Die Koeffizienten und die Poisson-Verteilung

Betrachten wir nun eine Annäherung an die Binomialverteilung, bei der eine sehr große Anzahl von Versuchen n und jeweils eine sehr kleine individuelle Wahrscheinlichkeit p berücksichtigt wird. Wenn wir dies tun, gehen wir vom typischen Binomialprozess zu einem Poisson-Prozess über. Um dies zu veranschaulichen, stellen wir uns eine Folge der Form \{Bi(n;k;p_n)\}_n, vor, wobei n\to\infty und p_n die Beziehung np_n=\lambda \gt 0 erfüllt. Daraus werden wir sehen, dass

\displaystyle\lim_{n\to\infty}P\left(Bi(n;k;P_n) \right) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

Dies ist in Wirklichkeit nicht schwer zu zeigen: wenn wir die Wahrscheinlichkeit eines Bernoulli-Ereignisses Bi(n;k;p_n) nehmen und sie mit n^k multiplizieren und dividieren, erhalten wir das folgende Argument:

Wenn wir also das Limit für n\to\infty berechnen, erhalten wir:

\begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{n\to\infty} {{n}\choose{k}}p_n^k(1-p_n)^{n-k} &= \displaystyle \lim_{n\to\infty} \underbrace{\frac{n(n-1)\cdots[n-(k-1)]}{n^k}}_{\to 1} \cdot \frac{\overbrace{(np_n)^k}^{\to\lambda^k}}{k!} \overbrace{(1-p_n)^{-k}}^{\to 1} {(1-p_n)^n} \\ \\ &\displaystyle = \frac{\lambda^k}{k!} \lim_{n\to\infty}\left(1 - \frac{\lambda}{n} \right)^n \\ \\ & \displaystyle = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \end{array}

Daraus werden die Poisson-Koeffizienten Po(k;\lambda) definiert durch

\displaystyle Po(k;\lambda) := \lim_{n\to\infty} {{n}\choose{k}}p^k(1-p_n)^{n-k} = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

Und es wird gesagt, dass eine Zufallsvariable X Poisson-verteilt ist, X\sim Po(k,\lambda), wenn gilt:

P(X=k) = Po(k;\lambda)

Annähernde Poisson-Prozesse

Räumlicher Poisson-Prozess

Angenommen, wir haben einen Behälter mit Volumen V mit einer Flüssigkeit, in der sich n winzige, gleichmäßig vermischte Teilchen befinden. Hier nehmen wir an, dass die Flüssigkeit gut durchmischt ist und die Teilchen nicht miteinander interagieren, sich weder anziehen noch abstoßen. Dies sind Annahmen, die durch die folgenden Aussagen formalisiert werden können:

• Hypothese der räumlichen Homogenität: Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen in einer Region D der Flüssigkeit zu finden, hängt ausschließlich vom Volumen dieser Region ab.
• Nicht-Interaktion: Die Ereignisse „das j-te Teilchen befindet sich in der Region D“, mit j=1,2,…,n sind alle n-unabhängig.
• Keine-Überlagerung: Zwei Teilchen können nicht denselben Ort im Raum einnehmen.

Wenn wir eine Region D mit einem Volumen v betrachten, hängt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „in D befinden sich k Teilchen“ ausschließlich von v ab; nennen wir dieses Ereignis g_k(v). Sei h(v) die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen im Inneren einer Region mit Volumen v befindet. Wenn D_1 und D_2 zwei disjunkte Regionen mit den Volumina v_1 und v_2 sind, dann gilt: wenn D=D_1\cup D_2 das Volumen v hat, dann v=v_1+v_2. Und da D_1 und D_2 disjunkt sind (D_1\cap D_2 = \emptyset ), gilt:

h(v) = h(v_1) + h(v_2)

Wenn V das Volumen der gesamten Flüssigkeit ist, dann gilt:

h(V) = 1

Und folglich:

h(v) =\displaystyle \frac{v}{V}

Daraus folgt, dass das Ereignis g_k(v) tatsächlich ein Ereignis vom Typ Bernoulli mit p=v/V ist und gegeben ist durch:

g_k(v) =B(n;k;p=v/V)

Die meisten praktischen Situationen dieser Art beinhalten jedoch eine große Anzahl von Teilchen n und die betrachteten Regionen tendieren dazu, klein im Verhältnis zur Systemgröße zu sein, sodass die Bedingungen zur Anwendung der Poisson-Annäherung erfüllt sind und gilt:

\displaystyle P(g_k(v)) = \lim_{\begin{matrix}n\to\infty\\ v/V=c \end{matrix}}P(B(n;k;p=v/V)) =\displaystyle \frac{(cv)^k}{k!}e^{-cv}

Zeitlicher Poisson-Prozess

Angenommen, wir registrieren die Anzahl von Teilchen, die von einer radioaktiven Substanz ab dem Zeitpunkt t=0 emittiert werden, und daraus berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass im Intervall [0,t[ genau k Teilchen emittiert werden, unter den folgenden Annahmen:

• Invarianz: Die Bedingungen des Experiments ändern sich im Laufe der Zeit nicht.
• Gedächtnislosigkeit: Was in [0,t[ geschah, beeinflusst nicht, was in [t,t'[ geschieht.
• Isolierte Ereignisse: Die Teilchen werden einzeln emittiert.

Wenn wir die Annahmen des zeitlichen Prozesses mit denen des räumlichen Prozesses vergleichen, erkennen wir, dass sie formal äquivalent sind. So wie die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen in einer Region zu finden, nicht vom Ort abhängt, an dem die Region gewählt wird, sondern nur von ihrer Größe, hängt die Wahrscheinlichkeit, die Emission eines Teilchens zu beobachten, nicht vom Zeitpunkt ab, an dem die Messung vorgenommen wird, sondern nur vom Beobachtungsintervall. Die Gedächtnislosigkeit ist analog zur Nicht-Interaktion der räumlichen Prozesse: was zu einem anderen Zeitpunkt geschah, beeinflusst nicht, was zu anderen Zeitpunkten geschieht. Schließlich implizieren die isolierten Ereignisse, dass zu einem Zeitpunkt nur ein Teilchen emittiert werden kann, analog dazu, wie ein Ort im Raum nur von einem Körper gleichzeitig besetzt werden kann.

Wenn wir also das Ereignis definieren „es werden k Teilchen in einem Zeitintervall t emittiert“, dann ist seine Eintrittswahrscheinlichkeit ein Ereignis der Form g_k(t), das heißt:

P(g_k(t)) =\displaystyle \frac{(ct)^k}{k!} e^{-ct}

Zeitlich und Räumlich

Beide Prozesse, räumlich und zeitlich, sind formal äquivalent. Sie unterscheiden sich nur in der Art und Weise, wie sie für praktische Zwecke interpretiert werden. Eine schnelle Möglichkeit, diesen Unterschied deutlicher zu machen, besteht darin, die Rolle der Konstanten „c“ zu betrachten, die in beiden Fällen erscheint. Damit die Exponentialfunktion wohldefiniert ist, muss ihr Argument dimensionslos sein; dennoch enthält sie Einheiten von Zeit oder Raum, je nachdem, ob wir es mit zeitlichen oder räumlichen Prozessen zu tun haben. Genau dieses Problem wird durch die Konstante c gelöst. Wir haben:

Po(k;\lambda)=\displaystyle \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=\left\{\begin{matrix} {Mit\,\lambda = \rho v } & \longmapsto &\displaystyle \frac{(\rho v)^k}{k!}e^{-\rho v} & {Räumlicher\,Prozess} \\ {Mit\,\lambda = \nu t } & \longmapsto &\displaystyle \frac{(\nu t)^k}{k!}e^{-\nu t} & {Zeitlicher\,Prozess} \end{matrix} \right.

• Wenn c=\rho, handelt es sich um eine räumliche Dichte (Anzahl von Dingen pro Raumeinheit), und definiert daher einen räumlichen Poisson-Prozess.
• Wenn c=\nu, handelt es sich um eine zeitliche Dichte (oder Frequenz, Anzahl von Vorkommnissen pro Zeiteinheit), und definiert daher einen zeitlichen Poisson-Prozess.

Praktische Beispiele für die Verwendung der Poisson-Verteilung

1. Die Kasse eines Supermarkts bedient im Durchschnitt 2 Kunden alle 9 Minuten. Erstellen Sie eine Tabelle, die die Wahrscheinlichkeiten zeigt, dass sie in einem Zeitraum von 5 Minuten 1, 2, 3 und so weiter bis zu 5 Personen bedient.
2. Eine Tierklinik hat die Kapazität, höchstens 12 Kunden pro Tag zu bedienen. Wenn sie im Durchschnitt 9 Kunden pro Tag erhält, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem beliebigen Tag die Kapazität der Klinik überschritten wird?
3. Eine bestimmte Ortschaft hat eine Bevölkerungsdichte von 10 Personen pro 1000 Quadratmeter. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir auf einer Fläche von 60 Quadratmetern weniger als 15 Personen finden?
4. Ein Huhn möchte die Straße überqueren. Im Geradeausgehen benötigt es 58 Sekunden. Wenn die Straße ein Verkehrsaufkommen von 3 Fahrzeugen pro Minute hat, und wenn während des Überquerens ein Fahrzeug vorbeikommt, wird das Huhn mit Sicherheit überfahren und tödlich verletzt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Huhn lebend auf der anderen Seite ankommt?