάζει σε αυτούς το babel στα ισπανικά, η πιο χαρακτηριστική περίπτωση ανάμεσα στις γλώσσες που επεμβαίνουν (\lim με τόνο, νέο \sen, άθικτο \sin), και όσα καταργεί το es-minimal· τους μεγάλους τελεστές, τους οριοθέτες και τα μεγέθη τους· την αναζήτηση ενός άγνωστου συμβόλου· και το unicode-math, με τις τέσσερις προφυλάξεις του. Τελείωσε μεταφέροντας τον συμβολισμό στο προοίμιο, σε δικές μας εντολές που αποφασίζονται μία φορά.

Εξισώσεις πολλών γραμμών

Το μάθημα για τις εξισώσεις πολλών γραμμών αντικατέστησε τους στοιβαγμένους τύπους και το eqnarray με το align, με το & πριν από τη σχέση, και θεμελίωσε ότι ένα περιβάλλον στοίχισης είναι πίνακας: μία γραμμή για κάθε \\ και ένα κελί για κάθε τμήμα ανάμεσα σε δύο &. Από αυτό συνήγαγε τα σιωπηλά του ελαττώματα (το =&, το περιττό &, τη διπλή ανάποδη κάθετο στο τέλος που αριθμεί μια κενή γραμμή, την ετικέτα σε γραμμή με \notag) και τα θορυβώδη σφάλματά του· διάλεξε ανάμεσα στα gather, multline, split, aligned και gathered ανάλογα με τον αριθμό που πρέπει να φέρει το σύνολο· στοιχειοθέτησε ορισμούς κατά κλάδους με cases και dcases, κείμενο με \intertext, πίνακες και επαυξημένους πίνακες· αρίθμησε ομάδες με subequations και επέτρεψε την αλλαγή σελίδας.

Θεωρήματα και αποδείξεις

Το μάθημα για τα θεωρήματα και τις αποδείξεις μετέφερε στις προτάσεις την ιδέα να δηλώνουμε αντί να μιμούμαστε: με το amsthm, η \newtheorem ορίζει την επικεφαλίδα, τον αριθμό και το στυλ κάθε είδους πρότασης. Συνήγαγε πότε ταιριάζει ο κοινός μετρητής και πότε οι χωριστοί, πότε η αρίθμηση ανά ενότητα ή ανά κεφάλαιο, και ποιο στυλ αντιστοιχεί σε ό,τι βεβαιώνεται, σε ό,τι ορίζεται κατά σύμβαση και σε ό,τι συνοδεύει. Στοιχειοθέτησε τις αποδείξεις με proof, του οποίου η επικεφαλίδα προέρχεται από το babel, και διόρθωσε με \qedhere το ορφανό τετράγωνο· παρέπεμψε με το cleveref, φορτωμένο μετά το amsthm, με μία \crefname για κάθε περιβάλλον, και ανακάλυψε ότι με τον κοινό μετρητή της \newtheorem το cleveref ονομάζει «θεώρημα» κάθε πρόταση, ελάττωμα που διορθώνει το thmtools.

Λογική και παραγωγές

Το μάθημα για τη λογική και τις παραγωγές χώρισε τη γλώσσα-αντικείμενο από τη μεταγλώσσα, με το \to απέναντι στο \Rightarrow και τα σύμβολα \vdash, \models και \equiv· εφάρμοσε την αρχή της κατηγορίας του συμβόλου στην περισπωμένη της άρνησης, στην κάθετο των συνόλων και στη διπλή τελεία των συναρτήσεων· πρότεινε μία εντολή για κάθε σύνδεσμο, χωρίς ορίσματα για να αλλάζουν τα σύμβολα και με ορίσματα για να αλλάζει η σύνταξη· συγκέντρωσε τα πακέτα των τροπικών συμβόλων· στοιχειοθέτησε πίνακες αληθείας με array· και κατασκεύασε δένδρα φυσικής παραγωγής με το bussproofs, του οποίου η λογική της στοίβας εξηγεί τα δύο σφάλματά του, μαζί με τα κουτιά Fitch και τα επιχειρήματα σε κανονική μορφή.

Το σχήμα που ακολουθεί ενώνει τα πέντε τμήματα σε μία αλυσίδα. Κάθε κόμβος της στήλης είναι ένας μηχανισμός ή ένας κανόνας, αριθμημένος κατά τη σειρά με την οποία στηρίζονται ο ένας στον άλλον και ενωμένος με ένα τόξο με τους προηγούμενους κρίκους που χρησιμοποιεί· γύρω τους αιωρούνται τα στηρίγματα, δηλαδή οι αρχές στις οποίες η αλυσίδα καταφεύγει ξανά και ξανά, καθένα ενωμένο με συνεχή γραμμή με τους κρίκους που στηρίζονται σε αυτό και με διακεκομμένη με τον κρίκο όπου θεμελιώνεται, εκτός από όσα θεμελιώθηκαν σε προηγούμενες ενότητες, που σχεδιάζονται ως δακτύλιοι. Πατώντας ένα στήριγμα τονίζονται όλοι οι κρίκοι που το χρησιμοποιούν, και κάθε κρίκος παραπέμπει στο μάθημα όπου μελετάται.

Στηρίγματα της αλυσίδας

  • AΤι καταγράφει μια ετικέτα. Μια ετικέτα καταγράφει τον τελευταίο αριθμό που αποδόθηκε πριν από αυτήν, μέσα στο περιβάλλον της, χωρίς να ξέρει σε τι είναι προσαρτημένη. Θεμελιώνεται στην προηγούμενη ενότητα. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • BΔικές μας εντολές. Μια δική μας εντολή ονομάζει μια λειτουργία, και ο ορισμός της, γραμμένος μία φορά στο προοίμιο, ορίζει τη μορφή της· αν αλλάξει, αλλάζει όλο το έγγραφο. Θεμελιώνεται στην προηγούμενη ενότητα. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • CΣειρά φόρτωσης. Τα πακέτα φορτώνονται με τη σειρά που διαβάζονται, και ένα μεταγενέστερο προσαρμόζει, διατηρεί ή αναιρεί ό,τι έκανε ένα προγενέστερο. Θεμελιώνεται στην προηγούμενη ενότητα. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • DΗ κατηγορία του συμβόλου. Στη μαθηματική κατάσταση η μηχανή χωρίζει κάθε σύμβολο ανάλογα με την κατηγορία του (συνηθισμένο, δυαδική πράξη, σχέση, στίξη, άνοιγμα, κλείσιμο) και αγνοεί τα κενά του πηγαίου κώδικα. Θεμελιώνεται στον κρίκο: 1. Δύο καταστάσεις.
  • EΌ,τι εξαφανίζεται χωρίς σφάλμα. Στο LuaLaTeX, ένα σύμβολο που δεν περιέχει η γραμματοσειρά σε χρήση δεν σταματά τη μεταγλώττιση: εξαφανίζεται, και αφήνει μόνο μια γραμμή «Missing character» στο αρχείο καταγραφής. Θεμελιώνεται στον κρίκο: 2. Σύμβολα στη λάθος κατάσταση.
  • FΈνα στοιχείο ή μια ομάδα. Οι δείκτες, οι εκθέτες και τα ορίσματα δρουν στο στοιχείο που ακολουθεί ή σε μια ομάδα μέσα σε άγκιστρα, που δεν τυπώνονται. Θεμελιώνεται στον κρίκο: 6. Δείκτες και εκθέτες.
  • GΜια στοίχιση είναι πίνακας. Ένα περιβάλλον στοίχισης φτιάχνει μία γραμμή για κάθε \\ και ένα κελί για κάθε τμήμα ανάμεσα σε δύο &, ακόμη κι αν η γραμμή μείνει κενή. Θεμελιώνεται στον κρίκο: 11. Στοίχιση με align.
  • HΗ στοίβα των δένδρων. Ένα συμπέρασμα με n προκείμενες παίρνει τα n τελευταία δένδρα της στοίβας και επιστρέφει ένα· η απόδειξη τυπώνεται αν στο τέλος μένει ακριβώς ένα. Θεμελιώνεται στον κρίκο: 23. Δένδρα παραγωγής.

  1. Τμήμα 1 Τύποι μέσα στη γραμμή και σε ξεχωριστή γραμμή

    • Να προβλέπει το αποτέλεσμα ενός συμβόλου, μιας μεταβλητής ή μιας λέξης γραμμένων στη λάθος κατάσταση.
    • Να στίζει τους τύπους μέσα στη γραμμή και σε ξεχωριστή γραμμή ως μέρη της πρότασης.
    • Να αριθμεί τους τύπους σε ξεχωριστή γραμμή και να παραπέμπει σε αυτούς.
    • Να γράφει δεκαδικούς και μεγέθη κατά την ελληνική πρακτική, με το siunitx ή χωρίς αυτό.

    1. Δύο καταστάσεις. Στη μαθηματική κατάσταση τα γράμματα είναι μεταβλητές, τα κενά του πηγαίου κώδικα δεν μετρούν, την απόσταση την αποφασίζει η κατηγορία κάθε συμβόλου και δεν επιτρέπεται κενή γραμμή.

      Στηρίζεται σε: D (Η κατηγορία του συμβόλου). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Τύποι μέσα στη γραμμή και σε ξεχωριστή γραμμή.

    2. Σύμβολα στη λάθος κατάσταση. Ένα _ στο κείμενο δίνει «Missing $ inserted»· το \alpha έξω από τύπο εξαφανίζεται ή εμφανίζεται κολλημένο· μια λέξη μέσα σε τύπο είναι γινόμενο μεταβλητών και μπαίνει σε \text ή σε \mathrm, που δεν είναι εναλλάξιμα.

      Χρησιμοποιεί: 1. Δύο καταστάσεις. Στηρίζεται σε: E (Ό,τι εξαφανίζεται χωρίς σφάλμα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Τύποι μέσα στη γραμμή και σε ξεχωριστή γραμμή.

    3. Ο τύπος μέσα στην πρόταση. Ο τύπος μέσα στη γραμμή περιορίζει το ύψος του και αφήνει έξω τη στίξη της πρότασης· ο τύπος σε ξεχωριστή γραμμή στίζεται μέσα, χωρίς κενές γραμμές, με \[…\] ή equation και ποτέ με $$.

      Χρησιμοποιεί: 1. Δύο καταστάσεις. Στηρίζεται σε: D (Η κατηγορία του συμβόλου). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Τύποι μέσα στη γραμμή και σε ξεχωριστή γραμμή.

    4. Αρίθμηση και παραπομπή. Το equation αριθμεί και η ετικέτα του μπαίνει μέσα· η \eqref βάζει τις παρενθέσεις· η \numberwithin αριθμεί ανά ενότητα· η \tag βάζει μια ένδειξη χωρίς να καταναλώνει αριθμό.

      Χρησιμοποιεί: 3. Ο τύπος μέσα στην πρόταση. Στηρίζεται σε: A (Τι καταγράφει μια ετικέτα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Τύποι μέσα στη γραμμή και σε ξεχωριστή γραμμή.

    5. Η υποδιαστολή. Το κόμμα του τύπου είναι στίξη· το babel στα ελληνικά δεν μετατρέπει την τελεία σε κόμμα (μόνο η ισπανική ενότητα το κάνει)· το {,} ισχύει πάντα, το icomma θέλει κενό μετά από κάθε κόμμα που χωρίζει, και το siunitx ζητά output-decimal-marker.

      Χρησιμοποιεί: 1. Δύο καταστάσεις. Στηρίζεται σε: D (Η κατηγορία του συμβόλου). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Τύποι μέσα στη γραμμή και σε ξεχωριστή γραμμή.

  2. Τμήμα 2 Σύμβολα και συμβολισμός

    • Να ομαδοποιεί δείκτες και εκθέτες και να προβλέπει τι λείπει χωρίς άγκιστρα.
    • Να επιλέγει αλφάβητο, παραλλαγή και τελεστή κατά τη σύμβαση του κλάδου.
    • Να προβλέπει τι αλλάζει το babel στους τελεστές: τίποτε στα ελληνικά, πολλά στα ισπανικά.
    • Να ορίζει τον συμβολισμό του εγγράφου στο προοίμιό του.

    1. Δείκτες και εκθέτες. Το x^10 υψώνει μόνο το 1· το x^{10} υψώνει την ομάδα· δύο δείκτες του ίδιου είδους στη σειρά δίνουν «Double subscript» ή «Double superscript».

      Χρησιμοποιεί: 1. Δύο καταστάσεις. Στηρίζεται σε: F (Ένα στοιχείο ή μια ομάδα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Σύμβολα και συμβολισμός.

    2. Γράμματα και αλφάβητα. Κάθε αλφάβητο λέει τι είδους αντικείμενο ονομάζεται· με το fontspec, το \mathbf{\Gamma} εξαφανίζεται και το \mathbf{\alpha} δεν βγαίνει έντονο, και τα έντονα ενός συμβόλου είναι το \boldsymbol.

      Χρησιμοποιεί: 6. Δείκτες και εκθέτες. Στηρίζεται σε: E (Ό,τι εξαφανίζεται χωρίς σφάλμα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Σύμβολα και συμβολισμός.

    3. Τελεστές με όνομα. Οι τελεστές γράφονται όρθιοι με το διάστημά τους· το babel στα ελληνικά δεν αλλάζει τίποτε, και τα ημ, συν, εφ δηλώνονται με \DeclareMathOperator· το babel στα ισπανικά βάζει τόνο στα \lim, \max, \min και \inf, ορίζει το \sen και αφήνει το \sin, και το es-minimal τα καταργεί όλα.

      Χρησιμοποιεί: 6. Δείκτες και εκθέτες. Στηρίζεται σε: D (Η κατηγορία του συμβόλου). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Σύμβολα και συμβολισμός.

    4. Οριοθέτες. Τα \left και \right μετρούν ό,τι περικλείουν και πάνε σε ζεύγος· τα χειροκίνητα μεγέθη δίνουν λεπτό έλεγχο· το mathtools ορίζει ζεύγη όπως το \abs.

      Χρησιμοποιεί: 6. Δείκτες και εκθέτες. Στηρίζεται σε: D (Η κατηγορία του συμβόλου), F (Ένα στοιχείο ή μια ομάδα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Σύμβολα και συμβολισμός.

    5. Ο συμβολισμός στο προοίμιο. Τα \R, \vect, \dd ή \abs ορίζονται μία φορά· το unicode-math μπαίνει μετά το amsmath, χωρίς amssymb πίσω του, και ζητά \symbf για τα έντονα.

      Χρησιμοποιεί: 7. Γράμματα και αλφάβητα, 8. Τελεστές με όνομα, 9. Οριοθέτες. Στηρίζεται σε: B (Δικές μας εντολές), C (Σειρά φόρτωσης), E (Ό,τι εξαφανίζεται χωρίς σφάλμα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Σύμβολα και συμβολισμός.

  3. Τμήμα 3 Εξισώσεις πολλών γραμμών

    • Να στοιχίζει αλυσίδες και συστήματα με align, με το & πριν από τη σχέση.
    • Να αποφασίζει ποιες γραμμές αριθμούνται και να προβλέπει τους αριθμούς.
    • Να διαλέγει το περιβάλλον ανάλογα με τη δομή και τον αριθμό του συνόλου.
    • Να στοιχειοθετεί κλάδους, πίνακες και παρεμβαλλόμενο κείμενο.

    1. Στοίχιση με align. Το & μπαίνει πριν από τη σχέση και το \\ ανοίγει μια γραμμή· το =& και ένα περιττό & αλλάζουν το αποτέλεσμα χωρίς προειδοποίηση, και μια κενή γραμμή σταματά τη μεταγλώττιση.

      Χρησιμοποιεί: 3. Ο τύπος μέσα στην πρόταση. Στηρίζεται σε: G (Μια στοίχιση είναι πίνακας), D (Η κατηγορία του συμβόλου). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Εξισώσεις πολλών γραμμών.

    2. Ποιες γραμμές αριθμούνται. Το align αριθμεί κάθε γραμμή, και την κενή που αφήνει ένα τελικό \\· το \notag αφαιρεί τον αριθμό χωρίς να τον καταναλώνει, και μια ετικέτα σε αυτή τη γραμμή καταγράφει τον αριθμό της επόμενης αριθμημένης γραμμής.

      Χρησιμοποιεί: 11. Στοίχιση με align, 4. Αρίθμηση και παραπομπή. Στηρίζεται σε: G (Μια στοίχιση είναι πίνακας), A (Τι καταγράφει μια ετικέτα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Εξισώσεις πολλών γραμμών.

    3. Ένας αριθμός για το σύνολο. Το split μέσα σε equation δίνει έναν αριθμό στην αλυσίδα· τα aligned και gathered είναι μπλοκ χωρίς αριθμό· το subequations δίνει γράμματα σε μια ομάδα που καταναλώνει έναν μόνο αριθμό.

      Χρησιμοποιεί: 11. Στοίχιση με align, 12. Ποιες γραμμές αριθμούνται. Στηρίζεται σε: A (Τι καταγράφει μια ετικέτα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Εξισώσεις πολλών γραμμών.

    4. Κλάδοι, πίνακες και κείμενο. Το cases έχει δύο στήλες και μετατρέπει ένα περιττό & σε τέλος γραμμής· το dcases στοιχειοθετεί σε μέγεθος ξεχωριστής γραμμής· οι πίνακες δέχονται δέκα στήλες· το array χαράζει γραμμές· το \intertext δεν σπάει τη στοίχιση.

      Χρησιμοποιεί: 11. Στοίχιση με align. Στηρίζεται σε: G (Μια στοίχιση είναι πίνακας). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Εξισώσεις πολλών γραμμών.

  4. Τμήμα 4 Θεωρήματα και αποδείξεις

    • Να δηλώνει τις προτάσεις με το στυλ και τον μετρητή τους.
    • Να προβλέπει την αρίθμηση μιας κοινής ή χωριστής σειράς.
    • Να κλείνει τις αποδείξεις με το σύμβολο στη θέση του.
    • Να παραπέμπει στις προτάσεις με το όνομά τους.

    1. Δηλωμένες προτάσεις. Η \newtheorem του amsthm, στο προοίμιο, ορίζει επικεφαλίδα, αριθμό και όψη· την επικεφαλίδα τη γράφει ο συγγραφέας, και η μορφή με αστερίσκο δεν αριθμεί.

      Στηρίζεται σε: B (Δικές μας εντολές). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Θεωρήματα και αποδείξεις.

    2. Μετρητές και στυλ. Το [thm] φτιάχνει μία μόνο σειρά, της οποίας ο αριθμός λέει τη θέση· το [section] ή το [chapter] αριθμεί ανά διαίρεση· τα plain, definition και remark αντιστοιχούν σε ό,τι βεβαιώνεται, ορίζεται κατά σύμβαση ή συνοδεύει.

      Χρησιμοποιεί: 15. Δηλωμένες προτάσεις. Στηρίζεται σε: B (Δικές μας εντολές). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Θεωρήματα και αποδείξεις.

    3. Αποδείξεις. Το proof παίρνει την επικεφαλίδα του από το babel και βάζει το τετράγωνο στο τέλος της τελευταίας παραγράφου· αν τελειώνει σε τύπο ή σε λίστα, η \qedhere το βάζει στη θέση του, εκτός δίπλα σε αριθμό.

      Χρησιμοποιεί: 15. Δηλωμένες προτάσεις, 11. Στοίχιση με align. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Θεωρήματα και αποδείξεις.

    4. Παραπομπή στις προτάσεις. Η ετικέτα μπαίνει μέσα στο περιβάλλον· το amsthm φορτώνεται πριν από το cleveref, με μία \crefname για κάθε περιβάλλον· με τον κοινό μετρητή της \newtheorem όλα λέγονται «θεώρημα», και το thmtools το διορθώνει.

      Χρησιμοποιεί: 16. Μετρητές και στυλ, 4. Αρίθμηση και παραπομπή. Στηρίζεται σε: A (Τι καταγράφει μια ετικέτα), C (Σειρά φόρτωσης). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Θεωρήματα και αποδείξεις.

  5. Τμήμα 5 Λογική και παραγωγές

    • Να διακρίνει στον συμβολισμό τη γλώσσα-αντικείμενο από τη μεταγλώσσα.
    • Να διορθώνει τα διαστήματα της περισπωμένης, της καθέτου, της διπλής τελείας και των ποσοδεικτών.
    • Να αλλάζει παράδοση από το προοίμιο.
    • Να κατασκευάζει και να διορθώνει δένδρα παραγωγής, πίνακες αληθείας και επιχειρήματα.

    1. Δύο επίπεδα γλώσσας. Το \to είναι ο σύνδεσμος της γλώσσας-αντικειμένου και το \Rightarrow το βέλος της μεταγλώσσας· το \vdash βεβαιώνει την παραγωγή και το \models τη σημασιολογική συνεπαγωγή.

      Χρησιμοποιεί: 8. Τελεστές με όνομα. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Λογική και παραγωγές.

    2. Τα λογικά διαστήματα. Το \sim είναι σχέση και μπαίνει σε άγκιστρα· η κάθετος του πληκτρολογίου είναι συνηθισμένο σύμβολο και το \mid σχέση· το : είναι σχέση και το \colon στίξη· την εμβέλεια ενός ποσοδείκτη την αποφασίζει μια παρένθεση.

      Χρησιμοποιεί: 19. Δύο επίπεδα γλώσσας, 5. Η υποδιαστολή. Στηρίζεται σε: D (Η κατηγορία του συμβόλου). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Λογική και παραγωγές.

    3. Μία εντολή για κάθε σύνδεσμο. Χωρίς ορίσματα, η εντολή αλλάζει το σύμβολο από μια παράδοση σε άλλη· με ορίσματα, ο ορισμός αποφασίζει επιπλέον τη σειρά και τις παρενθέσεις, και επιτρέπει τον πολωνικό συμβολισμό.

      Χρησιμοποιεί: 20. Τα λογικά διαστήματα, 10. Ο συμβολισμός στο προοίμιο. Στηρίζεται σε: B (Δικές μας εντολές), F (Ένα στοιχείο ή μια ομάδα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Λογική και παραγωγές.

    4. Τροπικά σύμβολα και πίνακες αληθείας. Τα \Box, \Diamond και \vDash απαιτούν το amssymb, και το latexsym φορτωμένο πριν αλλάζει τον ρόμβο· ο πίνακας αληθείας είναι ένα array με Α και Ψ σε όρθια γράμματα.

      Χρησιμοποιεί: 19. Δύο επίπεδα γλώσσας, 14. Κλάδοι, πίνακες και κείμενο. Στηρίζεται σε: C (Σειρά φόρτωσης), G (Μια στοίχιση είναι πίνακας). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Λογική και παραγωγές.

    5. Δένδρα παραγωγής. Στο bussproofs, το \AxiomC βάζει ένα φύλλο και τα συμπεράσματα παίρνουν τα τελευταία δένδρα· αν λείπουν, «Hypotheses missing!»· αν περισσεύουν, «Proof tree badly specified.» κατά την εκτύπωση.

      Χρησιμοποιεί: 19. Δύο επίπεδα γλώσσας. Στηρίζεται σε: H (Η στοίβα των δένδρων). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Λογική και παραγωγές.

    6. Κουτιά και κανονική μορφή. Το logicproof στοιχειοθετεί τα κουτιά Fitch ως πίνακα με subproof· ένα επιχείρημα σε κανονική μορφή αριθμεί τις προκείμενες και χωρίζει το συμπέρασμα με μια γραμμή και το \therefore.

      Χρησιμοποιεί: 23. Δένδρα παραγωγής, 22. Τροπικά σύμβολα και πίνακες αληθείας. Στηρίζεται σε: G (Μια στοίχιση είναι πίνακας). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Λογική και παραγωγές.

Προς τους πίνακες και τα σχήματα. Η αλυσίδα σταματά εκεί όπου οι τύποι, οι προτάσεις και οι παραγωγές είναι πλήρεις και αριθμημένοι: ο πίνακας, που εδώ υπηρέτησε μόνο τους μαθηματικούς πίνακες, τους πίνακες αληθείας και τις αποδείξεις, μεγαλώνει στην επόμενη ενότητα ώσπου να γίνει οι πίνακες και τα σχήματα του εγγράφου, με τις λεζάντες τους, τους αριθμούς τους και τη θέση τους στη σελίδα.