Испытание Бернулли и биномиальное распределение
Резюме
В этом уроке мы изучим концепцию испытаний Бернулли и их влияние на теорию вероятностей. Мы начнем с подробного определения испытаний Бернулли, а затем рассмотрим концепцию независимости событий. После разъяснения этих идей мы применим биномиальную теорему, чтобы понять, как повторение испытания Бернулли приводит к результатам с биномиальным распределением. Наконец, будут предложены практические упражнения для применения и укрепления этих концепций.
ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ:
По окончании этого урока студент будет способен:
- Определять основные характеристики испытаний Бернулли, включая независимость между попытками.
- Применять правильную нотацию для биномиальных событий, возникающих из испытаний Бернулли.
- Различать различные формы независимости (2-независимость, 3-независимость, n-независимость) и понимать их связь и применение в испытаниях Бернулли.
- Понимать связь между испытанием Бернулли и биномиальной теоремой, и как эта связь может быть использована для вычисления вероятности ряда успехов и неудач.
- Применять биномиальное распределение (или распределение Бернулли) для вычисления вероятности определенного числа успехов в серии попыток.
СОДЕРЖАНИЕ:
Испытание Бернулли
Различные формы независимости
Испытание Бернулли и биномиальная теорема
Биномиальное распределение (или распределение Бернулли) и распределения вероятностей
Упражнения:
Испытание Бернулли
Испытание Бернулли — это случайный эксперимент дихотомический с определенной вероятностью успеха p. Если испытание Бернулли повторяется n раз идентично и независимо, тогда получаются события Бернулли: Определенное число k успехов среди n попыток. Эти события также называются биномиальными событиями и обозначаются нотацией
\Large \displaystyle Bi(n;k;p)
Другой важной характеристикой испытаний Бернулли является то, что все попытки независимы друг от друга.
ПРИМЕР: Многократное бросание кубика с 6 гранями. Примеры событий типа Бернулли для этого эксперимента:
- Выпадение 3 тузов из 5 попыток: обозначается Bi(5;3;1/6)
- Выпадение 7 четных чисел из 12 попыток: обозначается Bi(12;7;1/3)
Различные формы независимости
Независимость между попытками в испытании Бернулли не совсем та же независимость, которую мы уже рассматривали, это гораздо более ограниченная версия. Чтобы объяснить это различие, рассмотрим типы независимости между событиями
2-независимость
Независимость, которую мы уже знаем, это независимость между двумя событиями. Мы называем это «2-независимостью». В этих терминах мы говорим, что события A и B являются 2-независимыми, если
P(A\cap B) = P(A)P(B)
3-независимость
Аналогично, 3-независимость определяется для трех событий A, B и C через отношение
P(A\cap B\cap C) = P(A)P(B)P(C)
Важно отметить, что 2-независимость между A, B и C не обязательно подразумевает 3-независимость, хотя в обратном случае это верно.
n-независимость в испытаниях Бернулли
Аналогично предыдущим определениям, n-независимость определяется для набора событий A_1, \cdots, A_n через отношение
\Large \displaystyle P\left(\bigcap_{i=1}^n A_i\right) = \prod_{i=1}^n P(A_i)
И аналогично, что:
| (n-1)-независимость не обязательно подразумевает n-независимость |
| n-независимость \Longrightarrow (n-1)-независимость |
Повторы n, выполненные в испытании Бернулли, являются n-независимыми.
Испытание Бернулли и биномиальная теорема
Рассмотрим эксперимент успеха и неудачи с вероятностью успеха p; в каждой попытке, соответственно, будет вероятность 1-p неудачи. Очевидно, что вероятность успеха или неудачи в каждой попытке равна 1; и так как все попытки независимы, вероятность успеха или неудачи в n попытках будет 1^n. Из этого следует:
\Large \displaystyle 1 = 1^n = [p + (1-p)]^n = \sum_{k=0}^n {{n}\choose{k}} p^k(1-p)^{n-k}
В последнем равенстве применена Биномиальная теорема Ньютона, и термины внутри суммы можно интерпретировать следующим образом:
- \displaystyle {{n}\choose{k}}: число способов, которыми могут произойти k успехов при n попытках
- p^k: вероятность независимого наступления k успехов
- (1-p)^{n-k}: вероятность независимого наступления n-k неудач
Собрав эти элементы в сумме, мы получаем: вероятность достижения k успехов при n попытках; или, аналогично, вероятность достижения n-k неудач при n попытках.
Разделив каждый термин суммы, мы получаем вероятности достижения:
| \displaystyle {{n}\choose{0}} p^0(1-p)^{n-0} = (1-p)^n | 0 успехов при n попытках |
| \displaystyle {{n}\choose{1}} p^1(1-п)^{n-1} = n p(1-п)^{n-1} | 1 успех при n попытках |
| \displaystyle {{n}\choose{2}} p^2(1-п)^{n-2} | 2 успеха при n попытках |
| \vdots | \vdots |
| \displaystyle {{n}\choose{k}} p^k(1-п)^{n-k} | k успехов при n попытках |
| \vdots | \vdots |
| \displaystyle {{n}\choose{n-1}} p^{n-1}(1-п)^{n-(n-1)} = n p^{n-1}(1-п) | n-1 успехов при n попытках |
| \displaystyle {{n}\choose{n}} p^{n}(1-п)^{0} = p^{n} | n успехов при n попытках |
И сумма всех этих терминов, как мы уже видели, равна «1». Это показывает, что все возможные результаты учтены.
Из этого определяется вероятность события Бернулли:
\displaystyle\Large \color{blue}{P(Bi(n;k;p)) = {{n}\choose{k}}p^k(1-п)^{n-k}}
Или мы также говорим, что число успехов X имеет биномиальное распределение:
\color{blue}{\Large \displaystyle X\sim Bi(n;p) \longmapsto P(X=x) = {{n}\choose{x}}p^x(1-п)^{n-x}}
Биномиальное распределение (или распределение Бернулли) и распределения вероятностей
Через биномиальное распределение мы начинаем понимать первые понятия распределений вероятностей и случайных величин. В этом случае дискретная случайная величина связана с числом успехов, и ее распределение вероятностей определяется терминами биномиальной теоремы
{\Large \displaystyle P(X=x) = {{n}\choose{x}}p^x(1-п)^{n-x}}
Упражнения:
- Бросание кубика с 6 гранями 5 раз. Вычислите вероятность выпадения 3 четных чисел.
- Бросание монеты 10 раз. Вычислите вероятность выпадения от 0 до 10 орлов и постройте график, показывающий вероятность каждого результата. Как будет выглядеть график, если увеличить количество бросков и исследовать вероятность выпадения числа орлов от 0 до этого количества бросков? Здесь может быть полезен Excel.
- В лототроне есть s шариков, из которых r золотые, а остальные белые. Все шарики перемешиваются, и один выбирается случайным образом, и выигрыш происходит, когда выпадает золотой шарик. Если этот эксперимент повторяется идентично 20 раз, оцените наиболее вероятное количество побед для каждого возможного значения 0\leq r\leq s. Здесь также может быть полезен Excel.