Коэффициенты и распределение Пуассона

Теперь рассмотрим аппроксимацию для биномиального распределения, при которой рассматривается большое число попыток n и все с очень маленькой индивидуальной вероятностью p. Когда мы это делаем, мы переходим от типичного биномиального процесса к процессу Пуассона. Чтобы визуализировать это, представим последовательность вида \{Bi(n;k;p_n)\}_n, где n\to\infty и p_n удовлетворяет соотношению np_n=\lambda \gt 0. Из этого мы увидим, что

\displaystyle\lim_{n\to\infty}P\left(Bi(n;k;P_n) \right) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

Это на самом деле не сложно доказать, если взять вероятность события Бернулли Bi(n;k;p_n) и умножить и разделить на n^k, мы получим следующий вывод:

Таким образом, если мы вычислим предел, когда n\to\infty, мы получим:

\begin{array} \displaystyle \lim_{n\to\infty} {{n}\choose{k}}p_n^k(1-p_n)^{n-k} &= \lim_{n\to\infty} \underbrace{\frac{n(n-1)\cdots[n-(k-1)]}{n^k}}_{\to 1} \cdot \frac{\overbrace{(np_n)^k}^{\to\lambda^k}}{k!} \overbrace{(1-p_n)^{-k}}^{\to 1} {(1-p_n)^n} \\ \\ &\displaystyle = \frac{\lambda^k}{k!} \lim_{n\to\infty}\left(1 - \frac{\lambda}{n} \right)^n \\ \\ & \displaystyle = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \end{array}

Из этого определяются коэффициенты Пуассона, Po(k;\lambda), через

\displaystyle Po(k;\lambda) := \lim_{n\to\infty} {{n}\choose{k}}p^k(1-p_n)^{n-k} = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

И говорят, что случайная величина X имеет распределение Пуассона, X\sim Po(k,\lambda),, если выполняется следующее:

P(X=k) = Po(k;\lambda)

Приближенные процессы Пуассона

Пространственный процесс Пуассона

Предположим, что у нас есть контейнер с объемом V, в котором находится жидкость с n равномерно перемешанными маленькими частицами. Здесь мы предполагаем, что жидкость хорошо перемешана и частицы не взаимодействуют друг с другом, не притягиваются и не отталкиваются. Эти предположения можно формализовать через следующие утверждения:

• Гипотеза пространственной однородности: Вероятность найти частицу в области D жидкости зависит только от объема этой области.
• Отсутствие взаимодействия: События «j-я частица находится в области D», при j=1,2,…,n являются независимыми.
• Несовпадение: Две частицы не могут занимать одно и то же место в пространстве.

Если у нас есть область D с объемом v, вероятность события «в области D находится k частиц» зависит только от v; назовем это событие g_k(v). Пусть h(v) будет вероятностью того, что частица находится внутри области объемом v. Если D_1 и D_2 — две несмежные области объемом v_1 и v_2 соответственно, то если D=D_1\cup D_2, имеет объем v,, то v=v_1+v_2. И так как D_1 и D_2 несмежные (D_1\cap D_2 = \emptyset ), то будет:

h(v) = h(v_1) + h(v_2)

Если V является объемом всей жидкости, то будет:

h(V) = 1

И, следовательно:

h(v) =\displaystyle \frac{v}{V}

Из этого следует, что событие g_k(v) на самом деле является событием типа Бернулли с p=v/V и определяется как:

g_k(v) =B(n;k;p=v/V)

Однако большинство практических ситуаций этого типа включает большое количество частиц n и области, которые рассматриваются, как правило, малы по сравнению с размером системы, так что выполняются условия для применения аппроксимации Пуассона, и получается:

\displaystyle P(g_k(v)) = \lim_{\begin{matrix}n\to\infty\\ v/V=c \end{matrix}}P(B(n;k;p=v/V)) =\displaystyle \frac{(cv)^k}{k!}e^{-cv}

Временной процесс Пуассона

Предположим, что мы фиксируем количество частиц, испускаемых радиоактивным веществом с момента времени t=0, и далее мы вычисляем вероятность того, что в интервале [0,t[ будет испущено ровно k частиц при следующих предположениях:

• Непостоянство: Условия эксперимента не изменяются во времени.
• Без памяти: То, что произошло в [0,t[, не влияет на то, что происходит в [t,t'[.
• Изолированные события: Частицы испускаются по одной за раз.

Если сравнить предположения временного процесса с пространственным процессом, то можно увидеть, что они формально эквивалентны. Как вероятность найти частицу в области не зависит от места, где выбирается область, а только от ее размера, так и вероятность наблюдения испускания частицы не зависит от момента времени, когда производится измерение, а только от интервала наблюдения. Отсутствие памяти аналогично отсутствию взаимодействия в пространственных процессах: то, что произошло в одно время, не влияет на то, что происходит в другое время. И, наконец, изолированные события означают, что в любой момент времени может быть испущена только одна частица, аналогично тому, как одно место в пространстве может быть занято только одним телом в один момент времени.

Итак, если мы определим событие «k частиц испускаются в интервале времени t«, его вероятность будет событием вида g_k(t), то есть:

P(g_k(t)) =\displaystyle \frac{(ct)^k}{k!} e^{-ct}

Временной и пространственный

Оба процесса, пространственный и временной, формально эквивалентны. Они различаются только по способу интерпретации для практических целей. Быстрый способ сделать это различие более ясным — наблюдать роль, которую играет постоянная «c» в обоих случаях. Чтобы экспоненциальная функция была определена, необходимо, чтобы ее аргумент был безразмерным; однако она содержит единицы времени или пространства в зависимости от того, работаем ли мы с временными или пространственными процессами. Эта проблема решается с помощью постоянной c. Мы имеем:

Po(k;\lambda)=\displaystyle \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=\left\{\begin{matrix} {При \lambda = \rho v } & \longmapsto &\displaystyle \frac{(\rho v)^k}{k!}e^{-\rho v} & {Пространственный процесс} \\ {При \lambda = \nu t } & \longmapsto &\displaystyle \frac{(\nu t)^k}{k!}e^{-\nu t} & {Временной процесс} \end{matrix} \right.

• Если c=\rho, это пространственная плотность (количество объектов на единицу площади), поэтому определяет пространственный процесс Пуассона.
• Если c=\ну, это временная плотность (или частота, количество событий на единицу времени), поэтому определяет временной процесс Пуассона.

Практические примеры использования распределения Пуассона

1. Кассир в супермаркете обслуживает в среднем 2 клиента каждые 9 минут. Составьте таблицу, показывающую вероятности обслуживания 1, 2, 3 и так далее до 5 человек за 5 минут.
2. Ветеринарная клиника может принять максимум 12 клиентов в день. Если в среднем они получают 9 клиентов в день, какова вероятность того, что в любой день будет превышена емкость клиники?
3. В некотором месте плотность населения составляет 10 человек на 1000 квадратных метров. Какова вероятность того, что на участке площадью 60 квадратных метров будет менее 15 человек?
4. Курица хочет перейти дорогу. Идя по прямой, ей потребуется 58 секунд. Если дорога имеет транспортное движение 3 автомобиля в минуту, и если автомобиль проедет, пока курица пытается перейти, она будет неизбежно сбита насмерть. Какова вероятность того, что курица пересечет дорогу живой?