बर्नूली परीक्षण और द्विपद वितरण
सारांश
इस कक्षा में हम बर्नूली परीक्षणों की अवधारणा और उनके संभाव्यता सिद्धांत में निहितार्थ का अध्ययन करेंगे। हम बर्नूली परीक्षणों की विस्तृत परिभाषा से शुरू करेंगे और फिर घटनाओं के बीच स्वतंत्रता की अवधारणा को समझेंगे। इन विचारों को स्पष्ट करने के बाद, हम द्विपद प्रमेय को लागू करेंगे ताकि यह समझ सकें कि बर्नूली परीक्षण के दोहराव से कैसे द्विपद वितरण के परिणाम उत्पन्न होते हैं। अंत में, इन अवधारणाओं को लागू करने और सुदृढ़ करने के लिए व्यावहारिक अभ्यास प्रस्तावित किए जाएंगे।
सीखने के उद्देश्य:
इस कक्षा के अंत में, छात्र सक्षम होंगे:
- पहचानें बर्नूली परीक्षणों की मुख्य विशेषताएं, जिसमें प्रयासों के बीच स्वतंत्रता शामिल है।
- सही ढंग से लागू करें बर्नूली परीक्षणों से प्राप्त द्विपद घटनाओं के लिए संकेतन।
- अंतर करें विभिन्न स्वतंत्रता रूपों (2-स्वतंत्रता, 3-स्वतंत्रता, n-स्वतंत्रता) के बीच और उनकी बर्नूली परीक्षणों में संबंध और अनुप्रयोग को समझें।
- समझें बर्नूली परीक्षण और द्विपद प्रमेय के बीच संबंध, और इस संबंध का उपयोग कैसे सफलताओं और असफलताओं की श्रृंखला की संभाव्यता की गणना के लिए किया जा सकता है।
- लागू करें द्विपद वितरण (या बर्नूली) एक निश्चित संख्या में सफलताओं की संभाव्यता की गणना करने के लिए प्रयासों की एक श्रृंखला में।
सामग्री की तालिका:
बर्नूली परीक्षण
विभिन्न स्वतंत्रता रूपों
बर्नूली परीक्षण और द्विपद प्रमेय
द्विपद वितरण (या बर्नूली) और संभाव्यता वितरण
अभ्यास:
बर्नूली परीक्षण
बर्नूली परीक्षण एक यादृच्छिक प्रयोग है द्वैत परिणामों के साथ जिसमें सफलता की एक निश्चित संभावना होती है p. यदि एक बर्नूली परीक्षण n बार समान और स्वतंत्र रूप से दोहराया जाता है, तो हमें बर्नूली घटनाएं प्राप्त होती हैं: n प्रयासों के बीच k सफलताओं की एक निश्चित संख्या। इन्हें भी द्विपद घटनाएं कहा जाता है और हम इसे निम्नलिखित संकेतन के माध्यम से दर्शाते हैं
\Large \displaystyle Bi(n;k;p)
बर्नूली परीक्षणों की एक और महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि सभी प्रयास एक दूसरे से स्वतंत्र होते हैं।
उदाहरण: एक 6-मुंह वाले पासे को बार-बार फेंका जाता है। इस प्रयोग के लिए बर्नूली प्रकार की घटनाओं के उदाहरण शामिल हैं:
- 5 प्रयासों में 3 इक्के प्राप्त करना: Bi(5;3;1/6) द्वारा दर्शाया गया
- 12 प्रयासों में 7 सम संख्या प्राप्त करना: Bi(12;7;1/3) द्वारा दर्शाया गया
विभिन्न स्वतंत्रता रूपों
बर्नूली परीक्षणों में किए गए प्रयासों के बीच स्वतंत्रता बिल्कुल वही स्वतंत्रता नहीं है जो हम पहले देख चुके हैं, यह एक अधिक प्रतिबंधित संस्करण है। इस अंतर को स्पष्ट करने के लिए, हम घटनाओं के बीच विभिन्न स्वतंत्रता रूपों का परीक्षण करते हैं।
2-स्वतंत्रता
हमारी जानी-पहचानी स्वतंत्रता दो घटनाओं के बीच होती है, जिसे हम “2-स्वतंत्रता” कहते हैं। इन शर्तों में, हम कहते हैं कि घटनाएं A और B 2-स्वतंत्र हैं यदि
P(A\cap B) = P(A)P(B)
3-स्वतंत्रता
इसी प्रकार, तीन घटनाओं A, B और C के बीच 3-स्वतंत्रता को इस संबंध के माध्यम से परिभाषित किया जाता है:
P(A\cap B\cap C) = P(A)P(B)P(C)
यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि A, B और C के बीच 2-स्वतंत्रता का मतलब जरूरी नहीं है कि वे 3-स्वतंत्र हैं, हालांकि विपरीत मामला सत्य है।
बर्नूली परीक्षणों में n-स्वतंत्रता
पहले की परिभाषाओं के समान, घटनाओं के एक संग्रह A_1, \cdots, A_n के बीच n-स्वतंत्रता को इस संबंध के माध्यम से परिभाषित किया जाता है:
\Large \displaystyle P\left(\bigcap_{i=1}^n A_i\right) = \prod_{i=1}^n P(A_i)
और इसी प्रकार, हमारे पास है:
| (n-1)-स्वतंत्रता का मतलब जरूरी नहीं है n-स्वतंत्रता |
| n-स्वतंत्रता \Longrightarrow (n-1)-स्वतंत्रता |
बर्नूली परीक्षण में किए गए n दोहराव n-स्वतंत्र हैं।
बर्नूली परीक्षण और द्विपद प्रमेय
सफलता और असफलता का एक प्रयोग मान लें जिसकी सफलता की संभावना है p; प्रत्येक प्रयास में, इसके परिणामस्वरूप, असफलता की संभावना होगी 1-p। यह स्पष्ट है कि प्रत्येक प्रयास में सफलता या असफलता होने की संभावना 1 है; और चूंकि सभी प्रयास स्वतंत्र हैं, n प्रयासों में सफलता या असफलता होने की संभावना होगी 1^n. इससे हमें प्राप्त होता है:
\Large \displaystyle 1 = 1^n = [p + (1-p)]^n = \sum_{k=0}^n {{n}\choose{k}} p^k(1-p)^{n-k}
अंतिम समानता में, न्यूटन के द्विपद प्रमेय को लागू किया गया है, और योग के भीतर की शर्तों को निम्नलिखित तरीके से व्याख्या की जा सकती है:
- \displaystyle {{n}\choose{k}}: n प्रयासों में k सफलताओं के घटित होने के तरीकों की संख्या
- p^k: k स्वतंत्र सफलताओं के घटित होने की संभावना
- (1-p)^{n-k}: n-k स्वतंत्र असफलताओं के घटित होने की संभावना
इन तत्वों को उस तरीके से जोड़कर जिसमें वे योग में दिखाई देते हैं, हमें प्राप्त होता है: n प्रयासों में k सफलताओं के घटित होने की संभावना; या समतुल्य रूप से, n प्रयासों में n-k असफलताओं के घटित होने की संभावना।
यदि हम योग के प्रत्येक शब्द को अलग-अलग करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है:
| \displaystyle {{n}\choose{0}} p^0(1-p)^{n-0} = (1-p)^n | n प्रयासों में 0 सफलताएं |
| \displaystyle {{n}\choose{1}} p^1(1-p)^{n-1} = n p(1-p)^{n-1} | n प्रयासों में 1 सफलता |
| \displaystyle {{n}\choose{2}} p^2(1-p)^{n-2} | n प्रयासों में 2 सफलताएं |
| \vdots | \vdots |
| \displaystyle {{n}\choose{k}} p^k(1-p)^{n-k} | n प्रयासों में k सफलताएं |
| \vdots | \vdots |
| \displaystyle {{n}\choose{n-1}} p^{n-1}(1-p)^{n-(n-1)} = n p^{n-1}(1-p) | n प्रयासों में n-1 सफलताएं |
| \displaystyle {{n}\choose{n}} p^{n}(1-p)^{0} = p^{n} | n प्रयासों में n सफलताएं |
और इन सभी का योग, जैसा कि हमने देखा है, “1” है। यह दिखाता है कि सभी संभावनाओं को कवर किया गया है।
इससे बर्नूली घटना की संभाव्यता को परिभाषित किया जाता है:
\displaystyle\Large \color{blue}{P(Bi(n;k;p)) = {{n}\choose{k}}p^k(1-p)^{n-k}}
या हम यह भी कहते हैं कि सफलताओं की संख्या X द्विपद वितरण है:
\color{blue}{\Large \displaystyle X\sim Bi(n;p) \longmapsto P(X=x) = {{n}\choose{x}}p^x(1-p)^{n-x}}
द्विपद वितरण (या बर्नूली) और संभाव्यता वितरण
द्विपद वितरण के माध्यम से हम संभाव्यता वितरण और यादृच्छिक चर की पहली अवधारणाएं प्राप्त करते हैं। इस मामले में, यादृच्छिक चर (विच्छेदित) सफलताओं की संख्या से जुड़ा होता है और इसका संभाव्यता वितरण द्विपद प्रमेय की शर्तों द्वारा दिया जाता है
{\Large \displaystyle P(X=x) = {{n}\choose{x}}p^x(1-p)^{n-x}}
अभ्यास:
- एक संतुलित 6-मुंह वाले पासे को 5 बार फेंका जाता है। परिणामस्वरूप 3 बार एक सम संख्या प्राप्त करने की संभाव्यता की गणना करें।
- एक सिक्के को 10 बार फेंका जाता है। 0 से 10 हेड्स प्राप्त करने की संभाव्यता की गणना करें और प्रत्येक परिणाम के लिए संभाव्यता को दिखाने वाला एक ग्राफ बनाएं। यदि हम फेंकों की संख्या बढ़ाते हैं और 0 से उस संख्या तक हेड्स प्राप्त करने की संभाव्यता की जांच करते हैं, तो ग्राफ कैसा दिखेगा? यहां एक Excel शीट उपयोगी हो सकती है।
- एक टॉम्बोला में s बॉल्स की संख्या होती है, जिसमें से r गोल्डन होती हैं और बाकी सफेद। सभी को मिलाया जाता है और एक को यादृच्छिक रूप से खींचा जाता है, और जीत तब होती है जब गोल्डन बॉल निकलती है। यदि इस प्रयोग को 20 बार समान रूप से दोहराया जाता है, तो प्रत्येक संभव मान के लिए सबसे संभावित जीत की संख्या का अनुमान लगाएं 0\leq r\leq s. यहां एक Excel शीट भी उपयोगी हो सकती है।