النهاية والاتصال

التعريف

في الدرس عن نهاية الدوال لمتغير حقيقي واحد، كان التعريف يستبعد النقطة $a$ عن قصد: فالنهاية تصف ما يحدث قرب $a$، لا عند $a$، وقد لا تكون الدالة معرّفة هناك. أما الاتصال فيقارن بين الأمرين: ما يحدث قريبًا وما يحدث عند النقطة نفسها.

يختلف التعريف عن تعريف النهاية في ثلاثة أمور. فالعدد الذي يجب أن تقترب منه القيم ليس عددًا $L$ أيًّا كان، بل $f(a)$؛ ولذلك يجب أن ينتمي $a$ إلى مجال التعريف. والرد $\abs{x - a} < \delta$ لا يستبعد $x = a$، وإن كان إدخاله لا يكلّف شيئًا، لأن $\abs{f(a) - f(a)} = 0$. ولا يُشترط أن يكون $a$ نقطة تراكم لـ$A$. ويُحصل على النفي كما في الدرس عن النهاية: تكون $f$ غير متصلة عند $a$ إذا وُجد $\varepsilon > 0$ بحيث إنه، من أجل كل $\delta > 0$، يوجد $x$ من $A$ يحقق $\abs{x - a} < \delta$ و$\abs{f(x) - f(a)} \geq \varepsilon$.

ومن ثمّ، فعند نقطة تراكم لمجال التعريف، يقوم الاتصال على ثلاثة أمور: أن تكون $f$ معرّفة عند $a$، وأن تكون لها نهاية عند $a$، وأن تكون هذه النهاية $f(a)$. وكل منها قد يختل على حدة، ومن ذلك ينشأ تصنيف حالات عدم الاتصال. فمثلًا، الدالة التي تساوي $1$ عند كل $x \neq 0$ و$0$ عند $x = 0$، من المثال المضاد للتركيب في الدرس عن جبر النهايات، لها النهاية $1$ عند $0$، وهي تختلف عن قيمتها: فهي غير متصلة عند $0$.