Der Bernoulli-Versuch und die Binomialverteilung
Zusammenfassung
In dieser Vorlesung werden wir das Konzept der Bernoulli-Versuche und ihre Implikationen in der Wahrscheinlichkeitstheorie untersuchen. Wir beginnen mit einer detaillierten Definition der Bernoulli-Versuche und gehen dann auf das Konzept der Unabhängigkeit zwischen Ereignissen ein. Nachdem diese Ideen geklärt sind, wird der binomische Lehrsatz angewandt, um zu verstehen, wie die Wiederholung eines Bernoulli-Versuchs Ergebnisse mit einer Binomialverteilung hervorbringt. Schließlich werden praktische Übungen vorgeschlagen, um diese Konzepte anzuwenden und zu festigen.
LERNZIELE:
Am Ende dieser Vorlesung wird der Studierende in der Lage sein:
- Zu identifizieren die Hauptmerkmale der Bernoulli-Versuche, einschließlich der Unabhängigkeit zwischen den Versuchen.
- Anzuwenden die Notation korrekt für die binomialen Ereignisse, die aus den Bernoulli-Versuchen abgeleitet sind.
- Zu unterscheiden zwischen verschiedenen Formen der Unabhängigkeit (2-Unabhängigkeit, 3-Unabhängigkeit, n-Unabhängigkeit) und deren Zusammenhang und Anwendung in den Bernoulli-Versuchen zu verstehen.
- Zu verstehen die Beziehung zwischen dem Bernoulli-Versuch und dem binomischen Lehrsatz und wie diese Beziehung zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit einer Reihe von Erfolgen und Misserfolgen verwendet werden kann.
- Anzuwenden die Binomialverteilung (oder Bernoulli-Verteilung), um die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Anzahl von Erfolgen in einer Reihe von Versuchen zu berechnen.
INHALTSVERZEICHNIS:
Der Bernoulli-Versuch
Verschiedene Formen der Unabhängigkeit
Der Bernoulli-Versuch und der binomische Lehrsatz
Die Binomialverteilung (oder Bernoulli-Verteilung) und die Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Übungen:
Der Bernoulli-Versuch
Ein Bernoulli-Versuch ist ein zufälliges Experiment dichotom mit einer bestimmten Erfolgswahrscheinlichkeit p. Wenn ein Bernoulli-Versuch n Mal identisch und unabhängig wiederholt wird, dann entstehen die Bernoulli-Ereignisse: Eine bestimmte Anzahl k von Erfolgen unter n Versuchen. Diese werden auch als binomiale Ereignisse bezeichnet und wir stellen sie mit der Notation dar
\Large \displaystyle Bi(n;k;p)
Ein weiteres wichtiges Merkmal der Bernoulli-Versuche ist, dass alle Versuche voneinander unabhängig sind.
BEISPIEL: Ein Würfel mit 6 Seiten wird wiederholt geworfen. Beispiele für Bernoulli-Ereignisse in diesem Experiment sind:
- 3 Asse unter 5 Versuchen erhalten: dargestellt durch Bi(5;3;1/6)
- 7 gerade Zahlen unter 12 Versuchen erhalten: dargestellt durch Bi(12;7;1/3)
Verschiedene Formen der Unabhängigkeit
Die Unabhängigkeit zwischen den durchgeführten Versuchen im Bernoulli-Versuch ist nicht genau dieselbe Unabhängigkeit, die wir bereits überprüft haben, sondern eine viel stärker eingeschränkte Version. Um diesen Unterschied zu erklären, untersuchen wir die Arten der Unabhängigkeit zwischen Ereignissen
2-Unabhängigkeit
Die Unabhängigkeit, die wir bereits kennen, ist diejenige, die zwischen zwei Ereignissen auftritt. Wir nennen sie „2-Unabhängigkeit“. In diesen Begriffen sagen wir, dass die Ereignisse A und B 2-unabhängig sind, wenn
P(A\cap B) = P(A)P(B)
3-Unabhängigkeit
Analog dazu wird die 3-Unabhängigkeit zwischen drei Ereignissen A, B und C durch die Beziehung definiert
P(A\cap B\cap C) = P(A)P(B)P(C)
Es ist wichtig zu betonen, dass die 2-Unabhängigkeit zwischen A, B und C nicht notwendigerweise die 3-Unabhängigkeit impliziert, während im umgekehrten Fall die Implikation zutrifft.
Die n-Unabhängigkeit zwischen den Bernoulli-Versuchen
In Analogie zu den obigen Definitionen wird die n-Unabhängigkeit zwischen einer Sammlung von Ereignissen A_1, \cdots, A_n durch die Beziehung definiert
\Large \displaystyle P\left(\bigcap_{i=1}^n A_i\right) = \prod_{i=1}^n P(A_i)
Und in ähnlicher Weise gilt:
| (n-1)-Unabhängigkeit impliziert nicht notwendigerweise n-Unabhängigkeit |
| n-Unabhängigkeit \Longrightarrow (n-1)-Unabhängigkeit |
Die n Wiederholungen, die im Bernoulli-Versuch durchgeführt werden, sind n-unabhängig.
Der Bernoulli-Versuch und der binomische Lehrsatz
Betrachten wir ein Experiment von Erfolg und Misserfolg mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit von p; bei jedem Versuch wird es folglich eine Wahrscheinlichkeit 1-p für einen Misserfolg geben. Es ist klar, dass die Wahrscheinlichkeit, dass bei jedem Versuch Erfolg oder Misserfolg eintritt, 1 ist; und da alle Versuche unabhängig sind, wird die Wahrscheinlichkeit, dass Erfolg oder Misserfolg in den n Versuchen eintritt, 1^n. Daraus folgt, dass:
\Large \displaystyle 1 = 1^n = [p + (1-p)]^n = \sum_{k=0}^n {{n}\choose{k}} p^k(1-p)^{n-k}
In der letzten Gleichung wurde der Binomische Lehrsatz von Newton angewandt, und die Terme innerhalb der Summe können wie folgt interpretiert werden:
- \displaystyle {{n}\choose{k}}: die Anzahl der Möglichkeiten, wie k Erfolge bei n Versuchen auftreten können
- p^k: Die Wahrscheinlichkeit, dass k unabhängige Erfolge auftreten
- (1-p)^{n-k}: Die Wahrscheinlichkeit, dass n-k unabhängige Misserfolge auftreten
Wenn wir diese Elemente in der Form zusammenfügen, in der sie in der Summe erscheinen, erhalten wir: die Wahrscheinlichkeit, k Erfolge unter n Versuchen zu erzielen; oder äquivalent, die Wahrscheinlichkeit, n-k Misserfolge unter n Versuchen zu erzielen.
Wenn wir jeden Term der Summe einzeln betrachten, haben wir die Wahrscheinlichkeiten, zu erhalten:
| \displaystyle {{n}\choose{0}} p^0(1-p)^{n-0} = (1-p)^n | 0 Erfolge unter n Versuchen |
| \displaystyle {{n}\choose{1}} p^1(1-p)^{n-1} = n p(1-p)^{n-1} | 1 Erfolg unter n Versuchen |
| \displaystyle {{n}\choose{2}} p^2(1-p)^{n-2} | 2 Erfolge unter n Versuchen |
| \vdots | \vdots |
| \displaystyle {{n}\choose{k}} p^k(1-p)^{n-k} | k Erfolge unter n Versuchen |
| \vdots | \vdots |
| \displaystyle {{n}\choose{n-1}} p^{n-1}(1-p)^{n-(n-1)} = n p^{n-1}(1-p) | n-1 Erfolge unter n Versuchen |
| \displaystyle {{n}\choose{n}} p^{n}(1-p)^{0} = p^{n} | n Erfolge unter n Versuchen |
Und die Summe all dieser, wie wir bereits gesehen haben, ist „1“. Dies zeigt, dass alle Möglichkeiten abgedeckt sind.
Daraus wird die Wahrscheinlichkeit des Bernoulli-Ereignisses definiert:
\displaystyle\Large \color{blue}{P(Bi(n;k;p)) = {{n}\choose{k}}p^k(1-p)^{n-k}}
Oder wir sagen auch, dass die Anzahl der Erfolge X binomialverteilt ist:
\color{blue}{\Large \displaystyle X\sim Bi(n;p) \longmapsto P(X=x) = {{n}\choose{x}}p^x(1-p)^{n-x}}
Die Binomialverteilung (oder Bernoulli-Verteilung) und die Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Durch die Binomialverteilung beginnen wir die ersten Vorstellungen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Zufallsvariablen zu entwickeln. In diesem Fall ist die (diskrete) Zufallsvariable mit der Anzahl der Erfolge verknüpft, und ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung wird durch die Terme des binomischen Lehrsatzes angegeben.
{\Large \displaystyle P(X=x) = {{n}\choose{x}}p^x(1-p)^{n-x}}
Übungen:
- Ein fairer Würfel mit 6 Seiten wird 5 Mal geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, 3 Mal eine gerade Zahl als Ergebnis zu erhalten.
- Eine Münze wird 10 Mal geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, von 0 bis 10 Mal Kopf zu erhalten, und erstellen Sie ein Diagramm, das die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis zeigt. Wie wird das Diagramm aussehen, wenn die Anzahl der Würfe erhöht wird und die Wahrscheinlichkeit untersucht wird, eine Anzahl von Köpfen zu erhalten, die von 0 bis zu dieser Anzahl von Würfen reicht? Ein Excel-Blatt kann hier nützlich sein.
- Es gibt eine Trommel mit einer Anzahl s von Kugeln, wobei r golden und der Rest weiß sind. Alle werden gemischt und eine wird zufällig gezogen, und man gewinnt, wenn die goldene gezogen wird. Wenn dieses Experiment identisch 20 Mal wiederholt wird, schätzen Sie die wahrscheinlichste Anzahl an Siegen für jeden möglichen Wert von 0\leq r\leq s. Auch hier kann ein Excel-Blatt nützlich sein.