Équation des hyperboles et sa déduction

Résumé :
Dans ce cours, nous explorerons la définition géométrique de l’hyperbole, la comparerons à l’ellipse et déduirons son équation générale et canonique.

Objectifs d’apprentissage :
À la fin de ce cours, l’étudiant sera capable de :

Définir géométriquement ce qu’est une hyperbole.
Démontrer l’équation générale et canonique des hyperboles à partir de leur définition géométrique.
Identifier les différences entre les ellipses et les hyperboles en termes de distances focales.

TABLE DES MATIÈRES
Définition géométrique de l’hyperbole
Déduction de l’équation des hyperboles
Équation générale des hyperboles
Équation canonique des hyperboles

Définition géométrique de l’hyperbole

Auparavant, nous avons examiné l’équation des ellipses et des cercles et découvert qu’elles prennent la forme $ax^2 + bx + cy^2 + dy + e = 0$ , où $a$ et $b$ sont deux valeurs non nulles du même signe. Nous avons mentionné que si $a$ et $b$ ont des signes opposés, alors au lieu d’une ellipse, nous obtenons une hyperbole. Nous n’avons rien dit de plus sur ces courbes, et nous allons maintenant combler cette lacune. Nous compléterons notre étude en définissant géométriquement ce qu’est une hyperbole et, à partir de là, nous obtiendrons l’équation générale et canonique des hyperboles.

D’une part, une ellipse est définie comme l’ensemble de tous les points dont la somme des distances à deux autres points, appelés foyers, est toujours la même. De même, et en opposition, une hyperbole est définie comme l’ensemble de tous les points dont la valeur absolue de la différence entre les distances aux foyers est toujours constante.

Autrement dit, la relation suivante est satisfaite :

$|d(f_1,P) - d(f_2,P)| = 2a$

Où $a$ est un nombre réel fixé quelconque.

Cela donne en réalité deux équations : $d(f_1,P) - d(f_2,P) = 2a$ et $d(f_2,P) - d(f_1,P) = 2a$ , une pour chaque branche de l’hyperbole.

Déduction de l’équation des hyperboles

À partir de la définition géométrique, il est possible de dériver la représentation algébrique des hyperboles. Pour cela, nous commencerons par le cas le plus simple, et à partir de là, nous généraliserons. Notre raisonnement portera sur une seule branche de l’hyperbole, et le raisonnement pour l’autre branche est tout à fait analogue.

Déduction de la forme simplifiée

Considérons deux points focaux $f_1 = (-c,0)$ et $f_2 = (c,0).$ Le point $p = (x,y)$ se trouve sur l’hyperbole si

$\sqrt{(x+c)^2+y^2} - \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a$

Et de là, nous obtenons le raisonnement suivant :

$\sqrt{(x+c)^2+y^2} - \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a$	; équation des hyperboles
$\sqrt{x^2 + 2xc + c^2 + y^2} - \sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} = 2a$	; développement des carrés
$\sqrt{x^2 + 2xc + c^2 + y^2} = 2a + \sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2}$	; redistribution des termes
$\color{red}{x^2} + 2xc + \color{purple}{c^2} + \color{violet}{y^2} = 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} + \color{red}{x^2} - 2xc + \color{purple}{c^2} + \color{violet}{y^2}$	; en élevant les deux côtés au carré
$2xc = 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} - 2xc$	; élimination des termes identiques
$4xc = 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2}$	; redistribution des termes identiques
$xc = a^2 + a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2}$	; simplification des termes identiques
$xc - a^2 = a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2}$	; simplification des termes identiques
$x^2c^2 -2xca^2 + a^4 = a^2(x^2 - 2xc + c^2 + y^2)$	; en élevant les deux côtés au carré
$x^2c^2 \color{red}{-2xca^2} + a^4 = a^2x^2 \color{red}{- 2xca^2} + a^2c^2 + a^2y^2$	; opération des parenthèses
$x^2c^2 + a^4 = a^2x^2 + a^2c^2 + a^2y^2$	; élimination des termes identiques
$x^2(c^2 - a^2) - a^2y^2 = a^2c^2 - a^4 = a^2(c^2 - a^2)$	; réarrangement des termes
$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{c^2 - a^2} = 1$	; réarrangement des termes

Pour cette dernière expression, comme pour les ellipses, on prend $b^2=c^2-a^2$ et on obtient l’équation des hyperboles :

$\displaystyle \color{blue}{ \left(\frac{x}{a}\right)^2 - \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1 }$

Équation générale des hyperboles

Pour obtenir l’équation générale des hyperboles, il suffit de prendre celle que nous venons d’obtenir et d’appliquer les transformations de position :

x\longmapsto x-h

y\longmapsto y-k

et avec cela, nous obtenons automatiquement l’équation générale des ellipses avec un centre en $(h,k)$

$\displaystyle \color{blue}{ \left(\frac{x-h}{a}\right)^2 - \left(\frac{y-k}{b}\right)^2 = 1 }$

Équation canonique des hyperboles

Et si maintenant nous prenons l’équation générale des hyperboles et la développons, nous arriverons à l’expression canonique :

$\displaystyle \left(\frac{x-h}{a}\right)^2 - \left(\frac{y-k}{b}\right)^2 = 1$	; Équation générale des hyperboles
$b^2 (x^2 - 2xh + h^2) - a^2(y^2-2ky + y^2) = a^2b^2$	; développement des carrés et multiplication de tout par $a^2b^2$
$b^2 x^2 - 2hb^2x + h^2b^2 - a^2 y^2+ 2k a^2 y - a^2 k^2 = a^2b^2$	; opération des parenthèses
$b^2 x^2 - (2hb^2) x - a^2 y^2+ (2k a^2) y - (a^2b^2 + a^2 k^2 - h^2b^2) = 0$	; regroupement des termes identiques

Cette dernière expression est de la forme $Ax^2+Bx + Cy^2 + Dy + E = 0,$ où $A$ et $C$ sont toujours non nuls et de signes opposés, comme nous l’avons prédit en étudiant les ellipses.