Sections Coniques : Caractérisation et Graphiques des Paraboles, Ellipses et Hyperboles
Résumé :
Dans ce cours, nous allons revoir les sections coniques (paraboles, ellipses et hyperboles), en commençant par leurs équations canoniques et générales. Nous expliquerons comment identifier et caractériser chaque courbe, en nous concentrant sur des éléments clés tels que le sommet, le foyer et l’axe de symétrie pour les paraboles, et la distinction entre les ellipses et les hyperboles selon les signes de leurs coefficients.
Objectifs d’apprentissage :
À la fin de ce cours, l’étudiant sera capable de :
- Reconnaître les équations canoniques des sections coniques (paraboles, ellipses, hyperboles)
- Calculer chacune des caractéristiques des sections coniques : longueur des demi-axes, distance focale, directrice, etc.
TABLE DES MATIÈRES
Sections coniques
Revue des Paraboles
Revue des Ellipses et Hyperboles
Caractérisation de l’ellipse
Caractérisation de l’hyperbole
Exercices Résolus
Sections coniques
Les sections coniques sont toutes les courbes résultant de l’intersection de la surface d’un cône avec un plan. La famille des sections coniques comprend les cercles et ellipses, ainsi que les hyperboles, que nous avons déjà étudiées.
Nous allons maintenant examiner les techniques permettant de reconnaître et de caractériser chacune de ces courbes. Nous nous concentrerons en particulier sur les formes canoniques, car elles sont les plus fréquentes et révèlent le moins d’informations de manière explicite. Les équations générales, en revanche, dévoilent presque toutes les caractéristiques géométriques.
Revue des Paraboles
Toute parabole est représentée par une équation de la forme
y=ax^2 + bx + c, avec a\neq 0
D’après cela, nous avons obtenu :
- Coordonnées du sommet : \displaystyle (x_0, y_0)=\left( -\dfrac{b}{2a}, c - \dfrac{b^2}{4a} \right)
- Distance focale : \displaystyle f=\dfrac{1}{4a}
- Coordonnées du foyer : \displaystyle foco=\left( -\dfrac{b}{2a}, c - \dfrac{b^2}{4a} + f \right) =\left( -\dfrac{b}{2a}, c + \dfrac{1- b^2}{4a} \right)
- Équation de la directrice : \displaystyle y= c - \dfrac{b^2}{4a} - f = c - \dfrac{1+b^2}{4a}
- Équation de l’axe de symétrie : \displaystyle x= -\dfrac{b}{2a}
- Points d’intersection avec l’axe des x (si existants) : \displaystyle x_{1,2}= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
Avec ces informations, nous disposons de tout ce qu’il faut pour tracer n’importe quelle parabole.
Revue des Ellipses et Hyperboles
Les ellipses et hyperboles, comme nous l’avons vu, ont une expression canonique de la forme suivante.
Ax^2 + Bx + Cy^2 + Dy + E = 0
Où A et C sont des constantes non nulles, et d’après ce que nous avons étudié, il en ressort que :
- Si A et C ont le même signe, il s’agit d’une ellipse.
- Si A et C ont des signes opposés, il s’agit d’une hyperbole.
Pour bien distinguer les deux cas, nous écrirons :
- \alpha x^2+ \beta x + \gamma y^2 + \delta y + \epsilon = 0 est une ellipse.
- \alpha x^2+ \beta x - \gamma y^2 + \delta y + \epsilon = 0 est une hyperbole.
Où \alpha, \beta, \gamma, \delta et \epsilon sont des nombres réels quelconques, et \alpha et \gamma sont toujours positifs. Cette écriture permet de distinguer clairement les deux cas. À partir de là, nous pouvons faire les inférences suivantes :
Caractérisation de l’ellipse
En partant de l’équation canonique, nous obtenons la déduction suivante :
| (1) | \alpha x^2+ \beta x + \gamma y^2 + \delta y + \epsilon = 0 | ; équation canonique des ellipses. |
| (2) | \displaystyle \alpha \left( x^2+ \dfrac{\beta}{\alpha }x\right) + \gamma \left(y^2 + \dfrac{\delta}{\gamma }y\right) =- \epsilon | ; factorisation et réorganisation des termes |
| (3) | \displaystyle \alpha \left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2 + \gamma \left(y + \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2 =\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon | ; complétion du carré et réorganisation des termes |
| (4) | \displaystyle \alpha \dfrac{\left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2}{\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} + \gamma \dfrac{\left(y + \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2}{\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} = 1 | ; en divisant tout par \displaystyle \dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon |
| (5) | \displaystyle \dfrac{\left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2}{\dfrac{1}{\alpha }\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} + \dfrac{\left(y + \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2}{\dfrac{1}{ \gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} = 1 | ; réorganisation de \alpha et \gamma |
| (6) | \displaystyle \left( \dfrac{ x - \left(-\dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)}{\sqrt{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}}\right)^2 + \left( \dfrac{y - \left(-\dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)}{\sqrt{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}}\right)^2 = 1 | ; réorganisation avec racines carrées |
Dans le développement de cette déduction, l’étape (3) est particulièrement délicate, car si le coefficient \displaystyle \dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon est négatif, alors l’ellipse ne peut pas exister.
Rappelons que l’équation générale des ellipses est de la forme suivante :
\displaystyle \left( \dfrac{x-h}{a} \right)^2 + \left(\dfrac{y-k}{b} \right)^2 = 1
Avec ce dernier résultat, nous avons maintenant une relation directe entre les paramètres de la formule générale qui nous permet de révéler toutes les informations cachées dans l’expression canonique :
- Coordonnées du centre : \displaystyle (h,k) = \left( -\dfrac{\beta}{2\alpha}, -\dfrac{\delta}{2\gamma}\right)
- Longueur du demi-axe horizontal : \displaystyle a = \sqrt{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}
- Longueur du demi-axe vertical : \displaystyle b = \sqrt{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}
Avec cela, il est maintenant possible de reconnaître et de tracer une ellipse directement à partir de sa forme canonique. Son graphique ressemblera à ce qui suit :
Caractérisation de l’hyperbole
En raisonnant de manière complètement analogue, vous pouvez, à partir de l’équation canonique, faire la caractérisation complète des hyperboles. En fait, l’analyse est tellement analogue que je vais copier et coller l’analyse des ellipses, en ne modifiant que quelques parties.
| (1) | \alpha x^2+ \beta x - \gamma y^2 + \delta y + \epsilon = 0 | ; équation canonique des hyperboles. |
| (2) | \displaystyle \alpha \left( x^2+ \dfrac{\beta}{\alpha }x\right) - \gamma \left(y^2 - \dfrac{\delta}{\gamma }y\right) =- \epsilon | ; factorisation et réorganisation des termes |
| (3) | \displaystyle \alpha \left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2 - \gamma \left(y - \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2 =\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon | ; complétion du carré et réorganisation des termes |
| (4) | \displaystyle \alpha \dfrac{\left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2}{\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} - \gamma \dfrac{\left(y - \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2}{\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} = 1 | ; en divisant tout par \displaystyle \dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon |
| (5) | \displaystyle \dfrac{\left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2}{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} - \dfrac{\left(y - \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2}{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} = 1 | ; réorganisation des termes \alpha et \gamma |
| (6) | \displaystyle \left( \dfrac{ x - \left(-\dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)}{\sqrt{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}}\right)^2 - \left( \dfrac{y - \left(\dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)}{\sqrt{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}}\right)^2 = 1 | ; réorganisation avec racines carrées |
À partir de cela, nous avons maintenant une relation directe entre l’équation canonique et l’équation des hyperboles qui nous permettra de tracer rapidement son graphique.
\displaystyle \left(\dfrac{x-h}{a} \right)^2 - \left(\dfrac{y-k}{b} \right)^2 =1
Contrairement aux ellipses, il est plus correct ici de parler de « boîte génératrice », comme nous le verrons sur la figure suivante :
- Coordonnées du centre : \displaystyle (h,k) = \left( -\dfrac{\beta}{2\alpha}, \dfrac{\delta}{2\gamma}\right)
- Longueur du demi-axe horizontal : \displaystyle a = \sqrt{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}
- Longueur du demi-axe vertical : \displaystyle b = \sqrt{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}
Avec les résultats de ces analyses, nous pouvons désormais tracer sans difficulté n’importe quel membre de la famille des sections coniques.