泊松分布的系数和定义

现在我们考虑一个近似于二项分布，其中考虑大量的尝试n，每次尝试的概率非常小p。当我们这样做时，我们从典型的二项过程转变为泊松过程。为了形象化这一点，我们假设一个形式为\{Bi(n;k;p_n)\}_n,的序列，其中n\to\infty且p_n满足关系np_n=\lambda \gt 0。由此我们将看到

\displaystyle\lim_{n\to\infty}P\left(Bi(n;k;P_n) \right) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

这实际上并不难证明，如果我们将伯努利事件的概率Bi(n;k;p_n)乘以并除以n^k，我们得到以下推理：

因此，如果我们计算当n\to\infty时的极限，将会得到：

\begin{array} \displaystyle \lim_{n\to\infty} {{n}\choose{k}}p_n^k(1-p_n)^{n-k} &= \lim_{n\to\infty} \underbrace{\frac{n(n-1)\cdots[n-(k-1)]}{n^k}}_{\to 1} \cdot \frac{\overbrace{(np_n)^k}^{\to\lambda^k}}{k!} \overbrace{(1-p_n)^{-k}}^{\to 1} {(1-p_n)^n} \\ \\ &\displaystyle = \frac{\lambda^k}{k!} \lim_{n\to\infty}\left(1 - \frac{\lambda}{n} \right)^n \\ \\ & \displaystyle = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \end{array}

由此，泊松系数Po(k;\lambda)通过以下方式定义：

\displaystyle Po(k;\lambda) := \lim_{n\to\infty} {{n}\choose{k}}p^k(1-p_n)^{n-k} = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

并且说一个随机变量X具有泊松分布，X\sim Po(k,\lambda),如果满足：

P(X=k) = Po(k;\lambda)

泊松过程的近似

空间泊松过程

假设我们有一个体积为 V的容器，其中有均匀混合的n个微小颗粒。这里我们假设液体被充分搅拌，颗粒之间没有相互作用，不相互吸引也不排斥。这些假设可以通过以下声明形式化：

• 空间均匀性假设：在液体的某一区域D中找到一个颗粒的概率仅取决于该区域的体积。
• 无相互作用：“第j个颗粒在区域D内”的事件，对于j=1,2,…,n，都是相互独立的。
• 无重叠：两个颗粒不能占据空间的同一位置。

如果我们给定一个体积为v的区域D，在D中有k个颗粒的事件的概率仅取决于v；我们称此事件为g_k(v)。设h(v)为颗粒在体积为v的区域内的概率。如果D_1和D_2是两个不相交的区域，体积分别为v_1和v_2，那么如果D=D_1\cup D_2,其体积为v,则v=v_1+v_2.由于D_1和D_2是不相交的(D_1\cap D_2 = \emptyset )，因此有

h(v) = h(v_1) + h(v_2)

如果V是整个液体的体积，则有

h(V) = 1

因此：

h(v) =\displaystyle \frac{v}{V}

由此我们得出事件g_k(v)实际上是一个贝努利类型的事件，其中p=v/V，表示为：

g_k(v) =B(n;k;p=v/V)

然而，大多数这种情况下涉及大量的颗粒n，考虑的区域相对于系统的大小来说往往是很小的，因此满足应用泊松近似的条件，得到：

\displaystyle P(g_k(v)) = \lim_{\begin{matrix}n\to\infty\\ v/V=c \end{matrix}}P(B(n;k;p=v/V)) =\displaystyle \frac{(cv)^k}{k!}e^{-cv}

时间泊松过程

假设我们正在记录放射性物质从时刻t=0开始发射的粒子数量，并据此计算在区间[0,t[内正好发射k个粒子的概率，基于以下假设：

• 不变性：实验条件在时间上不变。
• 无记忆性：[0,t[内发生的事情不影响[t,t'[内发生的事情。
• 孤立事件：粒子一次只发射一个。

如果我们比较时间过程的假设与空间过程的假设，会发现它们形式上是等价的。正如找到某一区域内一个颗粒的概率不依赖于选择区域的位置，而仅依赖于区域的大小，观察到粒子的发射概率不依赖于测量的时刻，而仅依赖于观察的时间间隔。无记忆性类似于空间过程的无相互作用：在另一个时刻发生的事情不会影响其他时刻的发生情况。最后，孤立事件意味着在某一时刻只会发射一个粒子，这类似于空间中的一个位置只能被一个物体占据。

因此，如果我们定义事件”在时间区间t内发射了k个粒子”，其发生的概率将是g_k(t)形式的事件，即：

P(g_k(t)) =\displaystyle \frac{(ct)^k}{k!} e^{-ct}

时间和空间

两个过程，空间和时间，在形式上是等价的。 仅在实际应用中有不同的解释。快速澄清这一区别的一种方法是观察在两种情况下都出现的常数”c”的作用。为了使指数函数定义良好，必须使其参数无量纲；然而，这包含时间或空间单位，具体取决于我们处理的是时间过程还是空间过程。这个问题正是由常数c来解决的。我们有：

Po(k;\lambda)=\displaystyle \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=\left\{\begin{matrix} {取\,\lambda = \rho v } & \longmapsto &\displaystyle \frac{(\rho v)^k}{k!}e^{-\rho v} & {空间过程} \\ {取\,\lambda = \nu t } & \longmapsto &\displaystyle \frac{(\nu t)^k}{k!}e^{-\nu t} & {时间过程} \end{matrix} \right.

• 如果c=\rho，则为空间密度（单位空间内的物体数量），因此定义一个空间泊松过程。
• 如果c=\nu，则为时间密度（或频率，每单位时间的发生次数），因此定义一个时间泊松过程。

泊松分布的实际应用示例

1. 超市收银台平均每9分钟接待2位顾客。请制作一个表格，显示在5分钟内接待1、2、3及至5位顾客的概率。
2. 一家兽医诊所每天最多可接待12位顾客。如果他们平均每天接待9位顾客，问在任何一天超出诊所接待能力的概率是多少？
3. 某地每1000平方米有10人。问在60平方米的区域内找到少于15人的概率是多少？
4. 一只鸡想要过马路。直线行走需要58秒。如果马路上每分钟有3辆车经过，如果鸡在试图过马路时有车经过，它肯定会被撞死。问这只鸡安全过马路的概率是多少？