Coefficientes et Distributio Poissoniana

Nunc consideremus appropinquationem ad distributionem binomialem, in qua numerus conatuum n magnus habetur et omnes cum probabilitate singulari p minutissima. Cum hoc facimus, a processu binomiali typico ad Processum Poissonianum transimus. Ad hoc illustrandum, finge successionem huius formae \{Bi(n;k;p_n)\}_n, ubi n\to\infty et p_n relationem satisfacit np_n=\lambda \gt 0. Ex hoc videbimus quod

\displaystyle\lim_{n\to\infty}P\left(Bi(n;k;P_n) \right) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

Hoc revera non est difficile demonstrare: si probabilitatem eventus Bernoulliani Bi(n;k;p_n) accipimus eamque multiplicamus et dividimus per n^k, rationem sequentem obtinemus:

Itaque si limitem computamus cum n\to\infty, habebitur:

\begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{n\to\infty} {{n}\choose{k}}p_n^k(1-p_n)^{n-k} &= \displaystyle \lim_{n\to\infty} \underbrace{\frac{n(n-1)\cdots[n-(k-1)]}{n^k}}_{\to 1} \cdot \frac{\overbrace{(np_n)^k}^{\to\lambda^k}}{k!} \overbrace{(1-p_n)^{-k}}^{\to 1} {(1-p_n)^n} \\ \\ &\displaystyle = \frac{\lambda^k}{k!} \lim_{n\to\infty}\left(1 - \frac{\lambda}{n} \right)^n \\ \\ & \displaystyle = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \end{array}

Ex hoc definiuntur coefficientes Poissoniani, Po(k;\lambda), per

\displaystyle Po(k;\lambda) := \lim_{n\to\infty} {{n}\choose{k}}p^k(1-p_n)^{n-k} = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

Et dicitur variabile aleatorium X distributionem Poissonianam habere, X\sim Po(k,\lambda), si hoc verificatur:

P(X=k) = Po(k;\lambda)

Processus appropinquati Poissoniani

Processus Spatialis Poissonianus

Supponamus nos habere vas voluminis V cum liquido in quo inveniuntur n particulae minutissimae uniformiter permixtae. Hic assumimus liquorem bene agitari et particulas inter se non interagere, nec se allicere nec se repellere. Haec sunt suppositiones quae formalizari possunt per affirmationes sequentes:

• Hypothesis Homogeneitatis spatialis: Probabilitas particulam invenire in regione D liquidi tantum a volumine illius regionis pendet.
• Non-Interactio: Eventus “particula j-esima est in regione D”, cum j=1,2,…,n omnes sunt n-independentes.
• Non-Superpositio: Duae particulae idem locum in spatio occupare non possunt.

Si datur regio D cum volumine v, probabilitas eventus “in D sunt k particulae” pendet tantum ex v; vocemus g_k(v) talem eventum. Sit h(v) probabilitas quod particula sit intra regionem voluminis v. Si D_1 et D_2 sunt duae regiones disiunctae voluminis v_1 et v_2 respective, tunc si D=D_1\cup D_2, volumen habet v, tunc v=v_1+v_2. Et quia D_1 et D_2 sunt disiunctae (D_1\cap D_2 = \emptyset ), habebitur

h(v) = h(v_1) + h(v_2)

Si V est volumen totius liquidi, tunc habebitur

h(V) = 1

Et consequentur:

h(v) =\displaystyle \frac{v}{V}

Hinc habemus eventum g_k(v) esse revera eventum Bernoullianum cum p=v/V et dari per:

g_k(v) =B(n;k;p=v/V)

Attamen, pleraeque res practicae huius generis implicant magnum numerum particularum n et regiones consideratae parvae fiunt respectu magnitudinis systematis, ita ut condiciones adhibendae appropinquationis Poissonianae impleantur et habeatur:

\displaystyle P(g_k(v)) = \lim_{\begin{matrix}n\to\infty\\ v/V=c \end{matrix}}P(B(n;k;p=v/V)) =\displaystyle \frac{(cv)^k}{k!}e^{-cv}

Processus Temporalis Poissonianus

Supponamus nos registrare quantitatem particularum emissarum a substantia radioactiva ab instante t=0 et ex hoc computabimus probabilitatem quod in intervallo [0,t[ exacte k particulae emittantur sub sequentibus suppositionibus:

• Invariantia: Conditiones experimenti tempore non mutantur.
• Non-Memoria: Quod evenit in [0,t[ non afficit id quod fit in [t,t'[.
• Eventus Isolati: Particulae singillatim emittuntur.

Si comparaverimus suppositiones processus temporalis cum processu spatiali, animadvertimus eas formaliter aequivalere. Quemadmodum probabilitas particulam invenire in regione non pendet ex loco unde regio eligitur, sed tantum ex magnitudine, ita probabilitas emissionem particulae observandi non pendet ex momento eligendo ad metiendum, sed solum ex intervallo observationis. Non-memoria est analoga non-interactioni processuum spatialium: quod accidit alio tempore non afficit quod in ceteris momentis fit. Et denique, eventus isolati implicant quod in uno momento temporis tantum una particula emittere potest, analogum ad modum quo locus in spatio uno corpore tantum occupari potest.

Ita, si definimus eventum “k particulae emittuntur in intervallo temporis t,” eius probabilitas erit eventus formae g_k(t), id est:

P(g_k(t)) =\displaystyle \frac{(ct)^k}{k!} e^{-ct}

Temporalis et Spatialis

Uterque processus, spatialis et temporalis, formaliter aequivalet. Tantum variantur in modo quo ad usus practicos interpretantur. Via celeris ad clarius faciendam distinctionem est observando munus quod implet constans “c” quae in utroque casu apparet. Ut functio exponentialis bene definiatur, necesse est ut argumentum eius sit sine dimensione; tamen, haec in suo contentu habet unitates temporis vel spatii secundum utrum de processibus temporalibus an spatialibus agatur. Hoc problema apte componit ipsa constans c. Habemus:

Po(k;\lambda)=\displaystyle \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=\left\{\begin{matrix} {Sumendo\,\lambda = \rho v } & \longmapsto &\displaystyle \frac{(\rho v)^k}{k!}e^{-\rho v} & {Processus\,Spatialis} \\ {Sumendo\,\lambda = \nu t } & \longmapsto &\displaystyle \frac{(\nu t)^k}{k!}e^{-\nu t} & {Processus\,Temporalis} \end{matrix} \right.

• Si c=\rho, agitur de densitate spaziali (numerus rerum per unitatem spatii), ideo definit processum spatialem Poissonianum.
• Si c=\nu, agitur de densitate temporali (vel frequentia, numerus eventuum per unitatem temporis), ideo definit processum temporalem Poissonianum.

Exempla practica ubi distributio Poissoniana adhibetur

1. Capsa mercatus mediocriter 2 clientes singulis 9 minutis curat. Elabora tabulam quae probabilitates ostendat quod inter 1, 2, 3, et sic deinceps, usque ad 5 homines in tempore 5 minutorum curentur.
2. Clinica veterinaria capacitatem habet ad curandos ad summum 12 clientes in die. Si mediocriter accipiunt 9 clientes singulis diebus, quae est probabilitas quod quolibet die capacitas curationis clinicae superetur?
3. Quaelibet regio densitatem habet 10 hominum pro singulis 1000 metris quadratis. Quae est probabilitas quod in loco 60 metrorum quadratorum minus quam 15 homines inveniamus?
4. Gallina vult viam transire. Recta linea ambulando, 58 secundis eam percurrit. Si via habet cursum vehiculorum 3 vehicula per minutum, et si vehiculum transit dum gallina conatur transire, pro certo opprimetur exitio mortali. Quae est probabilitas quod gallina viva ad aliam partem perveniat?